高等数学习题详解-第7章多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：
A (2，1,-6)，
B (0，2，0)，
C (-3，0,5)，
D (1，-1，-7).
解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。

2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则
(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).
(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).
同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).
3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即
(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.
解之得z =11，故所求的点为M (0，0，
149
). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2
12
14M M =，2
2
13236,6M M M M ==
所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.
解：所求平面方程为1235
y x z
++=-。

6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为
Ay +Bz =0.
又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为
Ax +Cz +D =0.
又点M 1和M 2都在平面上，于是
0A D C D +=⎧⎨
+=⎩
可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0.
显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？
解：表示以点（1，-2，0
9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2.
解：(1)表示直线、平面。

(2)表示圆、圆柱面。

(3)表示椭圆、椭圆柱面。

(4)表示抛物线、抛物柱面。

1. 下列各函数表达式:
(1) 已知f (x ,y )=x 2+y 2,
求(f x y -； (2)
已知22(,f x y x y -=+求f (x ,y ).
解：（1
）2222(()f x y x y x xy y -=-+=-+ （2
）2
222(()2f x y x y x y -=+=-+
所以22(,)2f x y x y =-
2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形： (1) 221sin 1
z x y =+-；
(2) z
(3) (,))f x y x y -；
(4) 22(,)f x y =
解：（1）由2210x y +-≠可得221x y +≠
故所求定义域为D ={(x ,y )| 221x y +≠}表示xOy 平面上不包含圆周的区域。

（2）由
2210
10x y ⎧-≥⎨-≥⎩
可得11
11x y y -≤≤⎧⎨≥≤-⎩
或
故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1111x y y -≤≤≥≤-且或}，表示两条带形闭域。

（3）由
10
0x x y -≥⎧⎨->⎩
可得
1
x y x ≥⎧⎨<⎩
故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1x y x ≥<且}，表示xOy 平面上直线y=x 以下且横坐
标1x ≥的部分。

（4）由
222
131
0x y x y ⎧-≤--≤⎨-≥⎩
可得
222
24
x y y x ⎧≤+≤⎨≤⎩
故所求的定义域为D ={(x ,y )| 22224x y y x ≤+≤≤且}。

3. 说明下列极限不存在：
(1) 00
lim x y x y
x y
→→-+；
(2) 362
00
lim x y x y
x y →→+.
解：（1）当点P (x ,y )沿直线y =kx 趋于点(0,0)时，有
(,)(0,0)0 (1)1
lim lim (1)1x y x y kx
x y k x k x y k x k →→=---==+++。

显然，此时的极限值随k 的变化而变化。

因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。

（2）当点P (x ,y )沿曲线3y kx =趋于点(0,0)时，有
3
36
62262(,)(0,0)0 lim lim (1)1x y x y kx
x y kx k x y k x k →→===+++。

显然，此时的极限值随k 的变化而变化。

因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。

4. 计算下列极限：
(1) 01
lim x x y e y
x y →→++； (2)(,)(0,3)sin()lim x y x y x
→;
(3) 33(,)(0,0)sin()lim x y x y x y
→++；
(4)
(,)(0, 0)
lim
x y →.
解：（1）因初等函数(,)x e y
f x y x y
+=+在(0,1)处连续，故有
001
1
lim 201
x x y e y e x y →→++==++
（2）
(,)(0,3)(,)(0,3)sin()sin()
lim
lim 3x y x y xy xy y x xy →→==
（3）33332
233(,)(0,0)(,)(0,0)sin()sin()lim lim ()0x y x y x y x y x xy y x y x y
→→++=-+=++ （4
）(,)(0, 0)
(,)(,)1lim
lim lim 4
x y x y x y →→→===。

