第8章圆锥曲线专练7—抛物线专练1-高三数学一轮复习

圆锥曲线专练7——抛物线专练1

一．选择题

1．已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(1,0)-

B ．(1,0)

C ．(0,1)-

D ．(0,1)

【解答】解：抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-， ∴

12

p

=，∴该抛物线焦点坐标为(1,0)．故选：B ． 2．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||(QF = )

A ．3

B ．52

C ．72

D ．

32

【解答】解：如图所示

由抛物线2:8C y x =，可得焦点为(2,0)F ，准线l 方程为：2x =-， 准线l 与x 轴相交于点M ，||4FM =． 经过点Q 作QN l ⊥，垂足为N 则||||QN QF =． //QN MF ，∴

||||3

||||4

QN PQ MF PF ==，||3||QN QF ∴==．故选：A ．

3．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为

2

3

的直线与C 交于M ，N 两点，

则(FM FN = ) A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

【解答】解：抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F ，过点(2,0)-且斜率为2

3

的直线为：324y x =+，联立直线与抛物线2:4C y x =，消去x 可得：2680y y -+=，

解得12y =，24y =，不妨(1,2)M ，(4,4)N ，(0,2)FM =，(3,4)FN =．

则(0FM FN =，2)(3，4)8=．故选：D ．

4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为( ) A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

【解答】解：方法一：如图，12l l ⊥，直线1l 与C 交于A 、B 两点，

直线2l 与C 交于D 、E 两点，由图象知要使||||AB DE +最小， 则A 与D ，B 与E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1， 又直线2l 过点(1,0)，则直线2l 的方程为1y x =-，

联立方程组241

y x

y x ⎧=⎨=-⎩，则2440y y --=，

124y y ∴+=，124y y =-，

12||||8DE y y ∴=-=， ||||AB DE ∴+的最小值为2||16DE =，

方法二：设直线1l 的倾斜角为θ，则2l 的倾斜角为

2

π

θ+，

根据焦点弦长公式可得22

24

||p AB sin sin θθ

=

= 222224

||(

)

2

p p DE cos cos sin π

θθ

θ=

==+ 2222244416

||||2AB DE sin cos sin cos sin θθθθθ

∴+=

+==

， 20sin 21θ<，

∴当45θ=︒时，||||AB DE +的最小，最小为16，

故选：A ．

5．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线(0)k

y k x

=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则(k =

) A ．

12

B ．1

C ．

32

D ．2

【解答】解：抛物线2:4C y x =的焦点F 为(1,0)， 曲线(0)k

y k x

=>与C 交于点P 在第一象限，

由PF x ⊥轴得：P 点横坐标为1， 代入C 得：P 点纵坐标为2， 故2k =，

故选：D ．

6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知||42AB =，||25DE =，则C 的焦点到准线的距离为( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

【解答】解：设抛物线为22y px =，如图：||42AB =，||22AM =，

||25DE =，||5DN =，||2

p ON =

， 2(22)4A x p ==，

||||OD OA =， 2216854

p p +=+， 解得：4p =．

C 的焦点到准线的距离为：4．

故选：B ．

7．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且||2||PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为( )

A

B ．

23

C

D ．1

【解答】解：由题意可得(2

p

F ，0)，设20(2y P p ，0)y ，

显然当00y <，0OM k <；当00y >，0OM k >．

要求OM k 的最大值，设00y >，

则11

()33

OM OF FM OF FP OF OP OF =+=+=+-

2012(3363y p OP OF p =+=+，0)3

y

，

可得0

20000

23222

63

OM y k y p y p y p y p p y =

=

=

++ 当且仅当2

20

2y p =，取得等号． 故选：C ．

8．设F 为抛物线2:3

C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于

A ，

B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为( )

A B C ．6332

D ．

94

【解答】解：由22y px

=，得23p =，32

p =， 则3

(4

F

，0)．

∴过A ，B 的直线方程为3)4

y x =

-， 即3

4

x +

．