线性代数之行列式的性质及其计算

第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质

考虑111212122212n n n n nn

a a a a a a D a a a =

L L L L L L L

将它的行依次变为相应的列，得

112111222212n n T n

n nn

a a a a a a D a a a =

L L L L L L L

称T D 为D 的转置行列式 .

性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）

事实上，若记111212122212n n

T n n nn

b b b b b b D b b b =

L L L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L

1212()

12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑L

L 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L

说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.

性质2 互换行列式的两行(i j r r ↔)或两列(i j c c ↔)，行列式变号.

例如 123

123086351.351

086

=- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =.

性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即

111211112112121212

n n i i in i i in n n nn n n nn

a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L L

L L L L L L L L L L L L L L L L

推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；

(2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；

性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．

性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即

11121112212

n i i i i in in n n nn

a a a a

b a b a b a a a +++=L

L L L L

L L L L L

L

1112

112

12n i i in n n nn a a a a a a a a a +L

L L L L L L L L L L

111211212

n i i in n n nn

a a a

b b b a a a L L L L L L L L L L L

. 证: 由行列式定义

1212()

12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑L

L L

12121212()()1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑L L L L L L

性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j

r kr D D +=，即

111211212

i j

n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=L L L L L L L L L L L

1112111221

2

n i j i j in jn n n nn

a a a a ka a ka a ka a a a +++L

L

L L L

L L L L L L

计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 例1: 计算行列式

2

324311112321311(1)(2)

323411310425

1113D --=

-

解: 2112

31

23123212

3223240188(1)323

4

0862

4

25

4

2

5

r r r r r r D +↔-----=-

-

----=

433241

30858

4123212

32018

8

018

8

005862

0058621430

3037

29

r r r r r r -

++-----

-=

=

143

[1(1)58]28629

=-⨯-⨯⨯=. 4

12

1

2,3,4666611111111

13111311

0200

(2)6

6

1131113100201113

1113

0002

i

i i r r r r i D

=+

-=∑

==

=6(1222)48=⨯⨯⨯⨯=.

此方法称为归边法. 例2: 计算n 阶行列式

12

11

1111(1)(2)111(0,1,2,,)n n n

i a x a a a a

x a D D a a a x

a i n ++=

=

+≠=L

L L L L L L L L L L L L

L L 解: (1)

1112132,3,1

1111

00

000i r r n

i n

n

a a a D a a a a -=+---=

L L L L

M M M M M

L 221

11111100100

010

n

n

a a a a a -=

+-L L L L L

L L L L L L L L

L

(箭形行列式)

112231

22,3,,1111000

0i

i

n

c c i i

a n i n

n

a a a a a a a +==++∑

=

L L

L L L L L L L

2312122111

(1)(1)n

n

n n n i i i i

a a a a a a a a a a a ===++=+∑∑L L L

(2) 注意到行列式各行元素之和等于(1)x n a +-,有

12,3,,(1)(1)(1)i c c n

i n

x n a

a a x n a x

a D x n a

a

x

+=+-+-+-=

L L L L L L L L

11

[(1)]1

a a x a x n a a

x

=+-L L L L L L L