功率谱估计的经典方法

（12）自相关序列和自协方差序列的性质
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功率谱
在研究和分析确定性信号时，经常在频域进行。条件是信号要满足如 绝对可和或绝对可积条件等。由于随机信号或过程不满足这些条件，直 接采用频域分析是不行的。 因此用随机信号的自协方差序列和自相关序列来进行其频域分析。自 协方差序列的z变换
=
k =−∞
∑ h(k ) ∑ h(l )R
l =−∞
∞
∞
xx
(m − l + k ) = Ryy (m)
令 l −k = p
∞
只与m有关
由(1)和(2)可知输出序列也是一平稳随机过程。
Ryy (m) =
其中 Rhh ( p) =
p =−∞ ∞
∑R
∞
xx
( m − p)
k =−∞
∑ h(k )h( p + k ) = ∑ R
2 1 = S xx ( z) H ( z) H ( z −1 ) = S xx ( z) H ( z)H ∗ ∗ = S xx ( z) H ( z) z
因为 Rhh ( n) = h( n) ∗ h( − n)
S yy (e ) = S xx (e ) H (e )
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均值 均方值
E[xn ] = mxn = ∫ xpxn ( x, n)dx
∞ −∞
E x = ∫ x 2 pxn ( x, n)dx
2 n −∞
[ ]
2
∞
方差
E xn − mxn
[(
) ]= σ
2 xn
=∫
∞ −∞
(x − m )
xn
2
pxn ( x, n)dx
一般来说，它们都和时间有关。但狭义平稳随机过程的这些数字特征与 时间无关。E[ ]称为集合平均算子。 它们仅是简单的平均量，提供少量的有关随机过程的信息。
p =−∞
∞
xx
(m − p) Rhh ( p)
k =−∞
∑ h(k )h( p + k ) 是单位取样响应序列的自相关序列。
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离散随机信号通过线性非移变系统
jω （3）输出随机过程的功率谱 S yy (e )
设输入随机过程的均值 mx = 0。所以输出随机过程的均值 my = 0。
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功率谱
- 自相关序列的傅立叶变换（维纳-辛钦定理）
S xx (e ) =
jω
m=−∞
Rxx (m) e− jωm , ∑
∞
当 m = 0时，有
1 Rxx (m) = 2π
∫π
−
π
S xx (e jω )e jωmdω
1 E x = Rxx (0) = 2π
2 n
[ ]
k =−∞
∑ h(k ) x(n − k ) = ∑ h(n − k ) x(k )
k =−∞
2
单位取样响应
σ 设输入随机过程的均值、方差、自相关序列和功率谱分别为mx， x ， Rxx(m) 和 Sxx (e jω ) 。研究输出随机过程的相应参数。
（1）输出随机过程的均值 my
my = E[ y(n)] =
∫π
−
π
S xx (e jω )dω
它说明功率谱在一个周期内的平均值就是随机过程的平均功率。因此它 具有功率密度的物理意义。 - 实平稳随机过程的功率谱的几个重要性质（正实偶函数）
∗ S xx (e jω ) ≥ 0, S xx ( e jω ) = S xx ( e jω ), S xx ( e jω ) = S xx ( e− jω )
k =−∞
h(k ) E[x(n − k )] = mx ∑ h(k ) = mx H (e j 0 ) ∑
k =−∞
∞
∞
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离散随机信号通过线性非移变系统
（2）输出随机过程的自相关序列 Ryy(n, n + m)
∞ ∞ Ryy (n, n + m) = E[ y(n) y(n + m)] = E ∑ h(k ) x(n − k ) ∑ h(l ) x(n + m − l ) l = −∞ k =−∞
[
]
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时间平均
在实际信号处理问题中不可能取极限，因此取一段数据来进行计算， 即引出了随机过程的平均和自相关序列的估计。