5. 究下列函数的连续性：
(1) 22
,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y x y f x y x y ⎧-≠⎪
+=⎨⎪=⎩
(2) 22
22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧-≠⎪
=+⎨⎪=⎩
解：(1)22
(,)(0,0)(,)(0,0)
lim
lim ()0(0,0)x y x y x y x y f x y →→-=-==+ 所以f(x,y)在(0,0)处连续.
(2) 22222
222222(,)(0,0)0 1lim lim 1x y x y kx
x y x kx k x y x k x k →→=---==+++ 该极限随着k 的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)处不连续.
6. 下列函数在何处间断？ (1) 221z x y =-；
(2) z =解：(1)z 在{(x ,y )| x y =}处间断. (2)z 在{(x ,y )| 2
2
1x y +≥}处间断.
习题7-3
1. 求下列函数偏导数：
(1) z =x 3+3xy +y 3；
(2) 2
sin y z x
=;
(3) ln(3)z x y =-； (4) ln (00,1)y z x x y x y x =+>>≠， (5) z y
u x =； (6) 22cos()z u x y e -=-+ 解：(1) 2233,33.z z x y x y x y ∂∂=+=+∂∂
(2) 2
22sin 1,cos 2.y z
z y y x y x x
∂∂=-=∂∂ (3) 13,.33z z x x y y x y
∂∂-==∂-∂-
(4) 1111,ln .y y y y z z yx yx x x x xy x y y --∂∂=+=+=+∂∂
(5)
12,ln ().z z
y y u z u z x x x x y y y -∂∂==-∂∂ 1ln ()z
y u x x z y
∂=∂ (6)
22sin()2,z u
x y e x x
-∂=--+∂ 2222sin()(2)2sin().z z z x y e y y x y e y --∂=--+-=-+∂
22sin()()z z u
x y e e z
--∂=--+-∂
22sin()z z e x y e --=-+
2. 求下列函数在指定点处的偏导数： (1) f (x ,y )=x 2－xy +y 2，求f x (1,2)，f y (1,2);
(2) 22
(,
)arctan x y f x y x y
+=-;求(1,0)x f
(3) 2
2arctan((,)sin(1)x f x y x e =-; 求(1,2)x f ；
(4) (,,)ln()f x y z x yz =-, 求(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)x y z f f f . 解：(1) (,)2,(,)2.x y f x y x y f x y x y =-=-+ (1,2)220,(1,2)14 3.x y f f ∴=-==-+= (2) 2
1(,0)arctan ,(,0)1x f x x f x x ==
+故
因此11(1,0).112
x f =
=+ (3) 222arctan(1
(,2)ln(4)sin(1)2
x f x x
x e =++-
因此
222arctan(22arctan(12(,2)cos(1)224
sin(1)x x x x x f x x x e
x x e +=+-++-
所以arctan(11(1,2)25
x f e =+.
(4) 1(,,),(,,),(,,).x y z y
z f x y z f x y z f x y z x yz x yz x yz
--===---
故11(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)0.
22x y z f f f ==-=
3．设r ，证明： (1) 2
2
2
1
r r r x y z ⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪
⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭; (2) 222222
2r r r r x y z
∂∂∂++=∂∂∂; (3)
2222222(ln )(ln )(ln )1
r r r x y z r
∂∂
∂++=∂∂∂. 证明：r x ∂∂=,x r
=
利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：r y ∂∂,y
r =r z ∂∂.z r
=
(1)
()
()
2
2
2
2222221x y z r r r
r x
y z r r ++⎛⎫∂∂∂++=== ⎪∂∂∂⎝⎭
(2) 2
2222223
r x r x r r r x x r x r r r ∂--
∂-∂===∂ 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：22
2222
2323
,r y r r r z y r z r -∂∂-==∂∂
222
222222233322.r x y r r r r r x y z r r
--∂∂∂∴++===∂∂∂
(3) 222222
2(ln )1ln ln(),2r x x
r x y z x x y z r
∂=++==∂++ 22
22244
2(ln )2r r x r r r x x x r r ∂-∂-∂==
∂ 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：
222222
2424(ln )2(ln )2,.r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂ 222222222242(ln )(ln )(ln )32()1
r r r r x y z x y z r r
∂∂∂-++∴++==∂∂∂.
4. 求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂,22z y ∂∂,2
z y x
∂∂∂： (1) 322433z x x y x y x y =+--+； (2) ln()z x x y =+. 解：(1) 2
22
212631,246.z z x xy y x y x x
∂∂=+--=+∂∂
222361,6.z z
x xy x y y
∂∂=-+=-∂∂ (2) 2222
211
ln(),.()()x y x x y z z x y x x x y x y x x y x y +-+∂∂=++=+=∂++∂++ 222
,.()z x z x y x y y x y ∂∂==-∂+∂+ 5. 某水泥厂生产A ,B 两种标号的水泥，其日产量分别记作x ,y (单位：吨)，总成本(单位：
元)为
C (x ,y )=20+30x 2+10xy +20y 2,
求当x =4,y =3时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义. 解：(,)6010,(,)1040,x y C x y x y C x y x y =+=+
(4,3)270,(,)160.x y C C x y ∴==
经济含义:当A ,B 两种标号的水泥日产量分别4吨和3吨时，如果B 水泥产量不变，而A 水泥的产量每增加1吨，成本将增加270元；如果A 水泥产量不变，而B 水泥的产量每增加1吨，成本将增加160元。

