医学高等数学习题解答(第2章)
医学高数2(极限)
证明数列 例如:已知 例如 已知 证:
的极限为1. 的极限为
n + (−1) −1 xn −1 = n
n
∀ ε > 0 , 欲使
即
1 只要 n > ε
N = [ ] , 则当 n > N 时, 就有
1
ε
n + (−1) n −1 < ε n
故
n + (−1) n lim xn = lim =1 n →∞ n →∞ n
1 4 n + (−1) 例1-7 讨论数列 2, , , 2 3 n
x → x0
n −1
,L
当 n→∞ 时的变化趋势。 → 时的变化趋势。 n + (−1) n −1 (−1) n −1 = 1+ 解 此数列的一般项为 xn = n n 越来越大时， 越来越接近于点1， 当 n 越来越大时，点 xn 越来越接近于点 ，即 n + (−1) n −1 lim =1 n →∞ n
的函数: 若xn是正整数 n 的函数 xn= f(n) ,其取值依次为 其取值依次为 x1 , x2 , …, xn , … 像这样一列有次序的数,叫做数列(sequence of 叫做数列 像这样一列有次序的数 叫做数列 简记为数列{ number),简记为数列 xn}。数列中的每一个数叫做数 简记为数列 。 列的项， 叫做数列的首项 首项， 叫做数列{ 列的项， x1叫做数列的首项，第 n 项 xn 叫做数列 xn} 一般项或通项。 的一般项或通项。 例如： ， ， ， ， {n} 例如：1，2，3，…，n … （1-1） ） 1 1 1 1 { 1n } （1-2） ） , , ,L , , L
A+ε ε A A-ε ε 0 x0-δ δ x0 x0+δ δ y =f (x)
医用高等数学教材答案
医用高等数学教材答案[注意：以下为虚构内容，并非真实的医用高等数学教材答案]第一章：微积分基础1. 解答：a) 设医学函数f(x)表示患者血压变化情况。
根据观察数据，当时间t 以分钟为单位递增时，血压p以毫米汞柱为单位递减。
则可用函数f(x) = -0.1x + 180来描述患者血压的变化规律，其中x为时间，f(x)为血压值。
b) 患者血压在15分钟内的平均变化率为：平均变化率 = (p2 - p1) / (t2 - t1)假设15分钟内血压从 p1 = 180mmHg 下降到 p2 = 160mmHg，则平均变化率为：平均变化率 = (160 - 180) / (15 - 0) = -4mmHg/min因此，患者血压在15分钟内的平均变化率为-4mmHg/min。
2. 解答：a) 医学函数f(x)描述了人体内一种物质的浓度变化规律。
根据观察数据，当时间t以小时为单位递增时，物质浓度c以毫升为单位递增。
则可用函数f(x) = 0.2x + 3来描述物质浓度的变化规律，其中x为时间，f(x)为物质浓度。
b) 物质浓度在4小时内的平均变化率为：平均变化率 = (c2 - c1) / (t2 - t1)假设4小时内物质浓度从 c1 = 3ml 下降到 c2 = 5ml，则平均变化率为：平均变化率 = (5 - 3) / (4 - 0) = 0.5ml/h因此，物质浓度在4小时内的平均变化率为0.5ml/h。
第二章：概率与统计1. 解答：a) 使用二项分布模型可以描述医学试验中的二元结果。
设试验成功的概率为p，失败的概率为q = 1-p。
则试验重复n次，成功k次的概率可由二项分布公式计算：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中C(n,k)表示从n次试验中选择k次成功的组合数。
b) 假设一种药物在治疗特定疾病时的成功率为80%（p=0.8），现在进行了100次治疗试验。
则治疗成功50次的概率为：P(X=50) = C(100,50) * 0.8^50 * 0.2^50 ≈ 0.079因此，治疗成功50次的概率约为0.079。
医用高等数学完整答案
医用高等数学完整答案第一部分：导数及其应用导数是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在医用高等数学中，导数的应用非常广泛，例如在药物动力学、生物力学等领域。
1. 导数的定义：导数可以理解为函数在某一点的变化率。
对于一个函数 f(x)，它在点 x=a 处的导数定义为：f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) f(a)] / h其中，h 表示自变量 x 的微小变化量。
2. 导数的几何意义：导数还可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。
切线是函数图像在该点附近最接近的直线，斜率则表示切线与x 轴的夹角。
3. 导数的计算：导数的计算方法有很多种，包括求导法则、微分法则、链式法则等。
下面列举一些常用的求导法则：常数函数的导数为 0。
幂函数的导数为幂指数乘以幂函数的导数。
指数函数的导数为指数函数乘以底数的对数。
对数函数的导数为底数的对数除以对数函数。
三角函数的导数可以根据三角函数的和差公式进行计算。
4. 导数的应用：导数在医用高等数学中的应用非常广泛，例如：药物动力学：通过求导可以计算药物在体内的浓度变化率，从而预测药物的疗效和副作用。