x(n)
N
1 N −1 = ∑ x(n) , x(n) x∗ (n + m) N n =0
N
N −1 1 = ∑+x(n) x∗ (n + m) 2 N − 1 n=− N 1
ˆ B =α − E [ α ]
无偏估计， 无偏估计 有偏估计，当观测数据为无穷时B = 0，则称其为渐 渐 B = 0时无偏估计 B ≠ 0 有偏估计 进无偏估计。无偏估计和渐进无偏估计又称为是好估计 进无偏估计 好估计。 好估计
N 1 x(n) = lim ∑Nx(n) N →∞ 2 N + 1 n=− N 1 x(n) x (n + m) = lim x(n) x∗ (n + m) ∑N N →∞ 2 N + 1 n =− ∗
N 1 x(n) = lim ∑Nx(n) = E[xn ] = mx N →∞ 2 N + 1 n=− N 1 ∗ x(n) x (n + m) = lim x(n) x∗ (n + m) = E xn xn+m = Rxx (m) ∑N N →∞ 2 N + 1 n=− ∗
Sxy(z)
H(z−1)
Syy(e jω ) Syy(z)
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功率谱估计的经典方法
●
估计理论中的几个基本概念
一般来说，为了进行估计需要两种信息。一是观测数据序列，二是被 估计量与已知观测数据之间的函数关系。这个函数关系决定了不同的估 计方法和运算、也决定了估计方法的估计质量。 - 评价估计质量的几个参数 ① 估计的偏差：被估计量α 又叫真值，对它的估计结果叫估计量或估 ˆ 计，用 α 表示，由于它是由随机过程的一次实现中的有限个数据得到的， 所以它是一个随机变量。定义估计的偏差为
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离散随机信号通过线性非移变系统
离散随机信号通过线性非移变系统的数字特征总结
∗ h (m )
Rxx(m)
傅氏变换或z变换
∗ h(−m)
Rxy(m)
傅氏变换或z变换
Ryy(m)
H (e jω )
H (e− jω )
Sxy(e jω )
Sxx(e jω )
Sxx(z)
H(z)
功率谱估计的经典方法
版权所有 © 赵晓晖 2005年
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离散随机过程
为了描述随机变量，引入了概率分布函数、概率密度函数以及随机变 量的数字特征。这些函数或参数都是针对一维随机变量定义的。统称一 维统计特征。 但对于离散随机过程，因为它是由无限多个随机变量构成的时间序列 {xn }, − ∞ < n < +∞，因此为完整地描述它，仅知道随机变量的特征是不 够的，还必须知道随机过程中不同时刻随机变量的相互关系。 重要定义 （1）联合概率分布函数 联合概率分布函数 设 xn和 xm是离散随机过程{xn }, − ∞ < n < +∞中两个不同时刻 n 和 m 上 的随机变量，则二维联合概率分布函数为
[(
[
]
∗
xy
n
xn
n+m
yn+m
（10）广义平稳随机过程（平稳随机过程） 当随机过程的均值是常数，自相关序列只与时间差有关而与时间起点 无关，PDF和pdf是随时间变化的，则称其为广义平稳随机过程。
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时间平均
（11）一个平稳随机过程的一个取样序列的时间平均等于它的集合平 均，则称它是遍历性随机过程。时间平均记为 x(n) ，则取样序列的算术 平均值和时间取样自相关序列定义为
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离散随机过程
（6）随机过程的自相关序列 随机过程的自相关序列
Rxx (n, m) = E x x = ∫
[
∗ n m
]
∞
−∞ −∞
∫
∞
∗ xn xm pxn , xm ( X n , n, X m , m)dxn dxm
描述随机过程在不同时刻对应的随机变量间的相关程度。 （7）随机过程的互相关序列 随机过程的互相关序列
S xx ( z) =
m=−∞
Cxx (m) z −m , ∑
∞
称为平稳随机过程的功率谱。在今后的讨论中总假设随机信号的均值为 零，所以有 ∞
S xx ( z) =
m=−∞
∑R
xx
(m) z −m ,
−1
由于 Rxx (m) = Rxx (−m) ，则有 S xx ( z) = S xx ( z ) 。