6. 设某商品需求量Q 与价格为p 和收入y 的关系为
Q =400－2p +0.03y .
求当p =25,y =5000时，需求Q 对价格p 和收入y 的偏弹性，并解释其经济含义. 解：
(,)2,(,)0.03,p y Q p y Q p y =-=
(25,5000)2,(25,5000)0.03.p y Q Q =-=
经济含义: 价格为25和收入为5000时，如果价格不变，而收入增加1个单位，商品的需求量将增加0.03；如果收入不变，而价格增加1个单位，商品的需求量将减少2.
习题7-4
1. 求下列函数的全微分：
(1) z =4xy 3+5x 2y 6；
(2) z =
(3) u =ln(x －yz )； (4) sin
2
yz y
u x e =++ 解：(1) 36225410,1230,z z y xy xy x y x y ∂∂=+=+∂∂
所以 3323 z 2(2)d 6(2)d .d y xy x xy xy y =++5+5
(2)
z z
x y ∂∂==∂∂ 所以
z .d x y =
(3) 1,,,y
u u z u x x yz y x yz z x yz
-∂∂-∂===∂-∂-∂-
所以 1 u d d .y z d x y dz x yz x yz x yz
--=++---
(4) 11,cos ,,22yz yz y
u u u ze ye x y z
∂∂∂==+=∂∂∂
所以 1
u d (cos )d .22
yz yz y d x ze y ye dz =+++ 2. 计算函数z =x y 在点(3，1)处的全微分. 解：1,ln ,y y z z yx x x x y
-∂∂==∂∂
所以 1
z d ln d .y y d yx x x x y -=+ (3,1) d 3ln3d .dz x y =+
3. 求函数z =xy 在点(2，3)处，关于Δx =0.1，Δy =0.2的全增量与全微分.
解：,,z z y x x y
∂∂==∂∂所以(2,3)(2,3)
3,2,z z x y ∂∂==∂∂
(2,3)(2,3)
0.30.40.7z z
z x y x y ∂∂∆≈
∆+∆=+=∂∂ (2,3) 3d 2d .dz x y =+
4. 计算 (1.04) 2.02的近似值.
设函数f (x ,y )=x y .x =1,y =2,Δx =0.04,Δy =0.02.
f (1,3)=13=1,f x (x ,y )=yx y -1,f y (x ,y )=x y ln x ,
f x (1,2)=2,f y (1,2)=0.
由二元函数全微分近似计算公式(7-18)，得
(1.05) 3.02≈1+2×0.04+0×0.02=1.08.
5. 设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为20 cm ，内半径为4 cm ，容器的壁与底的厚度均为0.1 cm ，求容器外壳体积的近似值.
解：解 设圆柱的直径和高分别用x ，y 表示，则其体积为
221(,)()24
x V f x y πy πx y ===.
于是，将所需的混凝土量看作当x +Δx =8+2×0.1，y +Δy =20+0.1与x =8，y =20时的两个圆柱体的体积之差ΔV (不考虑底部的混凝土)，因此可用近似计算公式
ΔV ≈d V =f x (x ,y )Δx +f y (x ,y )Δy .
又211(,),(,)24
x y f x y πx y f x y πx ==，代入x =8，y =20，Δx =0.2，
Δy =0.1，得到
211
d 8200.280.117.655.264.24
V V πππ∆≈=⨯⨯⨯+⨯⨯=≈(m 3).
因此，大约需要55.264m 3的混凝土.
习题7-5
1. 求下列函数的全导数：
(1) 设z =e 3u +2v ，而u =t 2,v =cos t ,求导数d d z t
；
(2) 设z =arctan(u －v ),而u =3x ,v =4x 3,求导数d d z x
;
(3) 设z =xy +sin t ,而x =e t ,y =cos t ,求导数d .d z t
解： (1) d d d d dz z u z v
dt u t v t
∂∂=⋅+⋅∂∂
3232322(sin )u v u v e t e t ++=⋅+⋅- 2
2
32cos 32cos 62sin t t t t te te ++=-
(2)
d d d d dz z u z v dx u x v x
∂∂=⋅+⋅∂∂ 2
2
113121()1()x u v u v -=⋅+⋅+-+- 32
3(14).1(34)x x x =⋅-+- (3) d d d d y
dz z x z z dt x t y t t
∂∂∂=⋅+⋅+∂∂∂
(sin )cos t y e x t t =⋅+⋅-+
cos sin cos t t t e e t t =⋅-+
2. 求下列函数的偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数)： (1) 设z =u 2v －uv 2，而u =x sin y ,v =x cos y ，求z x ∂∂和z y
∂∂；
(2) 设z =(3x 2+y 2)4x +2y ，求z x ∂∂和z y
∂∂；
(3) 设u =f (x ,y ,z )=e x +2y +3z ,z =x 2cos y ，求u x ∂∂和u y
∂∂；
(4) 设w =f (x ，x 2y ，xy 2z )，求w x ∂∂,w y ∂∂,w z
∂∂.
解：(1)22(2)sin (2)cos z z u z v uv v y u uv y x u x v x
∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+-∂∂∂∂∂
222222(sin 2cos )sin (sin sin 2)cos x y x y y x y x y y =-+-
22(2)cos (2)sin z z u z v
uv v x y u uv x y y u y v y