生物力学：通过求导可以计算生物体的运动速度和加速度，从而分析生物体的运动状态。
生理学：通过求导可以计算生理参数的变化率，从而分析生理过程的变化规律。
导数是医用高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率，并在药物动力学、生物力学等领域有着广泛的应用。
第二部分：微积分的应用微积分是高等数学的另一个重要分支，它包括微分和积分两部分。
在医用高等数学中，微积分的应用同样非常重要，它可以帮助我们理解和分析医学问题。
1. 微分的应用：微分是微积分的基础，它描述了函数在某一点的变化情况。
在医学中，微分可以用来研究药物在体内的浓度变化、生物体的生长速度等。
例如，我们可以通过微分方程来描述药物在体内的代谢过程，从而预测药物的疗效和副作用。
2. 积分的应用：积分是微积分的另一个重要部分，它描述了函数在某个区间上的累积效果。
医用高等数学(第三版)习题解答
医用高等数学（第三版）习题解答习题一1( 求下列函数的定义域:(1)要使函数有意义，需且只需，即或，所以函数 (x，2)(x,1),0y,(x，2)(x,1)x,,2x,1的定义域为。
(,,,,2],[1,，,)(2)要使函数有意义，需且只需，即，所以函数 y,arccos(x,3),1,x,3,12,x,4。
的定义域为[2,4]x,1x,1,0(3)要使函数有意义，需且只需且，或，所以函数的定 x，2,0x,,2x,1y,lgx，2x，2义域为。
(,,,,2),(1,，,)ln(2，x),0,ln(2，x),y,2，x,0(4)要使函数有意义，需且只需，解之得函数的定义域为。
[,1,0),(0,4),(4,，,),x(x,4),x(x,4),0,2,2,x,01x,(5)要使函数有意义，需且只需，解之得函数的定义域为。
y,，arcsin(,1)[0,2),22,,1,x/2,1,12,x,xsinx,0y,(6)要使函数有意义，需且只需，即函数的定义域为。
D,{xx,R,x,k,,k为整数}sinx1111122f(),,f(0),f(lg),1，lg,1，(lg2)2(解，，。
222221,0,x，,1,1112，，3f(x，)，f(x,)) 要使函数有意义，需且只需3(解(1 解之得函数的定义域为。
,,,,13333，，,0,x,,13,0,sinx,1(2)要使函数有意义，需且只需，即为整数，所以函数的定2k,,x,(2k，1),,kf(sinx)D,{xx,[2k,,(2k，1),],k为整数}义域为。
,1,1[e,1]e,x,1(3)要使函数有意义，需且只需，即，所以函数f(lnx，1)的定义域为。
0,lnx，1,1220,x,1[,1,1](4)要使函数有意义，需且只需，即，所以的定义域为。
f(x),1,x,1312sin332x2y,lgtan(x，1)4(解(1); (2) ; (3) ; (4) 。
医科高等数学 教材答案
医科高等数学教材答案1. 引言医科高等数学是医学生必修的一门数学课程，主要涵盖了微积分、概率统计等数学内容，是医学生综合素质培养的重要组成部分。
本文将为大家提供医科高等数学教材的一些答案，希望对学生们在学习中有所帮助。
2. 微积分部分2.1 极限与连续性2.1.1 极限的基本概念与性质- 问题1: 计算极限 $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$。
- 解答: 根据已知极限 $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1$。
2.1.2 函数的连续性- 问题2: 判断函数 $f(x) = \begin{cases}x^2, & x\neq1 \\ 2, &x=1\end{cases}$ 的连续性。
- 解答: 函数在 $x=1$ 处连续，其他点处连续。
2.2 导数与微分2.2.1 导数的概念与性质- 问题3: 计算函数 $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ 的导数。
- 解答: $f'(x) = 6x - 4$。
2.2.2 高阶导数与高阶微分- 问题4: 计算函数 $f(x) = e^x \sin x$ 的二阶导数。
- 解答: $f''(x) = e^x(\sin x + 2\cos x)$。
3. 概率统计部分3.1 随机事件和概率3.1.1 随机试验与事件- 问题5: 已知一枚硬币被抛掷，求出现正面的概率。
- 解答: 假设硬币均匀，正面出现的概率为 $\frac{1}{2}$。
3.1.2 概率的性质与公式- 问题6: 已知事件 $A$ 的概率为 $P(A) = \frac{1}{3}$，求事件$\overline{A}$ 的概率。
- 解答: $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。
3.2 随机变量与概率分布3.2.1 随机变量的概念与分类- 问题7: 将一枚骰子投掷一次，定义随机变量 $X$ 表示出现的点数，求随机变量 $X$ 的概率分布。
医学高等数学课件 第二章第2节-求导法则(2)
函数f (x)的n阶导数,记作
f ( (n) x), y(n) , d n y 或 d n f ( x) .
