函数项级数收敛的判别方法

函数项级数收敛的判别方法

1.比较判别法

比较判别法是根据函数项级数与已知的正项级数进行比较来判定其收敛性。设函数项级数为∑an(x)和已知的正项级数∑bn(x)，若对于所有的n，存在正数M使得，an(x)，≤Mbun(x)，则函数项级数与正项级数的收敛性同时成立。

比较判别法的关键是寻找一个已知的正项级数，使得函数项级数的绝对值小于等于正项级数的绝对值，并且根据正项级数的收敛性来推断函数项级数的收敛性。

2.比值判别法

比值判别法是通过计算函数项级数相邻两项的比值的极限值来判定其收敛性。设函数项级数为∑an(x)，如果存在正数r，当n趋向于无穷大时，具有lim ，an+1(x)/an(x)， = r，那么：

-若r<1，函数项级数绝对收敛；

-若r>1，函数项级数发散；

-若r=1，比值判别法不确定。

比值判别法可以通过计算函数项级数的极限值和已知的收敛级数或发散级数的极限值比较，来判断函数项级数的收敛性。

3.根值判别法

根值判别法是通过计算函数项级数项的绝对值的n次方根的极限值来

判定其收敛性。设函数项级数为∑an(x)，如果存在正数r，当n趋向于

无穷大时，具有lim ，an(x)，^(1/n) = r，那么：

-若r<1，函数项级数绝对收敛；

-若r>1，函数项级数发散；

-若r=1，根值判别法不确定。

根值判别法与比值判别法类似，也可以通过计算函数项级数的极限值

和已知的收敛级数或发散级数的极限值比较，来判断函数项级数的收敛性。

4.积分判别法

积分判别法是通过将函数项级数与一个已知的函数进行积分比较来判

定其收敛性。设函数项级数为∑an(x)，如果存在函数f(x)，当x大于等

于其中一点a时，具有∫[a,+∞) ，an(x)，dx = ∑∫[a,+∞)an(x)dx = ∫[a,+∞)f(x)dx，那么：

- 若∫[a,+∞)f(x)dx收敛，函数项级数绝对收敛；

- 若∫[a,+∞)f(x)dx发散，函数项级数发散。

积分判别法的关键是找到一个已知函数，通过对函数项级数的积分与

该已知函数的积分进行比较，从而判断函数项级数的收敛性。

5.绝对收敛判别法

绝对收敛判别法是对于函数项级数的绝对值级数进行收敛性判定。如

果函数项级数的绝对值级数收敛，那么函数项级数就是绝对收敛的。

绝对收敛判别法的关键是对函数项级数的绝对值进行计算与收敛级数进行比较，以判定函数项级数的收敛性。如果绝对值级数收敛，那么函数项级数就是绝对收敛的。

总结起来，无论是比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法还是绝对收敛判别法，都是通过与已知的级数进行比较来判断函数项级数的收敛性。不同的判别方法适用于不同类型的函数项级数，所以在应用时需要根据题目的要求和给定条件选择合适的判别方法。