第1章 3.2 全集与补集

3．2 全集与补集
学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn 图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．
知识点一 全集
(1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素． (2)记法：全集通常记作U .
知识点二 补集
思考 实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？ 答案 剩下不大于1的数，用集合表示为{x ∈R |x ≤1}． 梳理 补集的概念
1．根据研究问题的不同，可以指定不同的全集．( √ ) 2．存在x 0∈U ，x 0∉A ，且x 0∉∁U A .( × )
3．设全集U ＝R ，A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪ 1x >1，则∁U A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
1x
≤1.( × ) 4．设全集U ＝{}
(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|x >0且y >0}，则∁U A ＝{(x ，y )|x ≤0且y ≤0)}.( × )
类型一求补集
例1(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁U A等于()
A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x<2}
C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2}
考点补集的概念及运算
题点无限集合的补集
答案 C
解析∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，
∴∁U A＝{x|0<x≤2}，故选C.
(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁U A，∁U B.
考点补集的概念及运算
题点有限集合的补集
解根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}．
(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B)．
考点补集的概念及运算
题点无限集合的补集
解根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．
反思与感悟求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解．
跟踪训练1(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝________.
考点补集的概念及运算
题点有限集合的补集
答案{3,4,5}
(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则∁U A＝________.
考点补集的概念及运算
题点无限集合的补集
答案{x|－1<x<2}
(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则∁U A＝________.
考点补集的概念及运算
题点无限集合的补集
答案{(x，y)|xy≤0}
类型二补集性质的应用
命题角度1补集性质在集合运算中的应用
例2已知A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∁U B＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.
考点补集的概念及运算
题点有限集合的补集
解∵A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，
∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．
而∁U B＝{－1,0,2}，
∴B＝∁U(∁U B)＝{－3,1,3,4,6}．
反思与感悟从Venn图的角度讲，A与∁U A就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A)∩A＝∅，(∁
A)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推．
U
跟踪训练2如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.
考点补集的概念及运算
题点无限集合的补集
答案{x|0≤x≤1或x＞2}
解析A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，
由图可得A*B＝∁(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．
命题角度2补集性质在解题中的应用
例3关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①
x2＋2x－a＝0，②
x 2＋2ax ＋2＝0，③
若三个方程至少有一个有解，求实数a 的取值范围． 考点 交并补集的综合问题
题点 与交并补集运算有关的参数问题 解 假设三个方程均无实根，则有
⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ1＝a 2－4<0，
Δ2＝4＋4a <0，Δ3
＝4a 2
－8<0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
－2<a <2，
a <－1，－2<a < 2.
解得－2<a <－1，
∴当a ≤－2或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，即a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ≥－1}．
反思与感悟 运用补集思想求参数取值范围的步骤 (1)把已知的条件否定，考虑反面问题． (2)求解反面问题对应的参数的取值范围． (3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集．
跟踪训练3 若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a 的取值范围． 考点 交并补集的综合问题
题点 与交并补集运算有关的参数问题 解 假设集合A 中含有2个元素， 即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a ≠0，Δ＝9－8a >0，
解得a <9
8
且a ≠0，
则集合A 中含有2个元素时，
实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a ⎪⎪
a <9
8且a ≠0. 在全集U ＝R 中，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ a <98且a ≠0的补集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪
a ≥9
8或a ＝0， 所以满足题意的实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a ⎪⎪
a ≥9
8或a ＝0.
类型三集合的综合运算
例4(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,3,5}，Q＝{1,2,4}，则(∁U P)∪Q等于() A．{1} B．{3,5}
C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,5}
考点交并补集的综合问题
题点有限集合的交并补运算
答案 C
解析∵∁U P＝{2,4,6}，∴(∁U P)∪Q＝{1,2,4,6}．
(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．考点交并补集的综合问题
题点无限集合的交并补运算
答案{a|a≥2}
解析∵∁R B＝{x|x<1或x>2}且A∪(∁R B)＝R，
∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.
即实数a的取值范围是{a|a≥2}．
反思与感悟解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴．
跟踪训练4(1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,3,7}，A∩(∁U B)＝{4,9}，则B等于()
A．{1,2,3,6,7} B．{2,5,6,8}
C．{2,4,6,9} D．{2,4,5,6,8,9}
考点交并补集的综合问题
题点有限集合的交并补运算
答案 B
解析根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故选B.
(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)．
考点交并补集的综合问题
题点无限集合的交并补运算
解如图所示．
∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}．
A∩B＝{x|－2<x≤2}，
∴(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}.
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于()
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
考点补集的概念及运算
题点有限集合的补集
答案 C
2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于() A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3} D．{4}
考点交并补集的综合问题
题点有限集合的交并补运算
答案 D
3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()
A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}
C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
考点交并补集的综合问题
题点无限集合的交并补运算
答案 C
4．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是()
A．Z∪(∁U N) B．N∩(∁U N)
C．∁U(∁U∅) D．∁U Q
考点交并补集的综合问题
题点无限集合的交并补运算
答案 A
5．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁U N)＝{2,4}，则N等于() A．{1,2,3} B．{1,3,5}
C．{1,4,5} D．{2,3,4}
考点交并补集的综合问题
题点有限集合的交并补运算
答案 B
1．全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．
(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．
2．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A，求A.
一、选择题
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
考点交并补集的综合问题
题点有限集合的交并补运算
答案 C
解析∁U A＝{0,4}，所以(∁U A)∪B＝{0,2,4}，故选C.