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。
2.高阶导数求法举例
例21 设y eax , 求 y(n).
解:
y aeax,
y a2 eax ,
y a3 ea x ,
y(n) aneax
dy dy dx d t
d x (t) . dt (t)
可导,
例19.求曲线
x y
t(1 sin t cos t
t
)
所确定的函数的导数
dy dx
解： dy dy dx cos t t sin t dx dt dt (1 sin t) t cos t
例20.求椭圆
x
y
a cos t b sin t
特别地 (ex )(n) e x
注: 求n阶导数时,求出1~3或4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例23.设 y sin x, 求y (n).
解: y cos x sin( x ) 2
y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 )
求导方法：
①两边取对数 ln y v ln u （隐函数）
②两边对x求导 1 y v ln u uv
y
u
③解方程 y uv ( vln u uv ) u
例16. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐函数
两边对 x 求导
1 y ln xx 1
y
x
y y(ln x 1) xx (ln x 1)
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
医用高等数学智慧树知到课后章节答案2023年下内蒙古医科大学
医用高等数学智慧树知到课后章节答案2023年下内蒙古医科大学内蒙古医科大学第一章测试1.已知 ,则的值为（）.A:6 B:-6 C: D:-3答案:-32.设函数 ,若在处连续,则的值等于（）.A:1 B:2 C: D:答案:13.下列叙述不正确的是（）A:无穷大量的倒数是无穷小量 B:无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量 C:无穷小量的倒数是无穷大量 D:无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量答案:无穷小量的倒数是无穷大量4.的值为（）.A:1 B:不存在但不是无穷大 C: D:0答案:05.下列极限存在的是（）.A: B: C: D:答案:6.设，则是的（）.A:跳跃间断点 B:第二类间断点 C:连续点 D:可去间断点答案:跳跃间断点7.已知 ,则常数a等于（）.A:1 B: 1 C:5 D:6答案:68.（）A:错 B:对答案:对9.（）A:错 B:对答案:对10.函数是内的连续函数.（）A:错 B:对答案:错第二章测试1.设，则（）。
A: B: C: D:答案:2.若函数在内满足且，则在此区间（）。
A:单调增加，凸函数B:单调减少，凹函数C:单调增加，凹函数D:单调减少，凸函数答案:单调减少，凹函数3.若可导, 且 , 则（）。
A: B: C: D:答案:4.设，则（）。
A: B: C: D:答案:5.设由方程所确定的隐函数为，则 =（）。
A: B: C: D:答案:6.设由方程所确定的函数为，则在处的导数为（）。
A: B: C:0 D:答案:7.设曲线在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为（）。
A:(1,1) B:( 0,0) C:(0,1) D:(1, 0)答案:(1, 0)8.设函数，则在处（）。
A:可导，但不连续 B:可导，且导数也连续 C:不连续 D:连续，但不可导答案:连续，但不可导9.已知，则 = （）。
A: B: C: D:答案:10.下列凑微分正确的是（）。
A: B: C: D:答案:;第三章测试1.（）A:； B:． C:； D:；答案:；2.（）A:； B: ( ) ； C: ( )； D:．答案: ( )；3.若（），则（）A:2； B:． C:； D:；答案:2；4.设，则（）A:； B:． C:； D:；答案:；5.，则（）A: B: C: D:答案:6.，则（）A: B: C: D:答案:7.（）A: B: C: D:答案:8.因为，所以（）A:错 B:对答案:对9. =（）A:对 B:错答案:对10.（）A:对 B:错答案:错第四章测试1.。
医药高等数学教材答案
医药高等数学教材答案由于题目中提到需要回答医药高等数学教材的答案，因此，以下是一个按照题目要求写的医药高等数学教材答案的示例。
----------------------------------医药高等数学教材答案第一章：函数与极限1.1 函数的概念和性质1. 函数是一种特殊的关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
2. 函数的定义域是所有输入的值，而值域是所有可能的输出值。
3. 函数可分为初等函数、三角函数、指数函数等等不同类型。
1.2 极限及其运算1. 极限描述了函数在某一点的趋势和特性。
2. 极限运算包括极限的求法、无穷小量的性质和极限的运算法则。
第二章：微分学2.1 函数的连续性及导数定义1. 连续性描述了函数在某一区间内的平滑性。
2. 函数在某一点连续的条件是左右极限存在且相等。
3. 导数描述了函数在某一点的变化率。
2.2 基本初等函数的导数1. 常数函数、幂函数、指数函数和对数函数的导数规律。
2. 三角函数的导数规律。
第三章：微分中值定理与函数的应用3.1 极值与最值1. 极值是函数在某一区间内达到的最大或最小值。
2. 最值是函数在整个定义域内的最大或最小值。
3.2 函数的增减性与凹凸性1. 函数的增减性描述了函数的单调性。
2. 函数的凹凸性描述了函数在某一区间内的凹凸特性。
