904.一元二次方程的整数根-奥数精讲与测试-奥数精讲与测试

知识点、重点、难点

例题精讲

例1：当整数为k 值时，关于x 的一元二次方程2

(1)210x k x k +++-

=

的两个根均为整数。

例2：已知关于x 的方程2

(1)10mx m x m +++-=的根是整数，求实数m 的值。

例3：已知关于x 的一元二次方程22

2(1)0x m x m -++=有两个整数根，且1050m <<，求整数

m 的值，并求此两个整数根。

例4：求出所有这样的正整数a ，使得关于x 的一元二次方程

22(21)4120ax a x a +-+-=至少有一个整数根。

例5：证明：不论n 取什么整数，二次方程25

1670x nx -+=没有整数根。

例6：已知整数a b 、是某直角三角形的两条直角边长，且满足二次方程

2(2)40,x k x k -++=求k 的值及此直角三角形的三边长。

习题

A 卷

1. 2

8210x x --= （填：“有”或“没有”）有理根。 2. 关于x 的方程2

120x mx -+=至少有一个整数根，则整数m 可取值的个数是 个。

3. 已知n 为正整数，方程2

31)360x x n --=有一个整数根，则n = 。

4. 满足1ab a b ++=的整数对(,)a b 共有 对。

5. 关于x 的方程2

2

(2)10x a x a -++-=有两个整数根，则整数a 的值是 。

6. 关于x 的方程2

(11)50x a x a +-+-=有两个整数根，则实数a 的值是 。

7. 若关于x 的一元二次方程2

530x x a -++=有两个正整数根，则a 的值是 ，方程的解是 。

8. 设p 为质数，且方程2

5800x px p --=两个根都是整数，则p 的值为 。

9. 方程2

2

23298x xy y --=的正整数解的组数是 。

10. 求使关于x 的二次方程2

2

2

170a x ax a ++-=的两根都是整数的所有正数a 的和是 。

二、解答题

11. 已知方程2

340x x m -++=有两个整数根，求证：（1）两个根中，一个是奇数而另一个是偶数；（2）m 是负的偶数。

12. 若关于x 的二次方程2

0ax bx c ++=有实根，且a b c 、、都是奇数，

求证：此方程必有两个无理根。

B 卷

一、填空题

1. 关于x 的方程2

2(21)430ax a x a +-+-=至少有一个整数根，则整数a 的值为 。

2. 要使方程2

(1)(1)0kx k x k +++-=的根都是整数，k 的值应等于 。

3. 关于x 的方程2

2

2

2

(2)(26)40k k x k k x k +--+++-=有两个不相等的整数根，则整数k 的值为 。

4. 关于x 的方程2

2

(23)3100x m x m m +-+--=至少有一个正整数根，正整数m 的值为 。 5. 若p q 、都是正整数，方程

211

1993022

px qx -+=的两根都为质数，则2p q += 。

6. 设m 为正整数，且440m <<，若方程222(23)41480x m x m m --+-+=的两根均为整数，则m = 。

7. 关于x 的方程

23

10,4x mx m ---= ①

与 22

2(6)40,x m x m -+-+= ②

若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，则m = 。

8. x y 、是正整数，且满足111

100

x y -=，则y 的最大值是 。

9.

a b =+，其中a 为正整数，b 在0、1之间，则a b

a b

+-的

值是 。

10. 关于x 的一元二次方程2

440mx x -+=与方程

2244450x mx m m -+--=的根都是整数，则m 的值为 。

二、解答题

11. 已知a b 、为整数，求证：关于x 的方程2

2860x ax b -+-=无整数根。

12. 已知关于x 的方程2

10x ax b +++=的两个根都是正整数，求证：

22a b +是合数。

13. 一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程，

2(2)40x m x m -++=，试求m 的值及此直角三角形的三边长。

14. 是否存在这样的二位质数，它的十位数码为p ，个位数码为q ，而p 、

q 使方程20x px q ++=有整数根？若不存在，给出证明；若存在，请求

出所有这样的质数。

C 卷

一、填空题

1. 关于x 的方程22

(21)230x m x m m -+++=的两根都是整数，则实数m 可以等于 。

2. 关于x 的方程2

2

(21)320x m x m m k -+-++=对于任意有理数m ，均有有理根，则实数k 的值为 。

3. 关于x 的方程2

2

2

2

(1)10k x k k -+++=至少有一个整数根，则整数k 可以是 。

4. 若k 为整数，且关于x 的二次方程2

(1)210k x px k +-++=有两个整数根，则k p 、的值为 。

5. 设a b 、为整数，且方程2

10ax bx ++=的两个不同的正整数根都小于1，则a 的最小值为 。

6. 当有理数x 为 时，代数式2

9232x x +-的值恰为两个连续正偶数的乘积。

7. 已知一元二次方程2

(1)0k x px k --+=有两个正整数根，且k 为整数，则()(5)kp

p

k

k p k p k ++++的值为 。

8. 已知n 为正整数，关于x 的一元二次方程

22281035760x nx x n n -+-+-=的两根为质数，则此方程的根

为 。

9. 若m n 、都是整数，则方程2

10530x mx n +-+= （填“有”或

“没有”）整数根。

10. 如图，正方形EFGH 内接于ABC ∆，设

BC ab =（ab 是一个两位数）EF c =，三角形高.AD d =已知a b c d 、、、是从小到大的四个连续正整数，则此ABC ∆的面积为 。

二、解答题

11. 是否存在这样的质数p q 、，使 方程223

0x p x q ++=有有理根？若不存在，给出证明；若存在，请求出所有这样的p q 、的值。

12. 关于x 的二次方程22

(158)2(133)80k k x k x +---+=的两根都是整数，求实数k 的值。

13. 求所有的正整数a b c 、、，使得关于x 的方程222202020x ax b x bx c x cx a -+=++=-+=、、的所有根均为正整数。

14.已知关于x 的方程22

(1)3(31)180m x m x ---+=有两个正整数根（m

是

整

数

）

，

ABC ∆的三边

a b c

、、满足

222223,80,80.c m a m a m b b =+-=+--= 求：（1） m 的值；（2） ABC ∆的面积。