∂∂∂∂∂=⋅+⋅=---∂∂∂∂∂ 222222(sin 2cos )cos (sin sin 2)sin x y x y x y x y x y x y =-+- (2) 令223,42,v u x y v x y z u =+=+=则. 16ln 4v v z z u z v vu x u u x u x v x
-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂ ()
()
421
422222226343ln(3)x y x y
x x y x y x y +-+=++++
12ln 2v v z z u z v vu y u u x u y v y -∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂ ()
()
421
422222222323ln(3)x y x y
y x y x y x y +-+=++++
(3)
21232w
f f xy f y z x
∂=+⋅+⋅∂ 2232w f x f xyz y ∂=⋅+⋅∂
23w
f xy z
∂=⋅∂ 3. 应用全微分形式的不变性，求函数arctan 1x y
z x y
+=-的全微分. 解：令,1,arctan
u u x y v xy z v
=+=-=则 2
22111(arctan )1()1()
u u
dz d du dv u u v v v v v
==-++ 而,du dx dy dv ydx xdy =+=--
故2
()()11[]1111x y ydx xdy dz dx dy xy xy x y xy +--=+---+⎛⎫
+ ⎪-⎝⎭
22
.11dy dx x y =
+++ 4. 已知sin xy －2z +e z =0,求z x ∂∂和z y ∂∂..
解：两同时对x 求偏导，可得
cos 20.z z z
y xy e x x
∂∂-+=∂∂
故cos .2z
y xy
z x e ∂=∂- 两边同时对y 求偏导，可得
cos 20.z z z
x xy e y y ∂∂-+=∂∂
故cos .2z
x xy
z y e ∂=∂- 5. 若f 的导数存在，验证下列各式：
(1) 设u =yf (x 2－y 2)，则2u u y x y x u x y
∂∂+=∂∂；
(2) 设()y
z x y x f x =+，则z z x y z x y x y
∂∂+=+∂∂.
证：(1) 22'()2u yf x y x x ∂=-⋅∂,22222()2'().u f x y y f x y y
∂=---∂
所以232222222'()2[()2'()]u u y xy y f x y x xy f x y y f x y xu x y
∂∂+=-⋅+---=∂∂.
(2) 21()'()()
y y z y f xf x x x x ∂=++⋅-∂,1'().y z x xf y
x x ∂=+∂ 所以11[()'()()]['()]y y y
z z x y x y f f y x xf z xy x y x x x x x ∂∂+=++⋅-++=+∂∂.
6. 求下列函数的二阶偏导数(其中f 具有二阶连续偏导数)：
(1) arctan 1x y
z x y +=-；
(2) z =y ln x ；
(3) z =f (xy ,x 2－y 2). 解：(1)由第3题可知
22
1,.11dy z z
x y x y ∂∂==∂∂++ 故222222222222,,0(1)(1)y z x z z z
x y y x
x x y y -∂-∂∂∂=
===∂∂∂∂∂+∂+. (2) ln ln 11ln ,ln .x x z z y y xy x x y
-∂∂==∂∂ 故2ln 2ln 22211ln ln x x z y y y y x x x ∂=-∂, 2ln 22ln (ln 1),x z
x x y y
-∂=-∂ 22ln 1ln 1ln 1111
ln ln (1ln ln )x x x z z y x y y y x y x y y x x x x
---∂∂==+⋅⋅=+∂∂∂∂. (3) 122,z
f y f x x ∂=+∂122.z f x f y y
∂=-∂
故2111222(2)2z y f y f x f x ∂=++∂22212211122222(2)442.x f y f x y f xyf x f f ++=+++ 22211122212211122222(2)22(2)442.z
x f x f y f y f x f y x f xyf y f f y
∂=----=-+-∂ 22221111221221111222(2)2(2)(22)4.z z
f y f x yf x f x yf f xyf x y f xyf x y y x
∂∂==+-+-=++--∂∂∂∂ 7. 求由下列方程所确定的隐函数z =f (x ,y )的偏导数,z z x y
∂∂∂∂：
(1) x 2+y 2+z 2－4z =0；
(2) z 3－3xyz =1.
解：(1)两边同时对x 求偏导得2240,z z x z x x ∂∂+-=∂∂故2.42z x x z
∂=∂-
两边同时对y 求偏导得2240,z z y z y y ∂∂+-=∂∂故2.42y
z y z
∂=∂-
(2) 两边同时对x 求偏导得233()0,z z z y z x x
∂∂-+=∂∂故2
3.33yz z
x z y ∂=∂- 两边同时对y 求偏导得故23.33z xz y z x ∂=∂-
习题7-6
1. 求下列函数的极值：
(1) f (x ,y )=x 2+y 3－6xy +18x －39y +16； (2) f (x ,y )=3xy －x 3－y 3+1.
解：(1) 先解方程组2
(,)26180
(,)36390x y
f x y x y f x y y x =-+=⎧⎪⎨=--=⎪⎩ 得驻点为(-6,1),(6,5).
()()2,,6,,y,xx xy yy f f x y f x y ==-=6
在点(-6，1)处，Δ=AC -B 2=2×6-36<0,所以f (-6，1)不是极值； 在点(6，5)处，Δ= AC -B 2=2×30-36>0，又A >0，所以函数在(6，5)处有极小值f (6，5)=-90.