3.3 微分中值定理1. 平均值定理和拉格朗日中值定理描述了函数在某一区间内的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
第四章：积分学4.1 不定积分与定积分1. 不定积分是函数的原函数，表示函数的积分结果。
2. 定积分表示函数在某一区间上的面积或曲线长度。
4.2 定积分的基本性质1. 定积分的线性性质和区间可加性。
2. 牛顿-莱布尼茨公式描述了定积分和不定积分之间的关系。
4.3 定积分的应用1. 定积分可用于计算曲线下的面积、物体的质量、质心等问题。
第五章：常微分方程5.1 方程的分类与求解方法1. 常微分方程可分为一阶和高阶方程。
医学高等数学习题解答(1,2,3,6)培训资料
医学高等数学习题解答(1,2,3,6)第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)一、判断题题解1. 正确。
设h (x )=f (x )+f (-x ), 则h (-x )= f (-x )+f (x )= h (x )。
故为偶函数。
2. 错。
y =2ln x 的定义域(0,+∞), y =ln x 2的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)。
定义域不同。
3. 错。
+∞=→201limxx 。
故无界。
4. 错。
在x 0点极限存在不一定连续。
5. 错。
01lim =-+∞→xx 逐渐增大。
6. 正确。
设A x f x x =→)(lim 0，当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内，有εε+<<-A x f A )(。
7. 正确。
反证法：设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续，则g (x ) =F (x )-f (x )，在x 0处F (x )，f (x )均连续，从而g (x )在x =x 0处也连续，与已知条件矛盾。
8. 正确。
是复合函数的连续性定理。
二、选择题题解1. ())( 22)]([,2)(,)(222D x f x x x f x x x ====ϕϕ2. y =x (C )3. 01sinlim 0=→xx x (A )4. 0cos 1sinlim0=→xx x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 11111f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++-- (B )6. 3092<⇒>-x x (D )7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是-10。
(A )8. 设1)(4--=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ，)(x f 连续，由介质定理可知。
(D ) 三、填空题题解 1. 210≤-≤x ⇒31≤≤x2. )arctan(3x y =是奇函数，关于原点对称。
第2章 医学高等数学93页
2.1.1 引例
1. 变速直线运动的速度 描述物体下落位置的函数为
v
t0
t
则 到 的平均速度为
dyAx
自由落体运动
t t0 而在 时刻的瞬时速度为
f '(xy)2x0 t t0
改变量之比的 极限称为导数，
路程对时间的 导数就是速度。
y(1x2)4
瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o t0
f (t)
d f (x) . dx
x
y(1x2)4
•对于 内的每一点 有
yf(xx)f(x)limf(x0x)f(x0)
x0 x
而 f(x0)xlixm0 xx0
在 处的导数即为yf(xx)f(x)在
处的函数值，即 y x
求导的步骤
1.求增量 f(x0)f(x)xx0
2.算比值 lim y
x 0 x
3.取极限 y x2
y
yf(x)
曲线
N
割线 M N 的斜率 f(x)f(x0)
x x0
(sx)i'cnxo，(scx)o'sxin
CM
T
1cosx
lim
x0
x2
o x 0 x x
l i m l i m x x 0 f(x)f(x0) x x 0
f(x)f(x0)
lim y x0 x
(sx)i'cnxo，(scx)o'sxin
x
x0
;
df (x) dx x x0
xx0
即
f(x)0
lim y x0 x
limf(x0x)f(x0) x0 x
y(1x2)4
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高等数学医药类教材答案
高等数学医药类教材答案第一章：导数与微分1.1 问题1. 求函数 $f(x)=2x^3-5x^2+3x-2$ 在点 $x=2$ 处的导数。
2. 对于函数 $f(x)=\sqrt{x} \cdot e^x$，求 $f'(x)$。
3. 对于函数 $f(x)=\sin(2x+1)$，求 $f''(x)$。
4. 求曲线 $y=e^x$ 在点 $(1, e)$ 处的切线方程。
5. 对于函数 $f(x)=\ln(\ln x)$，求 $f''(x)$。
1.2 答案1. $f'(x)=6x^2-10x+3$2. $f'(x)=e^x(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x})$3. $f''(x)=-4\sin(2x+1)$4. 切线方程为 $y=e(x-1)+e$5. $f''(x)=-\frac{1}{x(\ln x)^2}$第二章：定积分2.1 问题1. 计算定积分 $\int_0^{\pi} \sin x \cos x dx$。
2. 求函数 $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的定积分。
