浅谈高中数学常见的几种概率模型

浅谈高中数学常见的几种概率模型
作者：欧阳阿辉
来源：《家教世界·下半月》2013年第03期
摘要：本文希望通过几类具体的概率模型的教学，能够使概率教学更为直观易懂，从而有效提高概率的教学效果。

关键词：古典概型；几何概型；条件概率；二项分布；超几何分布
概率是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在生产和生活中有着广泛的应用，如何实现概率有效教学成为数学教师亟待解决的问题。

概率很多知识是从具体的概率模型抽象出来的，所以能够很好地体现数学建模思想。

在概率教学中将几种有代表性的概率问题及其求解方法归纳成概率模型，是概率有效教学的一个重要策略，同时也能通过具体的模型将问题变得更清晰直观。

本文将归纳介绍高中概率几种主要的概率模型。

一、古典概型
1. 古典概型，“概型”是指某种概率模型。

“古典概型”是一种最简单、最直观的概率模型。

它具有下述特征：
（1）有限性：在一次实验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；
（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的。

古典概型在概率论中具有非常重要的地位，一方面它比较简单，既直观，又容易理解，另一方面它概括了许多实际内容，有很广泛的应用。

2. 求解古典概率问题，一般要做好三方面的工作：
一是判明问题性质，分辨所解的问题，是不是古典概率问题.如果问题所及的试验，具有以下两个基本特征：（1）试验的样本空间的元素只有有限个；（2）试验中每个样本点出现的可能性相同。

那么，我们就可断定它是一个古典概率问题。

二是掌握古典概率的计算公式.如果样本空间包含的样本点的总数为n，事件A包含的样本点数为k，那么事件A的概率是
P（A）==
三是根据公式要求，确定n和k的数值。

这是解题的关键性一步，计算方法灵活多变，没有一个固定的模式。

古典概率一种解法大体都是围绕n和k的计算而展开的。

3. 例题分析。

4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取出2张卡片上的数字之和为奇数的概率为多少？
解析：方法一：设A表示“两张卡片上的数字之和为奇数”，则基本事件的总数为C，事件A包含的基本事件为CC。

故P（A）==。

方法二：设A表示“两张卡片上的数字之和为奇数”，A表示“两张卡片上的数字之和为偶数”，事件A包含的基本事件数为2，则P（A）==。

故P（A）=1-P（A）=。

通过本题求解我们可以小结（1）有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本总数，这常常用到排列、组合的有关知识；（2）对于较复杂的题目要注意正确分类，分类时不重不漏。

二、几何概型
1. 几何概型实际上是古典概型的延伸和推广，要解决几何概型问题，主要应了解几何概型的特点，并能结合随机数的意义，运用模拟的方法估计概率。

几何概型的特点：（1）每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；（2）每次试验的各种结果是等可能的。

所以，随机事件的概率大小与随机事件所在的区域位置无关，只与该区域的度量有关。

2. 区别：古典概型与几何概型，古典概型只能适用于计算有限等可能概型中的事件概率；几何概型适用于等可能性，而试验结果是无限多个，且可用一个度量（长度、面积、体积）的几何区域表示。

3. 几何概型的概率公式
P（A）=
4. 例题分析：在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落入E中的概率？
分析，本题是几何概型的问题，主要考查必然与或然思想。

如图，区域D表示边长为4的正方形ABCR的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部。

向区域D中随机投入一点，这点是否落入区域E内是随机的，但落入区域E的概率P 是确定的，概率P=，这使我们体会到了事件发生的偶然和偶然中的必然。

通过本题我们可知，几何概型是一种基本事件的个数无限的等可能性概率模型，是新课标新增加的内容。

几何概型的基本题型有三类：一是在线段上的，其概率为线段长度的比值；二是在平面的区域上的，其概率为区域面积的比值或角度比，本题是在平面区域上的，所有基本事件在一个正方形区域内，随机事件的基本事件在一个圆形区域内，计算其面积的比值即可；三是在立体区域上的，其概率为体积的比值。

三、条件概率
1. 条件概率的定义：设A、B为两个事件，且P（A）>0，称P（B|A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。

2. 条件概率公式： P（B|A）=
3. 例题分析：一只盒子有3只坏晶体管和7只好晶体管，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，发现第一只是好的，问另一只也是好的概率是多少？
解析设A=“第一是好的”，B=“第二只是好的”，根据题意要求P（B|A），我们给出三种解法。

方法一，把一盒子中的10只晶体管看成是可区别的，抽取二次的所有试验结果为
10×9=90个，而在A发生的条件下，即在第一只是好的限制下，原来的基本事件总数缩减为
7×9=63个，其中属于B的基本事件为7×6=42个，所以P（B|A） ==。

方法二，在A已发生的条件（即取出的第一只是好的）下，盒子中剩下9只晶体管，其中6只是好的，因此第二次再取出好的晶体管的概率为=。

方法三，由题意知，P（A）=，P（AB）=，所以P（B|A）==。

通过本题三种不同方法的求解，可知第二种方法为好。

实际上，对于古典概型、几何概型的条件概率计算，常可根据问题的条件去考虑，不必拘谨于条件概率的定义。

四、二项分布与超几何分布
1. （1）二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率公式为P（X=k）=Cpk（1-p）n-k （k=0，1，2，…n）此时X服从二项分布，记为X～B（n，
p），p为成功概率。

二项分布是离散型随机变量的分布列中重要的一种模型，应用非常广泛，也是高考考查的重点。

（2）二项分布的判断依据
①每次试验中，事件发生的概率是相同的；
②各次试验中的事件是相互独立的；
③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
2. 超几何分布
（1）一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率P（X=k），称为超几何分布。

（2）超几何分布P（X=k）=， k=0，1，2，3，…，m，其中n≤N，M≤N，n，N，
M∈N？鄢
3. 超几何分布与二项分布的区别：超几何分布是无放回的抽取，个数有限，每次抽到的概率改变；而二项分布是有放回的抽取或数量巨大的无放回抽取，概率不变。

例题分析：国家规定罗非鱼汞含量不超过1.00ppm，现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检验得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点钱一位为茎，小数点后一位为叶）如下：
（1）若从这15条中随机地抽3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率？
（2）以此15条鱼的样本数据来估计，这批鱼的总体数据，若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记？灼表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求？灼的分布列？
分析：（1）小题中属于无放回的抽取，每次抽取概率不同，是超几何分布
解：“15条中随机地抽3条，恰有1条鱼汞含量超标”记为事件A则P（A）==
分析：（2）小题属于数量巨大的无放回抽取，概率当成不变，是二项分布
解：依题意知这批罗非鱼中汞含量超标的概率为P=，？灼为0，1，2，3可列下表
通过本题我们能很好地认识超几何分布与二项分布的区别与联系：当抽取的方式从无放回变为有放回，超几何分布变为二项分布，当产品总数N很大时，超几何分布变为二项分布。

独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似的看做此类型。

总之以上是高中所涉及到的几种常见概率基本模型，如果教学中有意识地教会学生去归纳总结所遇到的概率模型，让他们知道概率的具体应用，无疑会提高学生学习概率的乐趣.在解决概率问题时，可以采用灵活多样的方法，才能更好地培养学生的概率思维。

参考文献
[1]奚有芹，数理化学习哈尔滨师范大学2010年第12期
[2]李惠芬，黄晨昊福建高考理科数学考试说明福建教育出版社 2012
[3]李光明，施耀森赢在高考理科数学教师用书西苑出版社 2012
[4]繆铨生，概率与数理统计华东师范大学出版社 1989。