(2) 先解方程组2
2
(,)330
(,)330x y
f x y y x f x y x y ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 得驻点为(0,0),(1,1).
()()6,,3,,y,xx xy yy f x f x y f x y =-==-6
在点(0，0)处，Δ=AC -B 2=-9<0,所以f (0，0)不是极值；
在点(1，1)处，Δ=AC -B 2=27>0,又A <0，所以函数在(1，1)处有极大值f (1，1)=2.
2. 求函数f (x ,y )=x 2－2xy +2y 在矩形区域D ={(x ,y )|0≤x ≤3,0≤y ≤2}上的最大值和最小值.
解：(1)先求函数在D 内的驻点，解方程组 (,)220
(,)220 x y
f x y x y f x y x =-=⎧⎪⎨
=-+=⎪⎩ 得唯一驻点(1,1),且f (1,1)=1.
(2) 再求f (x ,y )在D 的边界上的最值.
在边界x =0,02y ≤≤上, f (x ,y )=2y ，因此最大值为f (0,2)=4，最小值为f (0,0)=0； 在边界x =3,02y ≤≤上, f (x ,y )= -4y +9，因此最大值为f (3,0)=9，最小值为f (3,2)=1； 在边界y =0,03x ≤≤上, f (x ,y )= x 2，因此最大值为f (3,0)=9，最小值为f (0,0)=0；
在边界y =2,03x ≤≤上, f (x ,y )= x 2－4x +4，因此最大值为f (3,2)=1，最小值为f (2,2)=0； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到f (3,0)=9为最大值，f (0,0)=0为最小值. 3. 求函数f (x ,y )=3x 2+3y 2－x 3在区域D :x 2+y 2≤16上的最小值. 解：(1)先求函数在D 内的驻点，解方程组 2(,)6630(,)60 x y f x y x y x f x y y ⎧=+-=⎪
⎨
==⎪⎩
得驻点(0,0), (2,0)，且f (0,0)=0， f (2,0)=4.
(2) 再求f (x ,y )在D 的边界上的最值.
在边界x 2+y 2=16上，f (x ,y )=48－x 3, 因此最大值为f (0,4)=48，最小值为f (4,0)=-16； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到f (0,4)=48为最大值，f (4,0)=-16为最小值. 4. 求下列函数的条件极值： (1) z =xy ，x +y =1；
(2) u =x －2y +2z ， x 2+y 2+z 2=1.
解：(1) 作拉格朗日函数L (x ,y ,λ)=xy +λ(x +y －1).写出方程组
0010x y L y L x L x y λλλ=+=⎧⎪
=+=⎨⎪=+-=⎩ 得到11(,)22P ,因此，z =xy 在11(,)22P 处取得最大值14
.
(2) 作拉格朗日函数L (x ,y ,z ,λ)= x －2y +2z +λ(x 2+y 2+z 2－1).写出方程组
222120220
22010x y z L x L y L z L x y z λλλλ=+=⎧⎪
=-+=⎪⎨
=+=⎪
⎪=++=⎩－ 得到1122(,,)333P -,1122
(-,,-)333
P . 因此，u =x －2y +2z 在1122
(-,,-)333
P 处取得最小值-3. 5. 要用铁板做成一个体积为8m 3的有盖长方体水箱，如何设计才能使用料最省？ 解 设长方体的三棱长分别为x ，y ，z ，则问题就是在约束条件
xyz =8
下求函数S =2(xy +yz +xz )的最大值. 构成辅助函数
F (x ，y ，z )= 2(xy +yz +xz )+λ(xyz －8)，
解方程组
(,,)220,(,,)220,
(,,)220,8x y z
F x y z y z yz F x y z x z xz F x y z x y xy xyz λλλ=++=⎧⎪
=++=⎪⎨
=++=⎪⎪=⎩
得2x y z ===,这是唯一可能的极值点.
因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即：体积为8m 3的有盖长方体水箱中,以棱长为2的正方体的表面积为最小，最小表面积24.S =
6. 某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x 件和y 件，总成本函数为
C (x ,y )=1000+8x 2－xy +12y 2(元),
要求每天生产这两种产品的总量为42件，问甲、乙两种产品的日产量为多少时，成本最低？
解：问题是在约束条件x +y =42(x >0，y >0)下，函数
C (x ,y )=1000+8x 2－xy +12y 2(元)
的条件极值问题.令
(,,)L x y λ221000812(42)x xy y x y λ=++++-－
由160,240,42x y L x y L x y x y λλ=-+==-++=+=得x =25,y =17.
根据问题本身的意义及驻点的唯一性知，当投入两种产品的产量分别为25件和17件时，可使成本最低.
7. 某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销售收入R (单位:万元)与电视广告费x (单位:万元)和报纸广告费y (单位:万元)之间的关系为
R (x ,y )=15+14x +32y －8xy －2x 2－10y 2，
(1) 若广告费用不设限，求最佳广告策略.
(2) 若广告费用总预算是2万元，分别用求条件极值和无条件极值的方法求最佳广告策
略.
解：(1)R 14840,328200.x y y x R x y =--==--=令得唯一驻点(1.5,1).由此可知，当电视广告费为1.5万元，报纸广告费为1万元时，广告策略最佳。