3. 求函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在区间 $[1, +\infty)$ 上的定积分。
4. 求曲线 $y=x^2$ 与 $y=4-x^2$ 之间的面积。
5. 求曲线 $y=\ln x$ 与 $y=x$ 的交点横坐标之和。
2.2 答案1. $\frac{1}{2}$2. $\frac{\pi}{2}$3. $\infty$4. $8$5. $1$第三章：多元函数微分学3.1 问题1. 求函数 $f(x,y)=2x^3+y^2-xy$ 在点 $(1,1)$ 处的偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$。
医用高等数学练习题2
一、一阶微分方程之可分离变量的微分方程求下列方程通解二、一阶微分方程之一阶线性微分方程一阶线性齐次方程一阶非线性齐次方程求下列方程通解三、一阶微分方程之伯努利方程四、二阶微分方程之可降阶的微分方程五、二阶微分方程之二阶常系数线性齐次方程六、二阶微分方程之二阶常系数线性非齐次方程将其代入上式，令等式两端x的同次幂的系数相等，得到以为未知数的联立方程组，最后确定这些系数，求出特解利用欧拉公式，，上述两个结论也可推广到高阶方程的情形.七、微分方程的应用（1）一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m ,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间。
（2）从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深y与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为m,体积为B,海水比重为，仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k ( k> 0 ) ,试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).八、齐次方程可化为齐次方程的方程九、二元函数的极限一十、二阶偏导数一十一、全微分一十二、多元复合函数求导的链式法则一十三、二元函数微分学在几何上的应用1、空间曲线的切线与法平面2、曲面的切平面与法线一十四、二元函数的极值一十五、二重积分的计算1、D为 X –型区域2、D为Y –型区域3、利用极坐标计算二重积分一十六、二重积分的应用3、转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度。
在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I 或J表示，单位为kg·m2。
对于一个质点，I = mr2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。
（3）求半径为a的均匀半圆薄片（面密度为常数μ）对于其直径边的转动惯量.一十七、三重积分的计算1、投影法2、截面法。
医用高数精选习题(含答案)
医用高数精选习题(含答案)高等数学第1-3章一、求下列各极限1.求极限$\lim\limits_{2x\to1}\tan\dfrac{3(x-1)}{x}$；2.求极限$\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x+1}{x^2-1}$；3.求极限$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\ln\sin x$；4.求极限$\lim\limits_{2x\to(\pi-2x)}\dfrac{\cosx}{\ln(1+x^2)}$；5.当$x\to0$时，$\ln(1+x)-(ax^2+bx)$是$x^2$的高阶无穷小，求$a$，$b$的值；6.求极限$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1+\tan x-\sqrt{\cos2x}}{x^3}$；7.求极限$\lim\limits_{x\to0}(\sin x+\cos x)$；8.求极限$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}$。
二、求下列各函数的导数或微分1、求函数$y=\cos x\cdot\ln\tan x$的导数；2、设$y=x\arcsin\dfrac{1}{\tan^2x}$，求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$；3、求$y=f(2(1-x)e^x)$的导数，其中$f(u)$可导；4、设$y=\ln\dfrac{\sqrt{a^2+2x}-a}{2x-a-\ln(x+x^2-a^2)}$，求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$；5、设$y=\dfrac{2}{x^2+2}$，求$\mathrm{d}y$；6、设方程$xy-e^x+e=0$确定了$y$是$x$的隐函数，求$y''$；7、设$y=\ln(1+e^x)+\dfrac{x}{\sin x}$，求$\mathrm{d}y$；8、设$\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+2\Delta x)-f(x)}{\Delta x^2}=\dfrac{1}{2}$，$(x\neq0)$，求$\mathrm{d}f(2x)$。
大学医用高等数学习题2
1 y 2
x
x
ln y=1/2[ln x+lnsin x+1/2ln(1-ex)]
1 e xsinx 1- e [ cot x ] 11 x x 2(1 e )
x
14.求由下列方程确定的隐函数的导数.
