高考数学解题技巧大揭秘 专题19 概率、随机变量及其分布列

专题十九 概率、随机变量及其分布列

1.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

(1)确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；

(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过分钟的概率．(注：将频率视为概率)

答案：解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得

P (X ＝1)＝

15100＝320，P (X ＝＝30100＝310，P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝＝20100＝15，P (X ＝3)＝10100

＝110

. X 的分布列为

X 的数学期望为

E (X)＝1×3

20＋×310＋2×14＋×15＋3×110

＝.

(2)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过分钟”，X i (i ＝1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则

P (A)＝P (X 1＝1且X 2＝1)＋P (X 1＝1且X 2＝＋P (X 1＝且X 2＝1)．

由于各顾客的结算相互独立，且X 1，X 2的分布列都与X 的分布列相同，所以

P (A)＝P (X 1＝1)×P (X 2＝1)＋P (X 1＝1)×P (X 2＝＋P (X 1＝×P (X 2＝1)＝

320×320＋320×310

＋3

10

×

3

20

＝

9

80

.

故该顾客结算前的等候时间不超过分钟的概率为

9

80

.

结合事件的互斥性、对立性、独立性以及古典概型，主要以解答题的方式考查离散型随

机变量分布列、期望和方差的求解及其实际应用．

本部分复习要从整体上，知识的相关关系上进行．离散型随机变量问题的核心是概率计算，而概率计算又以事件的独立性、互斥性、对立性为核心，在解题中要充分分析事件之间的关系.

必备知识

互斥事件有一个发生的概率

若A、B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A)＋P(A)＝1.

相互独立事件与n次独立重复试验

(1)若A1，A2，…，A n是相互独立事件，则P(A1·A2·…·A n)＝P(A1)·P(A2)·…·P(A n)．

(2)如果在一次试验中事件A发生的概率为p，事件A不发生的概率为1－p，那么在n 次独立重复试验中事件A发生k次的概率为：

P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k.

离散型随机变量的分布列、期望与方差

(1)主干知识：随机变量的可能取值，分布列，期望，方差，二项分布，超几何分布，正态分布．

(2)基本公式：①E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n＋…；

②D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(x n－E(ξ))2p n＋…；

③E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；

④二项分布：ξ～B(n，p)，则P(ξ＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．

正态分布

(1)若X服从参数为μ和σ2的正态分布，则可表示为X～N(μ，σ2)．

(2)N(μ，σ2)的分布密度曲线关于直线x＝μ对称，该曲线与x轴所围成的图形的面积为1.

(3)当X～N(μ，σ2)时，＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)．

以上三个概率值具有重要的应用，要熟记，不可混用．

必备方法

1．在解含有相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，这两个事情做好了，问题的思路就清晰了，接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了，如果某些相互独立事件符合独立重复试验概型，就把这部分归结为用独立重复试验概型，用独立重复试验概型的概率计算公式解答．

2．相当一类概率应用题都是由掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来的，我们在解题时就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型，这就要根据问题的具体情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题本质的因素去除，抓住问题的本质．3．求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．

互斥事件与相互独立事件的概率

互斥事件、相互独立事件的概率在求随机变量的分布列、期望、方差往往起工具性作用，试题多来源于生活，考查阅读理解能力及对概率知识的应用能力．

【例1】某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；

(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

[审题视点]

[听课记录]

[审题视点] (1)第三个顾客恰好等待4分钟的情况有三种可能：第一个顾客需1分钟，第二个顾客需3分钟；第一个顾客需3分钟，第二个顾客需1分钟；两个顾客都需要2分钟．(2)①找出第2分钟末已办理完业务的顾客人数X的所有可能取值，其取值分别为0,1,2；②求出分布列，得出期望，本问最难的是分布列的求解．

解设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：

(1)A A对应三种情形：

①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；

②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；

③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．

所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝×＋×＋×＝.

(2)法一X所有可能的取值为0,1,2.

X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，

所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝；

X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝×＋＝；

X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，

所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝×＝；