模型数据的拟合

｝ｔ Ｏ
Ｙ
Ｏ
５
１０
１５
２０
２５
３０
３．３
５．４
６．６
７．４
７．８
８．１
分析：利用ＭＡＴＬＡＢ软件，作出其图象。
图３
从图上可看出溶入量随时间增加而趋于平坦。实际中就是 这样，溶解量有一最大的限度，即饱和度，因此模型选ｙ（ｔ）＝Ｌ＋ （ｙｏ－Ｌ）ｅ“比较合适，这是一个初值ｙｏ＝Ｏ的一阶模型。
法１：据图形．可设Ｌ＝８．３
并可求得满意度矩阵Ｇ删和综合素质评分矩阵Ｄ。，将Ｎ 个应聘人员录用至各类部门。最后按照各部门的优劣评分分至 各单位。
参考文献： ［１］吕锋，王虹，刘皓春，苏扬．信息理论与编码［Ｍ］一匕京：人民
邮电出版社。２００４，２７．
［２］彭祖赠，孙韫玉．模糊（Ｆｕｚｚｙ）数学及其应用［Ｍ］．武汉：武汉 大学出版社，２００２。１４５． 责任编辑郑文
孛Ｉｎ（Ｌ—ｙ）＝－ｋｔ＋ｌｎ（ｙｏ－Ｌ）＝＞ｌｎ（８．３－ｙ）＝一ｋｔ＋ｌｎ（ｙｏ－Ｌ１ 利用ＭＡＴＬＡＢ软件，作线性拟合
＞＞ｘ＝０：５：３０；
＞＞ｙ＝［０ ３．３ ５．４ ６．６ ７．４ ７．８ ８．１］； ＞＞ｚ＝ｌｏｇ（８．３－ｙ）； ＞＞ｐｏｌｙｆｉｔ（ｘ，Ｚ，１）
ａｓｓ＝
一０．１２１ １ ２．２３２５
和最小的各个参数。 二、利用Ｍａｔｌａｂ软件作模型的数据拟合
１．Ｍａｔｌａｂ中曲线拟合的工具是ｐｏｌｙｆｉｔ（ｘ，Ｙ，Ｎ）函数。该函数
对向量ｘ，ｙ所确定的原始数据构造Ｎ阶多项式Ｐ（Ｘ），使Ｐ（Ｘ） 与已知数据点间函数值之差的平方和为最小。
对线性模型，我们很容易利用ｐｏｌｙｆｉｔ（ｘ，Ｙ，１）函数，确定出各
一、数据拟合的基本思想 数据拟合的基本思想是最小二乘法。假如有—模型，在根据变 量的改变来预测变量Ｙ时涉及到参数ａ，可以记作Ｙ＝ｆ（ｘ，ａ），这里 大写的Ｙ表示根据模型测算出的Ｙ值，如果已经有一系列的实际 数据ｘ。，ｙ。），（ｘ２＇ｙ：），…，（ｘｎ’ｙ。），则每点的预测误差应该是： Ｙｉ—Ｙ。《（】【ｉ，ａ）一Ｙｊ（ｉ＝１，２，３，…，ｎ）
铲［Ｏ ３．３ ５．４ ６．６ ７．４ ７．８ ８．１］；
ｆ＝ｑ－ｘ（１）★（１－ｅｘｐ（ｘ（２）－ｋｐ）） （２）在ＭＡＴＬＡＢ窗口下输入：
‘ｘ（１）＝Ｌ，ｘ（２）＝一ｋ
＞＞ｘ０＝［８，一１］；‘给一个初始迭代值
＞＞ｘ＝ｌｓｑｎｏｎｌｉｎ（‘ｆｕｎ’，ｘＯ） 得：ｘ＝８．５４１３－０．０９９１
即Ｌ＝８．５４１３ ｋ＝０．９９１
（上接第１４４页）
做ｌｎＵ和ｌｎ（Ｒ／Ｍ）的图象：
＞＞ｐｌｏｔ（１０９（ｒｍ），ｌｏｇ（ｕ），‘Ｏ’）
从图象５可看出ｔｎＵ和Ｉｎ（Ｒ／Ｍ）有线性关系．对ｌｎＵ和 １ｎ（Ｒ／Ｍ）作线性拟合：
＞＞ｐｏｌｙｆｉｔ（１０９（ｒｍ），ｌｏｇ（ｕ），１）
ａ／ｉｓ＝一０．５００１ ５．９０６３
即ｌｎＵ＝一０．５Ｉｎ（Ｒ／Ｍ＋５．９１＝＞Ｕ＝３６９、／丽）。用此模型估
即ｋ＝Ｏ．１２１１模型为：ｙ（ｔ）＝８．３（１－ｅ舢“） 误差平方和：
＞＞ｙｙ＝８．３★（１一ｅｘｐ（一Ｏ．１２１Ｉ★ｘ））； ＞＞ｑ＝ｓｕｍ（（ｙｙ—ｙ）．＾２）
ｑ＝０．５６３０
作线性拟合：ｙ。ｌ＝ｅ山Ｌｙ．＋Ｌ（１－ｅ也１） 令ａ＝ｅ山‘ ｂ＝Ｌ（１－ｅ＾１） ｄ＝５
ｙ，Ｉ－ａｙ．．＋ｂ
ｘ＝［０ ３．３ ５．４ ６．６ ７．４ ７．８］；
＞＞ｒｍ＝ｒ．／ｍ；
＞＞ｐｌｏｔ（ｒｍ。Ｕ，‘Ｏ’）
田４
如图４所示，它们之间呈非线性。
圈５
（下转第１５０页）
堕墨垫，釜；尘查亟望壁查塞鲍墼堂搓型