(1) y=1+xey y´=ey+xeyy´ (1+xey)y´=ey
x x
e 1 lim x x x 0 2e xe 2
x
23
26. (7)
lim(tan x)
x
2cos x
lim e
x
2cos x ln(tan x )
e
x
ln tan x lim 2 1
2 cos x
2 sec 2 x lim 2 tan x sec x tan x x
2 2 2
20
e e 2x e e 2 (1) lim lim x 0 x 0 x sin x 1 cos x x x x x e e e e lim lim 2 x 0 x 0 sin x cos x (2)
x x
x
x
26. (3)
x 2
xe lim x x e x
v v0 e
A (1 e at ) a
A at e (a ) a e
at
19
v0 Ae
A (1 e at ) a
26.利用 L´Hospital 法则求下列函数极限
cos x 2 ln sin x csc x 1 sin x lim lim lim 2 ( 2 x ) 4( 2 x ) 8 8 x x x
医学高等数学教材答案
医学高等数学教材答案第一章：函数与极限1. 函数的定义与性质函数是将一个元素与另一个元素之间建立起一种特定的对应关系。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系等基本要素。
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。
2. 极限的概念与性质极限是函数在某个点或者无穷远处的趋势。
极限有左极限和右极限之分。
极限的性质包括保号性、局部有界性等。
3. 函数的连续性连续性是函数在某个点的值与该点的极限相等的性质。
连续函数的性质包括介值性、零点存在性等。
4. 导数与微分导数是函数在某个点处的变化率，表示函数图像切线的斜率。
微分是导数的微小变化量。
导数与微分的应用包括极值点的判断、泰勒展开等。
第二章：极限与连续函数1. 极限的计算方法极限的计算方法包括直接代入法、夹逼准则、无穷小代换法等。
这些方法可以帮助我们计算一些复杂的极限。
2. 连续函数与间断点连续函数是指函数在其定义域内的每一个点上都连续的函数。
间断点是指函数在某个点上不连续的点。
连续和间断的分类包括可去间断、跳跃间断和无穷间断等。
3. 初等函数的极限与连续性初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
初等函数的极限与连续性是我们进一步研究这些函数的基础。
4. 函数的一致连续性一致连续性是指在整个定义域范围内，函数的变化不超过一个预先给定的量。
一致连续性的判定包括柯西收敛准则等。
第三章：幂函数与指数函数的导数1. 幂函数的导数幂函数是指函数中含有幂次项的函数形式。
幂函数的导数计算包括常数幂函数、自然幂函数和指数函数。
2. 对数函数的导数对数函数是指函数的自变量与常数之间是指数关系的函数形式。
对数函数的导数计算包括常用对数函数和自然对数函数。
3. 指数函数的导数指数函数是指以自然常数e为底的指数形式的函数。
指数函数的导数计算包括正指数函数和负指数函数。
4. 指数函数的无穷大与无穷小指数函数的无穷大与无穷小是指指数函数在无穷远处的变化趋势。
指数函数的无穷大与无穷小的判断包括正无穷大、负无穷大和无穷小等。
《医学高等数学》课件 第二章 导数与微分
Cn1 x n1x Cn2 x n2 (x) 2 Cnn (x) n
y
Cn1 x n1 Cn2 x n2x Cnn (x)n1
我们在中学物理中学过，做匀速直线运动的物体的速度可由公式 v
求该物体在时刻 t0 (t0 [0, t ]) 的瞬时速度 v(t0 ) 。
首先考虑物体在时刻 t0 附近很短一段时间内的运动，设物体从 t0 变到 t0 t ，相应的
路程就从 s (t0 ) 变到 s (t0 t ) ，其改变量为 s s(t0 t ) s(t0 ) ，于是物体在这段时间内的平
y
f ( x0 x) f ( x0 )
y'|x x0 lim
lim
x0 x
x0
x
有时也可称作
dy
df ( x)
f ' ( x0 ), |x x0 或
|x x0
dx
dx
否则，就说 f (x) 在 x0 处的导数不存在。
注：在上式中，令 x x x0 ，得 f ' ( x0 ) lim
P0 处的切线。
如何求曲线上某点的切线方程呢？例如求抛物线 y x 2在点 P0 (1,1) 的切线方程，
如图2-2所示，显然求出切线的斜率即可。
切线是割线的极限位置，自然求切线的斜率就要先求出割线的斜率，在点 P0 近旁
取动点 P( x, y ) ，设 x 1 x ，则 y (1 x)2 1 2x (x) 2 ，割线 PP0 的斜率为
均速度为
v
s s(t0 t ) s(t0 )
医用高等数学答案
x-1 >0 x+2
ln ( 2 + x) . x( x - 4 ) ( 2 + x) ≥ 1 1 x- 1 2 x ≥ - 1 ; 又 x≠ 0 , x≠ 4 从
解 由 ln ( 2 + x) ≥ 0
而定义域为 [ - 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 4 ) ∪ ( 4 , + ∞ ) . ( 5) y = 解 由 又由 1 + a rcsi n 2 - x2 ( 2 - x2 ) > 0 - 1≤ .
1 2
= xlim 1+ →∞
1 2
lim x→∞
1 2
=e .
x2 + bx + 6 10 . 已知 lim = 5 , 试确定 b 的值 . x→1 1- x 解 由于分母极限 为 0 , 故只 有分 子 的极 限 也为 0 时 整个 分 式才可能有极限 0 型极限 , 其 结果 是个非 0 有限数 值时 , 说 明分 0
- 2 < x < 2; 0 ≤ x≤ 2 ;
1 x - 1 ≤1 2
故定义域为 [ 0 , 2 ) . ( 6) y = x . sin x 定义域为 ( k π, ( k + 1 )π) ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) .
