10.2连带勒让德函数

10.2 连带勒让德函数
在球坐标系下对u 0分离变数，令（ u r , , ） R(r )( )( )， 得到关于r的解：R(r ) Cl r l Dl r (l 1) 得到关于的解： ( ) Am cos m Bm sin m 以及关于的连带勒让德方程： d 2 d m2 (1 x ) 2 2 x [l (l 1) ] 0 (1) 2 dx dx 1 x m2 2 即： (1 x ) y '' 2 xy ' [l (l 1) ]y 0 2 1 x 如何得到该方程的解？
2
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可以用$9.2的常点邻域的级数解法，求出以上方程在x0 0邻域的级数解， 但直接运用级数解法所得系数递推公式比较复杂，每个递推公式涉及 系数，从而难于写出系数的一般表达式。 求解思路：由于勒让德方程是连带勒让德方程在轴对称情况下(m 0)的特解 可通过连带勒让德方程和勒让德方程的联系来得到连带勒让德方程的解。
2 2 2 2 2 m 1 2 2
m 2 2
m 2
m 2
m 1 2
y
2 x(1 x ) y '＋2 x m(1 x )
两边同除以(1 x )
m 2 2
y l (l 1)(1 x ) y m (1 x )
2 2
m 2 2
m －1 2
y 0
(1 x 2 ) y '' 2mxy ' my m(m 2) x 2 (1 x 2 ) 1 y 2 xy '＋2mx 2 (1 x 2 ) 1 y l (l 1) y m 2 (1 x 2 )－1 y 0
与(2)式类似： (1 x 2 ) y '' 2(m 1) xy ' [l (l 1) m( m 1)] y 0 (2) 所以，(2)式的解y ( x)应是勒让德方程的解Pl ( x)的m阶导数 y ( x) Pl ( x), (1 x ) y ( x) (1 x ) Pl[ m ] ( x) 连带勒让德函数
对l 2, fl 0 1 1 f ( x) P22 ( x) P22 (cos ) 3 3
例：以Pl2(x)(l 2,3, 4...)为基，在x的区间[ 1,1]上把 f ( x) sin 2 1 x 2展开为广义傅立叶级数。 解： m 2,当l 0,1时，P02(x) 0，P12(x) 0 f ( x) 1 x f l Pl 2(x )
1 2 1 2 2
1 dl 2 l 3.由勒让德多项式的微分表示:Pl ( x) l ( x 1) 2 l ! dxl 可轻松导出连带勒让德函数的微分表示： 1 d l m 2 l Pl ( x) (1 x ) l ( x 1) 2 l ! dxl m
m 2 m 2
4而由微分表达式，可得连带勒让德函数的积分表达式 1 1 (l m)! ( 2 1)l Pl ( x) (1 x ) d * l l m 1 l 2 i 2 l! ( x)
(2l 1)(l 2)! 1 d l 1 ( x 2 1)l l 1 (6 x)dx l 1 1 2 (l 2)!l ! dx
2 2 1 d ( x 1) 5 对l 2 : f 2 (6) xdx 1 2 4!2! dx 5 1 5 1 2 2 xd ( x 1) xd ( x 4 2 x 2 1) 16 1 16 1 1 5 1 4 2 1 {[ x( x 2 x 1)]1 ( x 4 2 x 2 1)dx] 1 16 3
m 2 m 2
(l *为包围 x的回路)
5.连带勒让德函数的递推公式：
m m m (l 1 m) Pl 1 ( x ) (2l 1) xP l ( x ) (l m) P l 1 ( x ) 0 m m 6.正交归一性： P ( x ) P k ( x )dx l 1 1
m [ m ]' m(m 1) [ m ] m p 2 p } 2{xp[ m ]' p[ m ]} l (l 1) p[ m ] 0 1! 2! 1! 即： (1 x 2 ) p[ m ]'' 2 x (m 1) p[ m ]' [l (l 1) m(m 1)] p [ m] 0 {(1 x 2 ) p[ m ]'' 2 x
验证如下：运用关于乘积求导的莱布尼兹求导规则 [uv][ m ] uv[ m ] m m(m 1) u ' v[ m 1] u '' v [ m 2] ... 1! 2! m(m 1)(m 2)...(m k 1) [ k ] [ m k ] u v ... u[ m ]v k! 将勒让德方程： (1 x 2 ) p '' 2 xp ' l (l 1) p 0求导m次得：
得到关于y的微分方程： (1 x2 ) y '' 2(m 1) xy ' [l (l 1) m(m 1)] y 0 (2)
得到关于y的微分方程： (1 x2 ) y '' 2(m 1) xy ' [l (l 1) m(m 1)] y 0 (2) 上式也是勒让德方程逐项求导m次后得到的方程。
