自动控制理论第二章 控制系统的数学模型

总结
多变量非线性 方程如何线性 化？
• 本质非线性系统不可以作线性化 •不同的工作点，不同的线性化系数，有 不同的线性化方程。 •工作点邻域的线性化方程是增量方程
y f ( x1 , x2 ) 为连续可导的非线性函数
( x10 , x20 , y0 ) 为预定工作点，则其在预定工作
点附近的线性化方程为
（三阶线性定常微分方程）
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例 水箱水位系统如图，建立系统的微分方程；
1、确定输入、输出
输入：流入水箱的流量 Qs 输出： H (m) 2、原始方程组 假设①水箱截面积S为常数 干扰是流出水箱的流量 Q f
②设流量系数(调节阀开度系数) α为常数
③水是不可以被压缩的 c —密度 由物质守恒定律存在： 又因为 Q f 为非常数，有：
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 2.2
系统微分方程的建立 非线性微分方程的线性化
2.3
2.4
传递函数
动态结构图
2.5
信号流图
目的
建立控制系统的数学模型，为课程的后续内 容提供必备的工具
内容
掌握建立物理系统数学模型的方法 掌握数学模型的相互转换 掌握数学模型的图解形式
• 数学模型：
例：单摆系统的运动方程为
试列写其线性化方程。 解：运动方程中的非线性项为
预定工作点为 [q 0 , 0 ]
d K dq
q q 0
cos q 0
线性化方程为
0 K (q q0 ) cos q0 (q q0 )
当预定工作点为 [0,0]
q
当预定工作点为 [ ,0] 0 K (q q0 ) cos q0 (q q0 ) (q )
1.控制系统的微分方程
引例：由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路， 写出以ui为输入，uo为输出的系统关系方程。
R ui C uo
线性定常系统的微分方程可表示为
线性定常系统 满足叠加原理 参数为常数
叠加原理
如果有 输入 x1(t) 输入 x2(t) 输出 y1(t) 输出 y2(t)
整理后得
L a J d 2 Ra J d Ra La dM L 1 u M a L K e K m dt 2 K e K m dt Ke Ke Km K e K m dt
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L a J d 2 Ra J d Ra La dM L 1 ua ML 2 K e K m dt K e K m dt Ke Ke Km K e K m dt
实验法：给系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信 号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经 过数据处理而拟合辨识出系统的数学模型。
反映元件及系统 的特性要正确 写出的数学式子 要简明 数 学 模 型
微分方程 传递函数 频率特性 结构图
• 实验法 • 解析法
信号流图 状态空间表达式
§2.1
控制系统的微分方程
电学系统： 元件约束
电学系统： 网络约束
遵从基尔霍夫电压电流定律 例：考虑由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路， 写出以 ui 为输入，u0 为输出的微分方程。
由基尔霍夫电压定律
元件约束
整理得
力学系统： 牛顿定律约束
例：设弹簧－质量－阻尼器系统如图所示，试列 出以力 Fi 为输入，以质量单元的位移 x 为输出的 运动方程。
c S dH c(Qs Q f )dt dH 1 或 (Qs Q f ) dt s
Qf H
非线性的
3、消去中间变量
Qf 有 ：
dH 1 Qs H dt s s dH 1 H Qs dt s s
§2.2 非线性微分方程的线性化
为什么要线性化 非线性系统的性质比线性系统要复杂得多 哪种非线性系统可以线性化 连续可导的非线性系统
– 数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 确
切地说：数学模型是对于一个特定的对象为了 一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一 些必要的简化假设，并运用适当的数学工具， 得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公
式，算法、表格、图示等。
• 控制系统数学模型：
描述系统输入、输出变量以及内部各个
变量之间关系的数学表达式。
如何进行线性化
使用小偏差法
连续可导的非线性特性
本质非线性特性
小偏差理论
• 具有连续变化的非线性函数
y f ( x)
A[x0，y0]为预定工作点，则该非线性函数可以 线性化的条件是变量x偏离预定工作点很小
线性化方法步骤：
• (1)建立系统（环节）运动方程；
• (2)利用Taylor级数或一次微分方性可加为
2.控制系统微分方程的建立
用解析法建立运动方程的步骤是：
• 分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系， 确定出待研究元件或系统的输入量和输出量；
• 从输入端入手，依据各元件所遵循的物理，化学， 生物等规律，列写各自方程式；
• 将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入 输出的标准方程。
输出量为整流电压UD ,二者之间的关系为
U D U 0 cos

试建立其线性化方程。 解：预定工作点为 [ 0 ,U D ]
0
K
dU D0 d
0
U 0 sin 0
U D U D0 K ( 0 ) U 0 sin 0 ( 0 )
U D K ( 0 ) U 0 sin 0 ( )
y y0 k1 ( x1 x10 ) k2 ( x2 x20 )
f k1 x1
( x10 , x20 )
f k2 x2
( x10 , x20 )
Fi k k －弹性系数 f －阻尼系数 m m－物体质量 x
f
由牛二：
外力
弹性阻力
粘滞阻力 代入整理
例
电枢控制的直流电动机
电枢电压控制的直流电动机线路原理图和结构图
（1）列写原始方程式。
La dia Ra i K e ua dt
J
d ML Md dt
（2）消去中间变量。 M d K m ia
或
Ta Tm
d 2 dt 2
Tm
T T T dM L d 1 ua m M L a m dt Ke J J dt
Ra J Tm K eK m
Ta La Ra
——机电时间常数(秒) ——电动机电枢回路时间常数(秒) ，
一般比Tm小 若输出为电动机轴的转角q ，则有
Ta Tm d 3q dt 3 Tm d 2q dt 2 T T T dM L dq 1 ua m M L a m dt Ke J J dt
函数在工作点展开或求一次微分；
• (3)忽略Taylor展开式或一次微分式中关于微小偏差 的高次项(仅保留一次项)； • (4)得到一个关于输出增量偏差与输入增量的一次项 的增量方程； • (5)整理方程并去掉增量符号，即得到线性化方程。
近似线性化方程为
令
作变量替换
例：三相全桥整流装置输入量为控制角
引 言
数学模型
数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。控制系
统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定律来
描述的。
通过数学模型来研究自动控制系统，就 摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住 这些系统的共同运动规律。
建模方法:
解析法 ：即依据系统及元部件各变量之间所遵循的物 理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并经实验 验证，从而建立系统的数学模型。