Pxn , xm ( X n , n , X m , m) = [xn ≤ X n , xm ≤ X m ] 的概率
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离散随机过程
（2）二维联合概率密度函数 二维联合概率密度函数
pxn , xm ( X n , n , X m , m) =
∂2 Pxn , xm wk.baidu.com X n , n , X m , m) ∂xn∂xm
类似地，可以定义两个以上随机变量的高阶联合概率分布函数和高阶联 合概率密度函数。 （3）统计独立 如果一个随机过程在不同时刻的随机变量互不影响。其 统计独立 概率分布函数为
Pxn , xm ( X n , n , X m , m) = Pxn ( X n , n) Pxm ( X m , m)
（4）狭义平稳随机过程 当随机过程满足 狭义平稳随机过程
∞
=
Ryy (m) =
p =−∞
∑R
k = −∞ ∞
∑ h( k ) R
xx
∞
xx
( m − k ) = Rxx (m) ∗ h( m)
(m − p) Rhh ( p) = Rxx (m) ∗ Rhh (m)
或
= Rxx (m) ∗ h(m) ∗ h(−m) = Rxy (m) ∗ h(−m)
S yy (e jω ) = S xy (e jω ) H (e− jω )
S yy ( z) =
m=−∞
∑R
∞
∞
yy
(m) z
−m
∞ −m = ∑ ∑ Rxx (m − p)Rhh ( p) z m=−∞ p =−∞
∞
∞ −n − p = ∑ ∑ Rxx (n) Rhh ( p) z z = S xx ( z)Shh ( z) m=−∞ n=−∞
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离散随机信号通过线性非移变系统
在数字信号处理的广泛应用中，常需要用线性移不变系统对信号进行 滤波和处理。这些信号通常都是遍历性平稳随机过程的取样序列。因此 有必要讨论这类信号通过这类系统的响应，特别是响应的数字特征。 随机信号通过LTI系统的响应
∞ ∞
y(n) =
pxn ( X n , n) = pxm ( X m , m) = px ( X )
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离散随机过程
和
pxn , xm ( X n , n , X m , m) = pxn+k , xm+k ( X n+k , n + k , X m+k , m + k )
（5）随机过程的数字特征 随机过程的数字特征
Rxy (n, m) = E x y = ∫
[
∗ n m
]
∞
−∞ −∞
∫
∞
∗ xn ym pxn , ym ( X n , n, Ym , m)dxn dym
（8）随机过程的自协方差序列和互协方差序列 随机过程的自协方差序列和互协方差序列
Cxx (n, m) = E xn − mxn xm − mxm Cxy
Cxx (m) = Cxx (n, n + m) = E xn − mxn xn+m − mxn+m
xy xy ∗ n n+ m
Cxy
)( )] R (m) = R (n, n + m) = E[x y ] (m) = C (n, n + m) = E[(x − m )(y − m ) ]
∗
∗ Rxx (m) = Rxx (n, n + m) = E xn xn+m
jω
jω
jω
2
离散随机信号通过线性非移变系统
（4）输入随机过程与输出随机过程的互相关序列Rxy(m)
∞ Rxy ( m) = E [x ( n) y ( n + m) ] = E x ( n) ∑ h( k ) x ( n + m − k ) k = −∞
=
k = −∞
∑ h(k ) E[x(n) x(n + m − k )]
n xn m − m ym
[( )( (n, m) = E[(x − m )(y
) ]= R
∗ ∗
xx
(n, m) − mxn mxm (n, m) − mxn mym
) ]= R
xy
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离散随机过程
（9）狭义平稳随机过程的另外表示方式 由于狭义平稳随机过程的自相关序列、自协方差序列和互协方差序列 都只是时间差的函数而与时间起点无关，所以可将其表示成