一类新弱化缓冲算子的构造

一类新弱化缓冲算子的构造

韩然;吴正朋;李梅

【摘要】在灰色系统缓冲算子公理体系下,构造了1类新弱化缓冲算子,并将其与刘氏弱化缓冲算子进行比较,研究了2类新弱化缓冲算子弱化能力的差异特性,从而大大地拓广了弱化缓冲算子的应用范围.对序列前一部分增长(衰减)速度过快,而后一部分增长(衰减)速度过慢的冲击扰动系统数据序列在建模预测过程中常常出现的定量预测结果与定性分析结论不符的问题,提供了多种解决方案.

【期刊名称】《中国传媒大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2010(017)004

【总页数】6页(P57-62)

【关键词】弱化缓冲算子;灰色系统

【作者】韩然;吴正朋;李梅

【作者单位】中国传媒大学理学院,北京,100024;中国传媒大学理学院,北

京,100024;中国传媒大学理学院,北京,100024

【正文语种】中文

【中图分类】O159

1 引言

灰色系统的特色是研究“小样本”与“贫信息”等不确定性问题。因此充分开发利用已占有的信息来挖掘系统本身固有的规律是灰色系统理论的基本准则。我们可以

通过社会、经济、生态等系统的行为特征数据来寻求因素之间或自身的变化规律。灰色系统理论认为，尽管客观系统的表象复杂、数据离乱，但它们总有自身的整体功能，必然蕴藏某种内在的规律，关键是如何选择适当的方法来挖掘和利用它。在文献［1-3］［6］中，刘思峰等学者提出了冲击扰动缓冲算子的概念，并构造出

一种得到较广泛应用的强化缓冲算子。本文在他们的工作的基础上，又构造出一类新弱化缓冲算子，从而推广了缓冲算子的类型。

2 基本概念

定义2.1设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，若

(1)∀k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)＞0，则称 X 为单调增长序列。

(2)∀k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)＜0，则称 X 为单调衰减序列。

(3)若，∃k1，k2∈{2，3，…，n}，有 x(k1)-x(k1-1)＞0，x(k2)-x(k2-1)＜0，则

称 X 为振荡序列。令，称 M-m 为振荡序列 X 的振幅。

定义2.2设X为系统行为数据序列，D为作用于X的算子，X经算子D作用后所

得到序列记为XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，则称 D 为序列算子。

对序列连续作用，可得二阶算子，一直可以作用到r阶算子，分别记为XD2，…，XDr。

公理2.1［4］(不动点公理)设为系统行为数据序列，D为序列算子，则有

x(n)d=x(n)。

公理2.2［4］(信息充分利用公理)系统行为数据序列X中的每一个数据x(k)(k=1，2，…，n)，都应充分地参与算子作用的整个过程。

公理 2.3［4］(解析化与规范化公理)任意的 x(k)d(k=1，2，…，n)皆可以由一个

统一的 x(1)，x(2)，…，x(n)的初等表达式表达。

满足上述三公理的序列算子称为缓冲算子，XD称为缓冲序列。

定义2.3［5］设为系统行为数据序列，D为序列算子，当X为单调增长序列、单

调衰减序列或振荡序列，缓冲序列XD比行为数据序列X的增长速度(或衰减速度)放慢或振幅变小，则称缓冲算子D为弱化算子。

定理1［5］(1)设X为单调增长序列，XD为缓冲序列，则D为弱化缓冲算子

⇔x(k)≤x(k)d(k=1，2，…，n);

(2)设X为单调衰减序列，XD为缓冲序列，则D为弱化缓冲算子⇔x(k)≤x(k)d，(k=1，2，…，n);

(3)设X为振荡序列，XD为缓冲序列，D为弱化缓冲算子，则

由定理1可知，单调增长序列在弱化缓冲算子作用下，数据膨胀;单调衰减序列在弱化缓冲算子作用下，数据萎缩。

3 弱化缓冲算子的构造

刘思峰等学者在其文献［4］中构造了下列弱化缓冲算子，设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，令 XD1=(x(1)d1，…，x(n)d1)，其中

则当X为单调增长序列、单调衰减序列，D1为弱化缓冲算子。

在弱化缓冲算子D1基础上，我们给出一种新的弱化缓冲算子。

定理2 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)＞0，其中

令 XD2=(x(1)d2，…，x(n)d2)

则当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列时，D2为弱化缓冲算子。

证明:容易验证

即D2满足缓冲算子公理一。而对于缓冲算子公理二，公理三显然也成立，故D2为缓冲算子。

下证D2为弱化缓冲算子。

(1)当X为单调增长序列时，由于

则有所以D2为弱化缓冲算子。

(2)当X为单调衰减序列时，因

所以D2为弱化缓冲算子。

(3)当X为振荡序列时，令

对任意的i∈{1，2，…，n}有

故D2为弱化缓冲算子。

定理3 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)＞0，则

即弱化缓冲算子D2比弱化缓冲算子D1弱化能力更强。

证明:考虑

定理4 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)＞0，m 为自然数。其中

令 XDm=(x(1)dm，…，x(n)dm)

则当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列时，Dm为弱化缓冲算子。证明:容易验证

即Dm满足缓冲算子公理一。至于缓冲算子公理二，公理三显然也成立，因而

Dm为缓冲算子。

下证Dm为弱化缓冲算子

(1)当X为单调增长序列时，因为

则有

所以Dm为弱化缓冲算子。

(2)当X为单调衰减序列时，因为

所以Dm为弱化缓冲算子。

(3)当X为振荡序列时，令

对任意的i∈{1，2，…，n}有

故Dm为弱化缓冲算子。

定理5 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)＞0，m为自然数，则

即弱化缓冲算子Dm+1比弱化缓冲算子Dm弱化能力更强。

证明:考虑

定理6 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)＞0，k≤l均为自然数，则