2．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B等于()
A．{－2，－1} B．{－2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
考点并交补集的综合问题
题点有限集合的并交补运算
答案 A
解析因为集合A＝{x|x＞－1}，
所以∁R A＝{x|x≤－1}，
则(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1} ＝{－2，－1}．
3．已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( ) A ．0或2 B ．0 C ．1或2
D ．2
考点 补集的概念及运算 题点 由补集运算结果求参数的值 答案 D
解析 由题意，知⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
a 2
－2a ＋3＝3，则a ＝2.
4．图中的阴影部分表示的集合是( )
A ．A ∩(∁U
B ) B ．B ∩(∁U A )
C ．∁U (A ∩B )
D ．∁U (A ∪B )
考点 交并补集的综合问题
题点 用并交补运算表示Venn 图指定区域 答案 B
解析 阴影部分表示集合B 与集合A 的补集的交集． 因此阴影部分所表示的集合为B ∩(∁U A )．
5．已知U 为全集，集合M ，N ⊆U ，若M ∩N ＝N ，则( ) A ．∁U N ⊆∁U M B ．M ⊆∁U N C ．∁U M ⊆∁U N
D ．∁U N ⊆M 考点 交并补集的综合问题
题点 与集合运算有关的子集或真子集 答案 C
解析 由M ∩N ＝N 知N ⊆M ，∴∁U M ⊆∁U N .
6．设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A 等于( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2,5} 考点 补集的概念及运算 题点 无限集合的补集 答案 B
解析 因为A ＝{x ∈N |x ≤－5或x ≥5}，
所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}，故∁U A＝{2}．
7．设U＝{1,2,3,4}，M＝{x|x∈U|x2－5x＋p＝0}，若∁U M＝{2,3}，则实数p的值为() A．－4 B．4 C．－6 D．6
考点补集的概念及运算
题点与补集运算有关的参数问题
答案 B
解析∵∁U M＝{2,3}，∴M＝{1,4}，∴1,4是方程x2－5x＋p＝0的两根．由根与系数的关系可知p＝1×4＝4.
二、填空题
8．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝______，(∁U A)∩(∁U B)＝________.
考点交并补集的综合问题
题点无限集合的交并补运算
答案{x|0<x<1}{x|0<x<1}
解析A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．∁U A＝{x|x>0}，∁U B＝{x|x<1}，
∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|0<x<1}．
9．若全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0，y>0}，则点(－1,1)________∁U A.(填“∈”或“∉”)
考点补集的概念及运算
题点无限集合的补集
答案∈
解析显然(－1,1)∈U，且(－1,1)∉A，
∴(－1,1)∈∁U A.
10．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为________．
考点Venn图表达的集合关系及运用
题点Venn图表达的集合关系
答案{x|x≤1或x>2}
解析如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1<x≤2}，
∴阴影部分为∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}．
11．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y －3x －2＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}，则(∁U A )∩B ＝________.
考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
答案 {(2,3)}
解析 ∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y －3x －2＝1＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ≠2}，∴∁U A ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}∪{(2,3)}． 又B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}，∴(∁U A )∩B ＝{(2,3)}．
三、解答题
12．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤2}，若B ∪(∁U A )＝R ，B ∩(∁U A )＝{x |0<x <1或2<x <3}，求集合B .
考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
解 ∵A ＝{x |1≤x ≤2}，
∴∁U A ＝{x |x <1或x >2}．
又B ∪(∁U A )＝R ，A ∪(∁U A )＝R ，
可得A ⊆B .
而B ∩(∁U A )＝{x |0<x <1或2<x <3}，
∴{x |0<x <1或2<x <3}⊆B .
借助于数轴
可得B ＝A ∪{x |0<x <1或2<x <3}＝{x |0<x <3}．
13．已知A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }．
(1)当m ＝1时，求A ∪B ；
(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．
考点 交并补集的综合问题
题点 与交并补集运算有关的参数问题
解 (1)当m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}，
又A ＝{x |－1<x ≤3}，所以A ∪B ＝{x |－1<x <4}．
(2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x ＞3}．
当B ＝∅时，即m ≥1＋3m ，
得m ≤－12
，满足B ⊆∁R A ， 当B ≠∅时，使B ⊆∁R A 成立，
则⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，
m ＞3，
解得m ＞3. 综上可知，实数m 的取值范围是
⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪
m ＞3或m ≤－12. 四、探究与拓展
14.如图，已知I 是全集，A ，B ，C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A ．(∁I A ∩
B )∩C
B ．(∁I B ∪A )∩C
C ．(A ∩B )∩(∁I C )
D ．(A ∩∁I B )∩C
考点 Venn 图表达的集合关系及运用
题点 Venn 图表达的集合关系
答案 D
解析 由题图可知阴影部分中的元素属于A ，不属于B ，属于C ，则阴影部分表示的集合是(A ∩∁I B )∩C .
15．设全集U ＝{x |x ≤5，且x ∈N ＋}，其子集A ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，B ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，且(∁U A )∪B ＝{1,3,4,5}，求实数p ，q 的值．
考点
题点
解 由已知得U ＝{1,2,3,4,5}．
(1)若A ＝∅，则(∁U A )∪B ＝U ，不合题意；
(2)若A＝{x0}，则x0∈U，且2x0＝5，不合题意；
(3)设A＝{x1，x2}，则x1，x2∈U，且x1＋x2＝5，
∴A＝{1,4}或{2,3}．
若A＝{1,4}，则∁U A＝{2,3,5}，
与(∁U A)∪B＝{1,3,4,5}矛盾，舍去；
若A＝{2,3}，则∁U A＝{1,4,5}，
由(∁U A)∪B＝{1,3,4,5}知3∈B，同时可知B中还有一个不等于3的元素x，由3x＝12得x＝4，即B＝{3,4}．
综上可知，A＝{2,3}，B＝{3,4}，
∴q＝2×3＝6，p＝－(3＋4)＝－7.。