劣排序，再将各部门已选中的人员按优分配到各单位。 第二。考虑志愿的安排 仍然考虑将录用人员分为三类，按照问题二的赋权可得到
ｑ１＝０．５２９４，ｑｚ＝０．３５２９。ｑ３＝０．１１７７
模型ｙ（ｔ）＝８．５４（１．＿ｅ－ａ。ｕ） 两种方法，拟合结果十分接近。
误差平方和：ｑ＝０．００４２ 结论：三种拟合法，非线性拟合效果最好。
２．某星球上的物体要达到某一最低速度才可以摆脱重力的 影响飞离地球，若达不到此速度它最终仍会落回星球表面。下面
给出了太阳系中一些行星的逸出速度：
行星名 水星
平均半径（ｋｉｎ） 质量１０２４ｋｇ 逸出速度ｋｍｓ—Ｉ
算的各星球的逸出速度如下
【行星名 ｌ逸出速度
水星 ４．３
金星 地球 火星 木星 １０．５ １１．３ ５．１ ６０．２
土星ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ３５．８
天王星 海王星 ２１．５ ２３．５
从上表可看出与实际情况比较接近，拟合良好。
四、结束语 用数学解决实际问题除了先要建立正确的模型外；拟合出 模型中的参数也是—个十分重要的环节：能较好地拟合出模型 中的参数，有利于实际问题的解决。拟合模型中的参数，常用的 有两种方法：一是作线性拟合，二是作非线性拟合：作线性拟合 相对说来要容易一些，我们应当掌握一些把非线性模型转化成 线性模型的技术。评价一种拟合方法的好坏，主要看其误差的平 方和，误差平方和越越好。 参考文献： ［１］谢兆鸿．数学建模技术［Ｍ］．北京：中国水利水电出版社，２００３． ［２］王学辉．Ｍａｆｌａｂ ６．１．［Ｍ］一Ｅ京：中国水利水电出版杜，２００２．
Ｙ＝［３．３ ５．４ ６．６ ７．４ ７．８ ８．１］；
作线性拟合，得出：
ａ＝Ｏ．６１ １
ｂ＝３．３３
从而ｋ＝Ｏ．０９８５ Ｌ＝８．５６
１４４ 万方数据
即 ｙ（ｔ）＝８．５５（１－ｅ－ｅｅｌ） 误差平方和：ｑ＝０．００４９
作非线性拟合： （１）建立Ｉｎ文件如下：
ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆ＝ｆｕｎ（ｘ）
ｐ＝０：５：３０；
郑文：模型数据的拟舍
２．利用非线性最小二乘拟合函数ｌｓｑｎｏｎｌｉｎ（‘ｆｕｎ’。ｘＯ）。 方法：（１）写一个ｍ文件，建立函数ｆ＝ｆｕｎ； （２）确定迭代初值ｘＯ； （３）调用函数Ｉｓｑｎｏｎｌｉｎ（‘ｆｕｎ’，ｘＯ）。
三、模型数据的拟合举例 确定数学模型的思路是这样的：首先。根据试验取得的数 据，作出数据的分布图，结合问题本身的意义和分布图，选择合 适的数学模型；其次，根据实测数据，拟合出模型中的待定参数。 Ｉ．下表给出了一定量的化学物质溶解到某种溶剂中随时间 变化的量，根据数据拟合一个合适的模型。
则各项的误差的平方和Ｓ－－乞（ｆ（ｘｌ，ａ）一Ｙ；）２，它被认为是关
？Ｓ
于参数８的函数，所以如果它有极小值，则它对ａ的偏导ｉ：＝０， 写成数学式是：
Ｆ？Ｓ
上百ｘ（ｆ－ｙ）＝０
从上式可求出使各项的误差的平方和最小的参数的值。在
模型中往往会有多个变量和多个参数，那么对每个参数都要列 出类似的方程，然后通过求解这方程组，可求出能满足误差平方
分析：这个问题含有两个自变量Ｒ和Ｍ，需要求的模型ｕ＝ ｕ（Ｒ，Ｍ），在求解问题时可考虑，能否让变量Ｕ仅与两个变量的 比值有关，即Ｕ＝Ｕ（Ｒ／Ｍ），这样可使问题简化，利用表中提供的 数据做出Ｕ和Ｒ／Ｍ的关系曲线。
