(北师大版)初中数学“鸡兔同笼”补遗

“鸡兔同笼”补遗

北师大版八年级（上）第五章第三节介绍了《应用二元一次方程组---鸡兔同笼》，本文再介绍与之相关的一些知识，供同学们学习时参考．

今有雉兔同笼，上有三十五头．

下有九十四足，问雉兔各几何？

它出自我国古代数学著作《孙子算经》中著名的“雉兔同笼”问题．书中给出的解法是：“上置头，下置足，半其足，以头除（此处‘除’之意为‘除去’即减去）足，以足除头，即得．”

书中先设“金鸡独立”，玉兔双腿（即“半其足”），这时共有腿数为94÷2 = 47．在这47条腿中，每数一条腿应该有一只鸡，而每数两条腿才有一只兔，所以：

兔数为 47－35 = 12，即“以头除足”．

鸡数为 35－12 =23．

这道题用列二元一次方程组的方法可以很容易求解：

设鸡有x 只，兔有y 只，则由题意，可得

352494.x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得2312

x y =⎧⎨=⎩． 我们再把这个解法一般化：在一般情况下，设鸡有x 只，兔有y 只，A 为鸡、兔总共只数，B 为鸡、兔总共足数．则

24.x y A x y B +=⎧⎨+=⎩解之，可得22.2

B x A B y A ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 这就是说，兔数为腿数的二分之一（半其足），与总头数之差（以头除足）． 在古代朱世杰《算学启蒙》（1299年）《永乐大典》中的《丁巨算法》（1355年）严恭《通原算法》中，也载有鸡兔同笼问题，朱世杰的解法与《孙子算经》不同，而与现代的算术解法则几乎完全一样．

今有鸡兔100，共足272只，只云鸡足二，兔足四，问鸡兔各几何？

其解法是：“列一百，以兔足乘之，得数内减共足余一百二十八为实，列鸡、兔足以少减多余二为法而一得鸡，反减一百即兔，合问．”

又术曰：“倍一百以减共足余半之即兔也．”

此即：

鸡数 （100×4－272）÷（4－2） = 64．

兔数 100－64 = 36．

或兔数 （272－100×2）÷2 = 36．

鸡数 100－36 = 64．

吴敬《九章算法比类大全》（1450年）卷六也载有几个很有趣味的类似的诗词古体算题，如

争强斗胜

八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒．

两处争强来斗胜，二相胜负正交加．

三十六头齐厮打，一百八手乱相抓．

旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？

吴敬原书的解法：

置列

互乘对减得 108×3－36×6 = 108为被除数，

3×8－1×6 = 18为除数，

故：夜叉数为108÷18 = 6．

哪吒数为（36－6）÷3 = 10．

此法与现在的方程组解法相类似：

设夜叉数为x ，哪吒数为y ，则

86108.336x y x y +=⎧⎨+=⎩解得6.10x y =⎧⎨=⎩

“鸡兔同笼”问题，在我国民间流传十分广泛，民间流传有“野鸡兔子四十九，一百条腿地下走．借问英贤能算士，野鸡兔子各多少？（请同学们自己列方程组解答）．下面这道题是流传于我国民间的“板凳木马问题”它同“鸡兔问题”很相似．

板凳木马三十三，共足一百单；

请问能算者，它们各若干？

这道题的意思是：板凳木马的总数是33个，腿的总数是101条．板凳、木马各有多少个？（注：板凳4条腿，木马3条腿）

解：设有板凳x 个，木马y 个，根据题意，得

33,43101.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得2,31.

x y =⎧⎨=⎩即板凳有2条，木马有31个．

在李汝珍（约公元1763 － 1830）著的古典小说《镜花缘》中有这样一段趣味故事：

宗伯府的女主人卞宝云邀请众女才子们到府中的小鳌山观灯．当众才女在一片音乐声中来到小鳌山时，只见楼上楼下俱挂着许多灯球，五彩缤纷，秀丽壮观，宛如列星，高低错落．一时竟难分辨其有灯多少，卞宝云请精通筹算的才女米兰芬，算一算楼上楼下大小灯球的数目．她告诉米兰芬：“楼上的灯有两种；一种上做三个大灯球，下缀六个小灯球；另一种上做三个大灯球，下缀18个小灯球．楼下的灯也分两种：一种一个大球下缀两个小球；另一种是一个大球下缀四个小球．”她请米兰芬算一算楼上楼下大小灯球各多少盏？米兰芬想了一想，请宝云命人查一查楼上楼下大小灯球各多少个．查的结果是：楼上大灯球396个，小灯球1440个；楼下大灯球360个，小灯球1200个．

米兰芬采用《孙子算经》中雉兔同笼“的解法，先算楼下的：

一大四小灯的盏数：1200÷2－360 = 240．

一大二小灯的盏数：360－240 = 120．

楼上三大十八小的盏数：（1440÷2－396）÷6 = 54．

三大六小的盏数：（396－3×54）÷3 = 78．

用列二元一次方程组的方法求解如下：

解：设楼下一个大球下缀两个小球的灯有x 盏，一个大球下缀四个小球的灯有y 盏，根据题意，得

360,241200.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得120,240.

x y =⎧⎨=⎩ 答：（略）．

请同学们用同样的方法算一算楼上两种灯的盏数．

在我国明朝永乐年间，由翰林学士解缙等人编撰的《永乐大典》中也有类似的题目，请看下面这道题：

钱二十贯，买四百六十尺，绫每尺四十三，罗每尺四十四．问绫、罗几何？ 这道题的意思是：用20贯钱买了460尺绫和罗，绫的价格是每尺43文，罗的价格是每尺44文．问买了绫、罗各多少尺？（贯：古代货币单位；文：古代货币单位．1贯＝1000文；尺：已经废止使用的市制长度单位．）

经过我们仔细地观察、比较，可以发现，此题也可以归为“鸡兔问题”来求解． 解：设买绫x 尺，买罗y 尺，根据题意，得

460,434420000.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得240,220.

x y =⎧⎨=⎩ 即买绫240尺，买罗220尺． 在《九章算术》中的：“玉石问题”也属于这一类：

今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并一十一斤．问玉、石各重几何？（斤、两：都是已经废止使用的重量单位．古代，1斤＝16两；寸：是已经废止使用的市制长度单位．）

这道题的意思是：宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两．现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，重量是11斤．在这个正方体中的宝玉和石料各重多少两？

解：设这个正方体中宝玉x 寸，石料y 寸，根据题意，得

33,76176.

x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 解得14,13.x y =⎧⎨=⎩ 则有宝玉：14×7＝98（两），

石料：13×6＝78（两）．

答：（略）

中国的鸡兔问题后来传到了日本．日本江户时代出版社出版的《算法童子问》一书中就有许多类似这样解法的题目．下面这道题就是这本书中比较典型的一道：

院子里有狗，厨房的菜墩上有章鱼．狗和章鱼的总头数是14，总足数是96，求狗和章鱼各有多少．（注：章鱼有8只足．）