(2) 问题是在约束条件x +y =2(x >0，y >0)下，函数
R (x ,y )=15+14x +32y －8xy －2x 2－10y 2
的条件极值问题.令
(,,)L x y λ221514328210(2)x y xy x y x y λ=++++-－－－ 由14840,832200,2x y L y x L x y x y λλ=--+==-+-+=+=
解得x =0.75,y=1.25. 由此可知，当电视广告费为0.75万元，报纸广告费为1.25万元
时，广告策略最佳。

由x +y =2，可得y =2-x ,代入R 得
R (x ,y )=-4 x 2+6x +39
令0,0.75x R x ==得.因此y=1.25.
复习题7 （A ）
1.
设1)z f =，且已知y =1时，z =x 则()f x =3(1)1x +-
,1z x -. 解：由y =1时，z =x
，得1)= 1.f x -
3331=t.(1),()(1) 1.()(1)1x t f t t f x x =+=+-=+-得因此即
，1z x =-. 2. 设3
22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x x y f x y x y x y ⎧≠⎪
=+⎨⎪=⎩
，则(0,0)x f = 1 , (0,0)y f = 0 .
解：00(0,0)(0,0)(0,0)lim
lim 1,x x x f x f x
f x
x ∆→∆→+∆-∆===∆∆
00(0,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0.x x x f y f f y y ∆→∆→+∆-===∆∆ 3. 设arctan
x y
z x y
+=-,,则d z = . 解：令,,arctan u
u x y v x y z v
=+=-=则
2
22111(arctan )1()1()
u u
dz d du dv u u v v v v v
==-++ 而,du dx dy dv dx dy =+=-
故2
()()11[]11x y dx dy dz dx dy x y x y x y xy +-=+---+⎛⎫
+ ⎪-⎝⎭
22
.xdy ydx
x y -=
+
4. 设()()y x u yf xg x y =+,其中f ,g 具有二阶连续偏导数,则2
22
u u x y x y x ∂∂+=∂∂∂ . 解：21'()()'(),y y u x x yf g xg x x y y y x ⎛⎫∂=-++ ⎪∂⎝⎭ 22
24322111''()'()'()'()''(),y y y y u x x x yf yf g g xg x x y y y y y x x x y ⎛⎫∂=++++ ⎪∂⎝⎭ 2222322322''()'()'()''()'(),y y y y u x x x x x x f f g g g x x y y y x
x x y y y ⎛⎫∂=----- ⎪∂⎝⎭ 所以222u u x y x y x
∂∂+=∂∂∂0.
5. 若函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处的偏导数存在，则在该点处函数(,)z f x y = ( D )
A 有极限
B 连续
C 可微
D 以上三项都不成立
解：因为偏导数存在，不能推出极限存在，所以ABC 三项不一定正确. 6. 偏导数f x (x 0,y 0)，f y (x 0,y 0)存在是函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)连续的( D ) A 充分条件 B 必要条件
C 充要条件
D 即非充分也非必要条件 解：同5.
7. 设函数f (x ,y )=1－x 2+y 2
,则下列结论正确的是( D )
A 点(0,0)是f (x ,y )的极小值点
B 点(0,0)是f (x ,y )的极大值点
C 点(0,0)不是f (x ,y )的驻点
D f (0,0)不是f (x ,y )的极值 8. 求下列极限： (1)
22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y
→+； (2) (,)(0, 0)
11
lim
x y x y →+-.
解：(1) 因为22(,)(0,0)
1lim ()0x y x y xy →+=，而sin
有界.所以22(,)(0,0)1
lim ()sin 0.x y x y xy
→+=
(2)
(,)(0, 0)
(,)(,)11(11)(11)lim
lim lim
()(11)()(11)
x y x y x y xy xy xy x y xy x y xy →→→+-+-++==++++++ =0
9. 设u =e 3x －
y ，而x 2+y =t 2,x －y =t +2,求0
d d t u t =.
解：由x 2+y =t 2,x －y =t +2,可得 22,1,dy dy dx dx x t dt dt dt dt +=-=所以 2122,2121
dy dx t t x dt x dt x +-==++. 因此，33212232121
x y x y dy du du dx du t t x e e
dt dx dt dy dt x x --+-=+=-++. 令0,2,41, 1.t x y x y ==-=-==-得或
故2
40d 5.d 33
t u e e t -==或 10. 设z =f (x ,y )由方程xy +yz +xz =1所确定,求22
2,,.z z z x x y
x ∂∂∂∂∂∂∂
解：两边同时对x 求偏导，得
0,,y z z z z z x z y y z x x x x x y y x y
+∂∂∂∂++++==-=-
∂∂∂+∂+因此由对称性可得.
22222
()()()22.()()()
y z z x y y z x y y z x y y z z x x x y x y x y +∂-+--+-+++∂∂=-=-=∂+++ 2
222
(1)()()(1)()2.()()()z x z x y y z x y y z y x y z z
x y x y x y x y ∂+++-+-+--∂+∂=-=-=∂∂+++ 11. 设f (u ,v )具有二阶连续偏导数,且满足22221f f
u v
∂∂+=∂∂，又221(,)[,()]2g x y f x y x y =-,
试证
22222
2g g
x y x y
∂∂+=+∂∂. 证：221,(),(,)(,).2
u xy v x y g x y f u v ==-=设则则
,g f f f f u v y x x u x v x u v ∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂,g f f f f u v x y y u y v y u v
∂∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂∂ 222222222222,g f f
f f f f u v
y x y x x x v v x u v u v
∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 2222222222
22,g f f
f f f f u v x y x y y y v v y u v u v
∂∂∂∂∂∂∂∂∂=--=+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 所以222222g g
x y x y
∂∂+=+∂∂.
12. 求函数f (x ,y )=x 2(2+y 2)+y ln y 的极值.
解：先解方程组2
2
(,)2(2)0
(,)2ln 10x y
f x y x y f x y x y y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩ 得驻点为(0,1).
()()221
2(2),,4,,2,xx xy yy f y f x y xy f x y x y
=+==+
在点(0，1)处,Δ=AC -B 2=6×1-0>0,又A >0,所以函数在(0，1)处有极小值f (0，1)=0.
（B ）
1. 设z =e －
x +f (x －2y )，且已知y =0时，z =x 2,则z x
∂=∂ .
解：令2220(),(2),x x x y y f x x e z e x y e -==-=+--得因此，
所以22(2).x x y z
e x y e x
-∂=+--∂
2. 设f (x ,y ,z )=e x yz 2，其中z =z (x ,y )是由x +y +z +xyz =0确定的隐函数，则(0,1,1)x f -= .
解：01()0.z z
x y z xyz y z x x x
∂∂+++=+++=∂∂由可得
故1.1yz
z x xy
+∂=-∂+ 221(,,)(2)(2)1x x x x x yz z
f x y z y e z e z y e z e z x xy
+∂=+⋅=-∂+
因此(0,1,1)1x f -=.
3.
设z =,则z z x y x y ∂∂+=∂∂ .
解：z
z x y ∂∂==∂∂，
所以11
2.2z z x y x y ∂∂+=∂∂
4. 设1()()z f x y yg x y x =++,,其中f ,g 具有二阶连续偏导数,则2
z x y
∂=∂∂ .
解：21()'()'(),y
z f xy f xy yg x y x x x
∂=-+++∂
2'11
()'()''()'()''()y z f xy f xy f xy x g x y yg x y x y x x x
∂=-++++++∂∂ ''()'()''()yf xy g x y yg x y =++++.
5.
函数(,)f x y =(0,0)处的偏导数存在的情况是( C ).
A f x (0,0)，f y (0,0)都存在
B f x (0,0)存在，f y (0,0)不存在
C f x (0,0)不存在，f y (0,0)存在 D
f x (0,0)，f y (0,0)都不存在
解：000(0,0)(0,0)1(0,0)lim
lim lim ,x x x x f x f e f x x
∆→∆→∆→+∆--==∆∆=
000(0,0)(0,0)1