解 由 sin x≠ 0
16
1+ x , 2 . 设 f ( x) = 1 , 2 - x, 解 f( 0) =
=
3 ; 2
x+1
2 x+ 3 ( 16 ) xlim →∞ 2 x+ 1
2 = xlim 1+ →∞ 2x+ 1
1+ = xlim →∞
医用高等数学题库(供参考)
医用高等数学题库第一章函数与极限1．设，求，并作出函数的图形。
2．设，，求，并作出这两个函数的图形。
3．设，求。
4．试证下列函数在指定区间内的单调性：（1）（2）5．下列函数中哪些是是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）（2）6．设。
试求下列复合函数，并指出x的取值范围。
7．已知对一切实数x均有，且f(x)为单调增函数，试证：8．计算下列极限：（1）（2）（3）9．（1）设，求常数a，b。
（2）已知，求a，b。
10．计算下列极限：（1）（2）（x为不等于零的常数）（3）（4）（5）（k为正整数）11．计算下列极限：（1）（2）（3）（4）（k为常数）（5）（6）（7）（8）（a>0，b>0，c>0）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）12．当时，无穷小1-x和（1）（2）是否同阶？是否等价？13．证明：当时，有（1）（2）14．利用等价无穷小的性质求下列极限：（1）（n，m为正整数）（2）15．试确定常数a，使下列各函数的极限存在：（1）（2）16．讨论下列函数的连续性：（1）的连续性（2）在x=0处的连续性17．设函数在[0，2a]上连续，,试证方程在[0，a]内至少存在一个实根。
18．设函数在开区间（a，b）内连续，，试证：在开区间(a，b)内至少有一点c，使得（其中）。
第二章导数与微分1．讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性：（1）（2）2．设存在，求3．设，问a，b为何值时，在x=0处可导？4．已知，求及，并问：是否存在？5．证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于。
6．问当系数a为何值时，抛物线与曲线相切？7．求下列各函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（a>0）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）8．求曲线在点处的切线方程和法线方程。
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第二章 一元函数微分学习题题解(P65)一、判断题题解1. 正确。
设y =f (x ), 则00)lim (lim lim lim 0000=⋅'=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆y x x y x x y y x x x x 。
2. 正确。
反证法。
假设)()()(x g x f x F +=在x 0点可导，则盾。
故命题成立。
3. 错。
极值点也可能发生一阶导数不存在的点上。
4. 错。
如图。
5. 错。
拐点也可能发生二阶导数不存在的点上。
6. 错。
不满足拉格朗日中值的结论。
7. 错。
设x x f =)(, xx g 1)(=，则：1)()()(=⋅=x g x f x F ，显然)(x f 在0=x 点的导数为1，)(x g 在0=x 点的导数不存在，而)(x F 在0=x 点的导数为0。
是可导的。
8. 错。
设3x y =和3x y =，显然它们在(-∞,+∞)上是单调增函数，但在0=x 点3x y =的导数为0，3x y =的导数不存在。
二、选择题题解1. 设切点坐标为),(00y x ，则切线的斜率020x y k x x ='==，切线方程为：)(2000x x x y y -=-过)1,0(-得20021xy =+，又有200xy =，解方程组⎩⎨⎧==+2020021x y x y 得：10=y ，10±=x ，切线方程为：12-±=x y 。
(A ) 2. 可导一定连续。
(C ) 3. 连续但不可导。
(C ) 4. 因为),(),(12b a x x ⊆∈ξ。
(B )5. 321, x y x y ==，在x=0处导数不存在，但y 1在x=0处切线不存在，y 2在x=0处切线存在。
(D )。
6. ,1sin lim 0)0sin(lim)0(00=∆∆=∆-∆+='→∆→∆-x x xx f x x 10)0(lim )0(0=∆-∆+='→∆+x x f x 可导。
(C )7. 45)(x x f ='，xx e e f 45)(='。
(A)8. 01sin lim 001sin)0(lim020=∆∆=∆-∆+∆+→∆→∆xx x x x x x 。
(B )三、填空题题解1. 11)(2-='x x x f ,3211)2(21)2(2=---=-'f 。
2. x x x cot csc )(csc ⋅-='3. y y x y xy y x xy x x '+='+⋅⇒'+='1)()cos()(])[sin(, )cos(11)cos(xy x xy y y --='。
4. xdx x e e d x x 2cos )(2sin sin 22⋅⋅=。
5. )3)(2(63666)(2-+=--='x x x x x f ，当32<<-x 时，0)(<'x f ，单调调减小。
6. )](ln )([ln 21ln x g x f y -=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'='⋅)()()()(211x g x g x f x f y y ⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'⋅=')()()()()(2)(x g x g x f x f x g x f y 。
7. 3235)(x x x f -=，()25313235)(33132-=-='-x xx x x f ，当52=x 时，)(x f 由减变增，取得极小值。
8.x e dx dy +=1，xe dxdy dy dx +==111。
四、解答题题解1. g t g g t g t g t S t t -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆--=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-∆+='→∆→∆102110lim 2110)1(21)1(10lim)1(020 2. (1)xx x x x x ∆=∆-∆+∆+→∆→∆1sinlim 001sin)0(lim00不存在，)(x f 在0=x 不可导。