1 (2l 1)(l 2)! d l ( x 2 1)l 3 l 1 (4) ( x x)d [ ] l 1 2 (l 2)!l ! dx l 2 l 1 d ( x 1) (2l 1)(l 2)! d l ( x 2 1)l 1 3 2 l 1 (4){[( x x) ] (3 x 1)dx]} 1 1 dxl 2 (l 2)!l ! dxl 1 (2l 1)(l 2)! d l 1 ( x 2 1)l 2 l 1 (4) (3x 1)d [ ] l 1 1 2 (l 2)!l ! dx l 1 1 d (2l 1)(l 2)! d l 1 ( x 2 1)l 1 ( x 2 1)l 2 l 1 [(3x 1) ]1 (6 x)dx l 1 l 1 1 2 (l 2)!l ! dx dx
[m] 2 2 m 2 m 2
记作：Pl ( x) (1 x ) Pl [ m ] ( x)
m 2
m 2
本征值l (l 1), l为0， 1， 2， ... 勒让德方程 又 本征值问题 自然边界条件 本征值函数Pl ( x)(勒让德多项式) 本征值l (l 1), l为0， 1， 2， ... 连带勒让德方程 本征值问题 m 自然边界条件 本征值函数Pl ( x)(连带勒让德函数) 2.连带勒让德函数的前几项 m m 2 2 [ m] P ( x) Pl ( x)为l次多项式，最多能求导l次， l ( x) (1 x ) P l
(l m)! 2 kl ( Nlm ) 2 kl (l m)! 2l 1
Nlm 称为Pl m ( x)的模。
7.广义傅立叶级数展开 在[1,1]上有连续的一阶导数，分段连续的2阶导数的函数f ( x)， 可按连带勒让德函数进行广义傅立叶展开， f ( x) Clm Pl m ( x)，其中Clm
l 0
(2l 1)(l m)! 1 m f ( x ) P l ( x )dx 1 2(l m)!
例：以Pl2(x)(l 2,3, 4...)为基，在x的区间[1,1]上把 f ( x) sin 2 1 x 2展开为广义傅立叶级数。 解： m 2,当l 0,1时，P02(x) 0，P12(x) 0 f ( x) 1 x f l Pl 2(x )
[1] 1 [0] 1 1 1
1 2 2
1 又 P2 ( x)＝ (3x 2 1), m 2, P2[1] ( x) 3x, P2[2] ( x) 3 2 3 P ( x) (1 x ) 3x; P22 ( x) 3(1 x 2 ) 3sin 2 (1 cos 2 ) 2 ....
2 l 2
法二： P (x) (1 x ) ,
1 1
1 2 2
P (x) (1 x ) 3 x
1 2
1 2 2
1 P22(x) 3(1 x 2 ) 3sin 2 (1 x 2 ) P22(x) 3 1 f ( x) f l Pl 2(x) P22(x) 3 l 2
(1 x 2 ) d l 2 2 l Pl ( x) ( x 1) 2l l ! dxl 2
2
(2l 1)(l 2)! 1 d l 1 ( x 2 1)l 2 2 l 1 (1 x ) d [ ] l 1 1 2 (l 2)!l ! dx
l 1 l 1 1 d (2l 1)(l 2)! ( x 2 1)l 1 ( x 2 1)l 2 2 d 3 l 1 {[(1 x ) ] 4( x x)dx} 1 1 dxl 1 2 (l 2)!l ! dxl 1 1 (2l 1)(l 2)! d l ( x 2 1)l 3 l 1 (4) ( x x)d [ ] l 1 2 (l 2)!l ! dx
m l , m 0,1, 2,...l m 0, Pl 0 ( x) Pl ( x)
1 2 2
m 0, P ( x) (1 x ) sin
1 1
P 1 ( x) x, m 0,1; P ( x) 1, P ( x) x P ( x) (1 x ) 1
d 2 d m2 并将它们代入(1)式： (1 x ) 2 2 x [l (l 1) ] 0 (1) 2 dx dx 1 x
2
(1 x )
2
m ＋1 2
y '' 2mx(1 x ) y ' m(1 x ) y m(m 2) x (1 x )
2 l 2
(2l 1)(l 2)! 1 2 2 fl (1 x ) P ( x)dx, l 1 2(l 2)!
l 2 (2l 1)(l 2)! 1 ( x 2 1)l 2 2 d (1 x ) dx 2(l 2)!2l l ! 1 dx l 2
1.连带勒让德函数 作变换：( x) (1 x ) y( x),
m 2 2
m m 1 d 2 2 2 2 (1 x ) y ' mx(1 x ) y dx
m m m m 1 1 2 d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 x ) y '' 2mx(1 x ) y ' m(1 x ) y m(m 2) x (1 x ) y， 2 dx