(0,0)lim lim lim .y x x x f y f f y y
∆→∆→∆→+∆--==∆∆=
6. 设f (x ,y ),g (x ,y )均为可微函数，且g y (x ,y )≠0，已知(x 0,y 0)是f (x ,y )在约束条件g (x ,y )=0下的一个极值点，下列结论正确的是( D ) A 若f x (x 0,y 0)=0,则f y (x 0,y 0)=0 B 若f x (x 0,y 0)=0,则f y (x 0,y 0)≠0 C 若f x (x 0,y 0)≠0,则f y (x 0,y 0)=0 D 若f x (x 0,y 0)≠0,则f y (x 0,y 0)≠0
解：作拉格朗日函数(,,)(,)(,)L x y f x y g x y λλ=+，则有
0000(,,)(,)(,)0x x x L x y f x y g x y λλ=+=， 0000(,,)(,)(,)0y y y L x y f x y g x y λλ=+=.
由于g y (x ,y )≠0，所以当f x (x 0,y 0)≠0，0,λ≠因此00(,)0y g x y λ≠，从而f y (x 0,y 0)≠0. 7. 设函数u =f (x ,y ,z )有连续偏导数，且z =z (x ,y )是由x e x －y e y =z e z 所确定的隐函数，求d u .
解：由x e x －y e y =z e z
可得.,y y
x x x x z z z z z z
e ye z z z e xe z e xe e ze x x x y e ze e ze --∂∂∂+∂+=+==∂∂∂∂++故同理.
因此x y z du f dx f dy f dz =++
()y y x x
x y z z z z z
e ye e xe
f dx f dy f dx dy e ze e ze ++=++-++
()()y y x x x z y z z z z z
e ye e xe
f f dx f f dy e ze e ze ++=++-++.
8. 设函数u =f (x ,y ,z )有连续偏导数，且y =y (x ),z =z (x )分别由下列两式确定：
0sin 2,d x z
x y x t e x y e t t
--==⎰，
求d d u x
. 解：由2,()()0,.xy xy
xy
xy
dy dy dy e y y y
e xy e y x y x dx dx dx x
x e x --=+-+===--可得因此， 由0sin()()sin d ,(1)1sin()
x x z x x
x z e x z t dz dz e t e t x z dx dx x z ---==-=---⎰可得，因此. 故()d [1]d sin()
x x y z x y z dy y e x z u dz f f f f f f x dx dx x x z -=++=-+--. 9. 设z =z (x ,y )由方程x 2+y 2－z =g (x +y +z )所确定，其中g 具有二阶连续偏导数且g ′≠－1. (1) 求d z ;
(2) 1(,)()z z u x y x y x y
∂∂=--∂∂,求.u x ∂∂
解：(1)()22x y z g x y z +=++由－,两边分别同时对x 、y 求偏导得
()()2'(1),2'(1).z z z z x g x y z y g x y z x x y y
∂∂∂∂-
=+++-=+++∂∂∂∂ 因此()()()
()2'2',.'1'1x g x y z y g x y z z z x y g x y z g x y z -++-++∂∂=
=∂∂++++++ ()()()
()2'2'.'1'1
x g x y z y g x y z dz dx dy g x y z g x y z -++-++=
+++++++
(2) ()()22112
(,)()'1'1
x y z z u x y x y x y x y g x y z g x y z -∂∂=
-==-∂∂-++++++, ()()2
2
2'2''()[1]2''()(1)'1.['()1]['()1]x g x y z z g x y z g x y z g x y z u x x g x y z g x y z -++∂-+++-++++++∂∂==∂++++++ 10. 求函数u =x 2+y 2+z 2在约束条件z =x 2+y 2和x +y +z =4下的最大值和最小值.
解：由2222,44x y x y z x y x y +++=+=--z=可得.因此，问题转化为求 2224(4)4u x y x y x y x y =--+--+=--在约束条件下的极值问题. 令222(,,)4(4)(4)L x y x y x y x y x y λλ=--+--++-++, (,,)12(4)20x L x y x y x λλλ=----++=，
(,,)12(4)20y L x y x y y λλλ=----++=. 2240,x y x y +-++=
解得: 2,21, 1.x y x y =-=-==或因此, .z=8或z=2 又(2,2,8)72,(1,1,2) 6.f f --== 所以最大值为72，最小值为6.
习题8-1
1. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)D
m x y d μσ=⎰⎰.
2. 试比较下列二重积分的大小： (1)
2()D
x y d σ+⎰⎰与3
()D
x y d σ+⎰⎰，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；
(2)
ln()D
x y d σ+⎰⎰与2
ln()D
x y d σ+⎡
⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.
解：(1)在D 内，()()23
01x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()D
D
x y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.
(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2
ln()[ln()]D
D
x y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰
习题8-2
1. 画出积分区域，并计算下列二重积分： (1) ()D x y d σ+⎰⎰，其中D 为矩形闭区域：1,1x
y ≤≤；
(2) (32)D
x y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域； (3) 2
2()D
x
y x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；
(4) 2
D x
yd σ⎰⎰,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0；
(5) ln D
x yd σ⎰⎰,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；
(6)
22D
x d σ
y ⎰⎰其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 1
1
1
1
1
1
()()20.D
x y d dx x y dy xdx σ---+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ (2) 2
22
200
(32)(32)[3(2)(2)]x D
x y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-⎰⎰⎰⎰
⎰
2232022
20[224]4.33
0x x dx x x x =-++=-++=⎰
(3) 32
2
2
2
2
2
2
002193()()(
)248y
y D
y x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰
43219113.9686
0y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.D
x yd σ=⎰⎰
(5) 4420104
1ln ln (ln ln )2(1)2110e D
e e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-=
=-⎰⎰⎰⎰⎰. (6) 12222411131112
2222
119()()124642
x x D
x x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=⎰⎰
⎰⎰⎰⎰. 2. 将二重积分(,)D
f x y d σ⎰⎰化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下： (1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；
(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域； (3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x
=所围成的闭区域；
(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域.
解：(1) 122120
1
(,)(,)(,).x x
y y
dx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
(2) 2
441
4
(,)(,).y x
y dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰
⎰⎰
(3) 1222
2
1111
1
2
(,)(,)(,).x
y
y
x
dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(4) 2111
1
(,)(,).x
dx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰
3. 交换下列二次积分的积分次序：