(2) 01sin lim 001sin)0(lim020=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⋅∆=∆-∆+∆+→∆→∆x x x x x x x ，)(x f 在0=x 可导，且0)0(='f 。
3. ∞=∆=∆-∆+-→∆→∆αα1001lim 0)0(limx xx x x 不可导。
4. 过)1,1(与)4,2(两点的割线斜率为31214=--=k ，抛物线2x y =过x 点的切线斜率为x y 2='，故32=x ， 得 49,23==y x ，⎪⎭⎫⎝⎛49,23即为所求点。
5. 过),(00y x 点作抛物线2x y =的切线，设切点为),(2x x ，应满足x x x y x 202=--方程，若方程有两个不等的实根x ，则说明过),(00y x 点可作抛物线的两条切线。
整理方程得：02002=+-y x x x ，当044020>-=∆y x 时，方程有两个不等的实根。
也就是要满足200x y <即可。
6. 求下列函数的导数。
(1) a a nxa x y x n xnln )(1+='+='-(2) xx x y 11)5ln (+='++=' (3) 1sin cos sin )cos sin (1+-+='++='-x x x x nx x x x x y n n n(4) 23222422211tan 2cos 111tan 2sec )arctan tan (x x x x x x x x x x x x x x y ++-=++-='+='(5) xxx x x x y 22sin ln 2cos )ln 2sin 21(+⋅='⋅=' (6) 2)1(sec tan sec )1()1ln(1sec x x x x x c x x y +-+='⎪⎭⎫⎝⎛+++=' 7. 求下列函数的导数。
(1) 112111)1()1()1()1(-----+=⋅+='+⋅+='n n n n n n n n n x x n nx x n x x n y(2) x x x x x x x x y 3sec 33tan 2)3(tan 3tan )(2222+='+'=' (3) 22212cot 12sin cos ])1ln(sin [ln x xx x x x x x x y +-=+-='+-=' (4) )12ln()12(212)12()12ln(1)12ln(])12[ln(++=+'+⋅+=+'+=='x x x x x x x y(5) x xxx x x x x x y sec 2cos cos 2sin 1cos sin 1cos ])sin 1ln()sin 1[ln(2==-++='--+='(6) []xx x x x x x x x x x x x x x x x y ln )ln(ln 6ln ln 3)ln(ln 2ln ))(ln (ln 3)ln(ln 2ln )(ln )ln(ln 2]))[ln(ln ln(ln 2)(ln ln 33233233333332=='='='='=' 8. ktkte kn e n t n 00][)(='='，k en e kn t n t n ktkt=='00)()(。
9. 求下列函数的导数。
(1) x x y ln sin ln =，x x x x y y sin ln cos 1+='⋅，⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x x x x y x sin ln cos sin(2) []x x x y 2sin ln )3ln()1ln(2ln 21ln -++++=，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++='⋅x x x x y y 2sin 2cos 23111211，⎪⎭⎫⎝⎛-+++++==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++='x x x x x x x x x x x x y 2cot 231112sin 2)3)(1(2cot 231112sin )3)(1(221 (3) xx y =ln ,x x y ln ln ln =，1ln ln )(ln +='x y y ，)1(ln ln +='x y yy ，)1(ln ln +='x y y y ,)1(ln +⋅='x x e y x x x (4) x x y a r c t a n ln ln =，211arctan arctan ln x x x x y y +⋅+=', ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++='x x x x x y x arctan )1()ln(arctan )(arctan 2 10. 求下列函数的n 阶导数。
(1) x y 5=，5ln 5xy ='，5ln 52x y =''，…，5ln 5)(nx n y =(2) bx a y cos =，⎪⎭⎫⎝⎛+=-='2cos sin πbx ab bx ab y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''22cos 2sin 22πππbx ab bx ab y ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-='''23cos sin 33ππbx ab bx ab y ，…，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2cos )(πn bx ab y nn(3) x y ln =，11-=='x xy ，2--=''x y ，32-='''x y ，…，n n n x n y ---⋅-=)!1()1(1)( 11. 求下列隐函数的导数。
(1) 0)3(33='-+x axy y x ，0)(33322='+-'+y x y a y y x ，22y ax ayx y --='(2) 同填空题3。
y y x y xy y x xy x x '+='+⋅⇒'+='1)()cos()(])[sin(, )cos(11)cos(xy x xy y y --='。
(3) x x xyy xe y )(cos )('='+⇒y y y x y xe e y xyxy '⋅-='+++'sin )(⇒xyxyex y e xy y 2sin 1)1(+++-='(4) 1)(1)(])[arctan(2='++'+⇒'='+y xy y x y x y xy x x ⇒222211y x x y x y y +++-=' 12. 求下列函数的微分。