利用ＭＡＴＬＡＢ软件，作出其图象。 ＞＞ｕ＿［４．３ １０．４ １１．２ ５ ５９．６ ３５．６ ２１．３ ２３．８］； ＞＞ｒ＝［２４３９ ６０５２ ６３７８ ３３９７ ７１５００ ６０３００ ２５６００ ２５３００］； ＞＞ｍ＝［０．３３ ４．８７ ５．９８ ０．６４２ １９００ ５６９ ８６．９ １０３］；
ｙｏ＝Ｌ＋（ｙｏ－Ｌ，ｅ坞《线篇：柚Ｎ
两式相除有：ｙ叶，－－－－ｅ’口＋Ｌ（１一ｅ粕），则Ｋ。和ｙ。有线性关系， ｅ瑚和Ｌ（１－ｅ－“）是线性参数；
ｙ，＿ｋｙ（１一抄＞ｙ（ｔ）２而Ｌ （４）一阶非线性模型（Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型） Ｙｏ
图象如图２所示：
图２
此模型常用模拟开始变化较慢，然后逐渐加快，又逐渐变得 平缓，最终接近某种自然限制条件Ｌ。常用来模拟某动物或植物 的生长模型或用来估测人口总数的模型。
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｅｍｐｌｏｙｍｅｎｔ ａｎｄ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ ｉｎ ｈｉｒｉｎｇ ｃｉｖｉｌ ｓｅｒｖａｎｔｓ．Ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ａｒｅ船ｆｏｌｌｏｗｓ：Ｆｉｒｓｔ．ｗｅ ｓｅｔ ｕｐ ａ ｔｗｏ－ｌｅｖｅｌ ａｐｐｒａｉｓｅｍｅｎｔ ｍｏｄｅｌ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｍａｒｋｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ印ｐｌｉｃａｎｔｓ ｇｏｔ ｉｎ ｔｈｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ ａｎｄ ｆａｃｅ－ｔｏ－ｆａｃｅ ｅｘａｍｉｎａｔｏｎ， ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔｓ．Ｔｈｅｎ ｗｅ ｃａｎ ｇｅｔ ｔｈｅ ｓｃｈｅｍｅ ｏｆ ｅｍｐｌｏｙｉｎｇ ｃｉｖｉｌ ｓｅｒｖａｎｔｓ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｔｈａｔ ｈｉｒｉｎｇ ｔｈｅ
第１４卷 第４期
Ｖ０１．１４ Ｎｏ．４
重庆职业技术学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ＆Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ ｌｍｔｉｔｕｔｅ
文章编号：１６７２—００６７（２００５）０４—０１４３—０２
２００５年１０月 ｏＣｔ．．２００５
·基础科学·
模型数据的拟合
郑文
（西南大学数学与财经学院，重庆市４００７１５）
万方数据
此模型常用模拟开始变化较快，然后逐渐变得平缓，最终接 近某种自然限制条件Ｌ。参数ｋ的作用用来改变曲线的形状，ｋ 值越大，Ｙ—Ｌ的速度就越快，曲线的形状就越陡。
●根据图形先估计Ｌ的值。然后作线性拟合。 孛ｌｎ（Ｌ－ｙ）＝一ｋｔ＋ｌｎ（ｙｏ－Ｌ），则一ｋ和ｌｎ（ｙｏ－Ｌ）是线性参数； ●如果测量获取的数据有相等的时间间隔，则可用下面的 方法来估计参数Ｌ和ｋ．设时间间隔是一常数ｄ，１／ｎ是历经ｎ 次时间间隔后Ｙ的值，则有
待定参数；如果模型是非线性的，通过变换，使其变成线性的，举 例如下：