(1) 1
(,)y
dy f x y dx ⎰⎰； （2）22
20(,)y
y
dy f x y dx ⎰⎰；
(3) ln 10(,)e x
dx f x y dy ⎰⎰
； (4) 12330
1
(,)(,)y y
dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰
.
解：(1) 11
1
(,)(,)y
x
dy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.
(2) 22240
2(,)(,).y x y
dy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰
(3) ln 1
1
(,)(,)y e x
e
e
dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰
⎰⎰
(4) 1233230
1
2
(,)(,)(,)y
y
x
x
dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰.
4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.
解：111
00037(623)(62).22
V dx x y dy x dx =--=--=⎰⎰⎰
5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.
解：3111222
000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=⎰⎰⎰
习题8-3
1. 画出积分区域，把二重积分(,)D
f x y d σ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D
是：
(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；
(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20
(,)(cos ,sin ).a
D
f x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰
⎰⎰
(2) 2cos 20
2
(,)(cos ,sin ).D
f x y d d f r r rdr π
θ
πσθθθ-=⎰⎰
⎰⎰
(3) 22
1(,)(cos ,sin ).D
f x y d d f r r rdr π
σθθθ=⎰⎰⎰
⎰
(4)
12
cos sin 0
(,)(cos ,sin ).D
f x y d d f r r rdr πθθσθθθ+=⎰⎰⎰
⎰
2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：
(1)
220
)a
dy x y dx +⎰
；
(2)
21
;x
x
dx ⎰
⎰
解：(1) 442
2
3
20
)248a
a
a a dy x y dx d r dr πππθ+==⋅=
⎰
⎰⎰
.
(2)
2sin 31
2
44cos 60
01sin 3cos x
x
dx d r dr d πθπ
θθθθθ
==⎰
⎰⎰⎰
⎰
2
44466400011cos 111(cos )[(cos )(cos )]33cos cos cos d d d πππ
θθθθθθ
θ-=-=--⎰⎰⎰ 532(21)
1cos cos 4().35345
π
θθ--+=--
+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分： (1)2
2
x y D
e d σ+⎰⎰,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1；
(2) 2
2ln(1)D
x
y d σ++⎰⎰,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭
区域；
(3)
arctan D
y
d σx ⎰⎰，其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一
象限内的闭区域；
(4)
222D
R x y d σ--其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.
解：(1) 2
2
2
221001
12(1).20
x
y r r D
e d d e rdr e e πσθππ+==⋅=-⎰⎰⎰⎰
(2)
23
1
1
22
2
222
01ln(1)ln(1)[ln(1)]22
01D
r r x y d d r rdr r dr r π
πσθ++=+=+-
+⎰⎰⎰⎰⎰
2
12
(1)[ln 22](2ln 21)4
4
1r r r dr r
ππ+-=-=-+⎰. (3) 22224
4010133arctan arctan(tan ).32264D
y d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(4)
2
2
2
D
R x y d σ--3
cos 2
2
222220
2
2cos 12()230
R R d R r rdr R r d π
πθ
ππθθθ--=-=--⎰⎰⎰ 3333
221(sin )33
R R R d π
ππθθ-=--=⎰.
4. 求由曲面z =x 2+y 2与22z x y +.
解：两条曲线的交线为x 2+y 2=1，因此，所围成的立体体积为：
212222200[()]().6D
V x y x y d d r r rdr ππσθ=++=-=⎰⎰⎰⎰
习题8-4
1. 计算反常二重积分()x y D
e dx dy -+⎰⎰，其中D ：x ≥0,y ≥x .
2. 计算反常二重积分222
()
D
dx dy
x y +⎰⎰
，其中D ：x 2+y 2≥1. 解：1. 222001()2
a a
a
a
x y
x
x a
a
a x e dx e dy e e dx e e ---------=-=-
+-⎰⎰⎰ 所以2()211
lim ().22a x y a a a D
e e dxdy e e --+--→+∞-=-
+-=⎰⎰ 2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-⎰⎰，得2
22211lim 2().2()2R D
dxdy x y R ππ→+∞=-=+⎰⎰
复习题8 （A ）
1. 将二重积分d d (,)D
f x y x y ⎰⎰化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D 是：
(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;
(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解：(1) 1
2
2
1
1
2
2
1
(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=⎰⎰⎰⎰
(2) 242400
4
(,)(,).x
y
y x
dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰
⎰⎰
2. 交换下列两次积分的次序： (1)d d 1
(,)y
y
y f x y x ⎰⎰
;
(2)d d 2
220
(,)a
ax x x f x y y -⎰⎰
;
(3)d d +d d 1
2
20
1
(,)(,)x
x
x f x y y x f x y y -⎰⎰⎰⎰．
解：(1) 21
1
d (,)d d (,)d y x y
x
y f x y x x f x y y =⎰
⎰
⎰⎰.
(2) 2
22
22
2200
d (,)d d (,)d a
ax x a
a a y a a y x f x y y y f x y x -+---=⎰⎰
⎰⎰
.
(3) 1
2
21
20
1
d (,)d +d (,)d d (,)d x
x
y y
x f x y y x f x y y y f x y x --=⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
.
3. 计算下列二重积分：
(1) e
d x y
D
σ+⎰⎰， D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;
(2) d d 2
D x
y x y ⎰⎰,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成；
(3) d d (1)D
x x y -⎰⎰,D 由y =x 和y =x
３
围成；
(4) d d 22()D
x y x y +⎰⎰
，D :︱x ︱+︱y ︱≤1; (5) d 1sin D
y σy ⎰⎰，D 由2
2y x π=与y =x 围成； (6)
d (4)D
x y σ--⎰⎰，D 是圆域x 2＋y 2≤R 2；
解: (1) 1
1
1
1111
211
1
11e d ()()()1
x y x y x x x x D
dx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰.
(2)
532
222
42
1
1
121129d d ()()225315
1x
D
x x x y x y dx x ydy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰. (3) 3112430011117
(1)d d (1)()325460x x D
x x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰.
(4)
1122
220
()d d 4()x
D
x y x y dx x y dy -+=+⎰⎰⎰⎰
33241
20
141212
4(2)4()3332333
0x x x x x x dx x =--
+=--+=⎰. (5) 2
2
2200sin 12sin d (sin sin )y y D
y y dy dx y y y dy y y πππσπ==-⎰⎰⎰⎰⎰。