2019-2020年高中数学第二单元圆锥曲线与方程章末复习课教学案新人教B版选修1-1

2019-2020年高中数学第二单元圆锥曲线与方程章末复习课教学案新人教

B 版选修1-1

学习目标 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．

知识点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质

知识点二 椭圆的焦点三角形

设P 为椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，则△PF 1F 2

为焦点三角形(如图)．

(1)焦点三角形的面积S ＝b 2

tan α2.

(2)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c .

知识点三 双曲线及渐近线的设法技巧

1．由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，

即可得到两条渐近线的方程．如双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为x 2a 2－y 2

b 2＝0(a >0，

b >0)，即y ＝________；双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y 2a 2－x 2

b

2＝0(a >0，b >0)，

即y ＝________.

2．如果双曲线的渐近线方程为x a ±y b

＝0，它的双曲线方程可设为________________．

知识点四 求圆锥曲线方程的一般步骤

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．

(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2

＋ny 2

＝1(m >0，n >0)．

(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． 知识点五 三法求解离心率

1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上，都有关系式a 2

－b 2

＝c 2

(a 2

＋b 2

＝c 2)以及e ＝c a

，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．

2．方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．

3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．

知识点六 直线与圆锥曲线的位置关系

1．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．

2．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．

类型一 圆锥曲线的定义及应用

例1 已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n

－y 2

＝1(n >0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个

交点，则△F 1PF 2的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形

D ．随m ，n 变化而变化

反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．

跟踪训练1 抛物线y 2

＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( ) A ．x 1，x 2，x 3成等差数列 B ．y 1，y 2，y 3成等差数列 C ．x 1，x 3，x 2成等差数列 D ．y 1，y 3，y 2成等差数列

类型二 圆锥曲线的方程及几何性质 命题角度1 求圆锥曲线的方程

例2 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2

＝2px (p >0)的准线分别交于

A ，

B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( )

A ．1 B.3

2

C ．2

D ．3

反思与感悟 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．

(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．

(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2

＋ny 2

＝1(m >0，n >0)．

(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系．

跟踪训练2 设抛物线C ：y 2

＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2

＝4x 或y 2

＝8x B ．y 2

＝2x 或y 2

＝8x C ．y 2

＝4x 或y 2

＝16x D ．y 2

＝2x 或y 2

＝16x

命题角度2 求圆锥曲线的离心率

例3 如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 2

4＋y 2

＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、

四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．

反思与感悟 求圆锥曲线离心率的三种方法

(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是在y 轴上都有关系式a 2

－b 2

＝c 2

(a 2

＋b 2

＝c 2

)以及e ＝c a

，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．

(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．

(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．

跟踪训练3 已知抛物线y 2

＝4x 的准线与双曲线x 2a

2－y 2

＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的

焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________． 类型三 直线与圆锥曲线的位置关系

例4 已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)上的点P 到左，右两焦点F 1，F 2的距离之和为22，离心率

为22

.