（１）ｙ＝ａｅｋ孛ｌｎｙ＝ｌｎａ＋ｂｘ，则ｌｎａ和ｂ是线性参数；
（２）ｙ＝｛亭上＝羔＋导，则上和寻是线性参数；
ＸｔＤ
ｙ
ａ
Ｄ
ａ
Ｄ
（３）对一阶线性模型ｙ’：ｋ（Ｌ—ｙ）＝＞ｙ（ｔ）＝Ｌ＋（舻Ｌ）ｅ七
图象如图１所示：
收稿日期：２００５－－０１—１８ 作者简介：郑文，男，重庆长寿人，重庆职业技术学院，副教 授，西南大学数学与财经学院，在读研究生。
摘要：本文介绍了如何应用Ｍａｔｌａｂ软件来拟合模型中的参数．以及把非线性模型转化成线性模型的技术。
关键词：数据拟合；模型；最小二乘法；ＭＡＴＬＡＢ；线性拟合；非线性拟合
中图分类号：０１４１．４
文献标识码：Ａ
根据实际问题建立了模型，模型中通常含有一些待定的参 数；我们必须根据已提供的数据来拟合出这些待定的参数。
●根据图形先估计Ｌ的值。然后作线性拟合。
孛Ｉｎ（上一１）一ｋｔ＋ｌｎ（旦一１），则一ｋ和Ｉｎ（Ｌ—１）是线性参
Ｙ
Ｙｏ
ｙｏ
数：
●如果测量获取的数据有相等的时间间隔。则可用下面的
方法来估计参数Ｌ和ｋ。设时间间隔是一常数ｄ，ｙ。是历经ｎ次
时间间隔后Ｙ的值。则有关系：
上－－ｅ制（上）＋三皇，则
ｙ¨
Ｙｎ
Ｌ
１／ｙ。Ｉ和１／ｙ。有线性关系，ｅ坷和（１一ｅ刈）是线性参数； １４３
ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ ａｐｐｌｉｃａｎｔｓ．Ｗｅ ｕｓｅ ｅｎｔｒｏｐｙ ｔｏ ｅｎｄｏｗ ｗｉｔｈ ａｐｐｒａｉｓｅｍｅｎｔ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｎｔｒｏｐｙ；ｔｗｏ－ｌｅｖｅｌ ａｐｐｒａｉｓｅｍｅｎｔ；ｉｎｔｅｇｒａｔｉｖｅ ａｐｐｒａｉｓｅｍｅｎｔ
—址．‘ｔ．址．‘ＩＬＪ上．．‘ＩＬ．址．址．址．‘止．‘ＩＬ．‘也．‘ｌＬ．‘ＩＬ．‘止．址．‘屯．址．工ｌＬ舢““．址．‘啦ＪＬ．‘‘Ｌ．‘ＩＬ．‘ｌＬ—屯．‘ＩＬ．‘－Ｌ．１止．１ＩＬ．‘ｔ“Ｕ．‘ｔ Ｕ Ｕ．‘ｌＬＪＬ．‘屯．‘‘ＬＪＬ．‘ＩＬ
Ｔｈｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｃｈｅｍｅ ｏｆ Ｅｍｐｌｏｙｉｎｇ Ｃｉｖｉｌ Ｓｅｒｖａｎｔｓ
ＣＨＥＮ Ｓｉ－ｘｕｌ，ＸＵ Ｌｅｉｌ，ＣＵＮ Ｙａｎ－ｐｉｎ９１。，ＬＵＯ Ｗａｎ—ｃｈｕｎ２
（Ｔｈｅ Ｔｈｉｒｄ Ｍｉｌｉｔａｒｙ Ｍｅｄｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：１．Ｃｏｍｐａｎｙ Ｔｈｒｅｅ；２．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ； ３．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｖｅ Ａｕｔｈｏｒ Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０００３８，Ｃｈｉｎａ）
２４３９
０．３３
４．３
金星 地球 火星 木星
６０５２ ６３７８ ３３９７ ７１５００
４．８７ ５．９８ ０．６４２ １９００
１０．４ １１．２ ５ ５９．６
土星
６０３００
５６９
３５．６
天王星 海王星
２５６００ ２５３００
８６．９ １０３
２１．３ ２３．８
建立一个模型来描述逸出速度ｕ和行星质量Ｍ及半径Ｒ 的关系。