分数阶积分微分方程三点边值问题解的存在性

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常熟理工学院学报 （自然科学）
α-1 t I 0α+ y(t) = 1 ∫ (t - s) y(s)ds, 0⋅) 为 gamma 函数， α>0 ， 其中， 右边在 (0,∞) 上是逐点定义的.
α D0 + y(t) =
定义 2.2 函数 y:(0, +∞) → R 的 α 阶 Riemann - Liouville 分数阶微分为
α ì ïD 0 + u ( t ) = f ( t, u(t), ( Au )( t ) ), t ∈ J: =[0, T ] í β β ï îu ( 0 ) = 0, D 0 + u (T ) = aD 0 + u ( ξ)
近年来， 分数阶微分方程初值问题和边值问题引起了广泛的关注. 除了在数学领域的应用， 还在光学和
1 p
m L (J, R).
q
Ax + By ∈ D ； （ⅰ） 当 x, y ∈ D 时，
) > 0.
1 ì p p m ( t ) d t , 0 ≤ p < ∞, ï∫ | | J m = L (J, R) í ïinf sup t ∈ J - Jˉ | m(t) | , p → ∞, )= 0 î μ(Jˉ
p
对于可测函数 m:J → R, 定义其范数为
(
{
)
}
m L (J, R) < ∞.
β
且 A 是第一型 Fredholm 积分算子， 定义为 ξ ∈(0, T ), α - β - 1 ≥ 0, f:J ×R ×R → R ，
k(t, s)ds:(t, s)∈ J ×J}. {∫
t 0
k(t, s)u(s)ds, ( Au )(t) = ∫ 0
t
其中 k ∈(J ×J, R+), 另记 γ = max
1 ædö Γ (n - α) è dt ø
n
(t - s) ∫
t 0
n-α-1
y(s)ds,
n =[α] + 1,[α] 表示 α 取整，右边在 (0,∞) 上是逐点定义的. 其中，
引理 2.3 若 u ∈ C(0,1) ⋂ L(0,1) 有 α 阶导数属于 C(0,1) ⋂ L(0,1) ， 则
的解， 当且仅当 u 是下述分数阶边值问题
α ìD 0 + u ( t ) = h(t),1 < α ≤ 2, t ∈ J í β β îu ( 0 ) = 0, D 0 + u (T ) = aD 0 + u ( ξ), 0 ≤ β ≤ 1
（2）
的解， 其中 d =(T
α - β- 1
- aξ
α - β - 1 -1
关键词： 分数阶积分微分方程； 边值问题； 存在性； 唯一性； 不动点定理
1
引
言
热学系统、 流变学及材料和力学系统、 信号处理和系统识别、 控制和机器人等领域均有应用．随着分数阶微 仅是对分数阶微分方程的研究， 随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现， 从实际问题抽象出来 的方程很有可能是较为复杂的含积分的分数阶微分方程， 从而对分数阶积分微分方程的研究显得尤为迫切. 分数阶积分微分三点边值问题
（安徽大学 数学科学学院， 合肥 230039） 摘 要： 利用 Banach 压缩映像原理和 Krasnoselskii 不动点定理， 研究了一类分数阶积分微分方 文献标识码： A 文章编号： 1008-2794 （2012） 04-0035-06
程三点边值问题解的存在性和唯一性. 中图分类号： O175.8
p
ˉ ) 是 J 上的 Lebesgue 测度. L (J, R) 表示所有 Lebesgue 可测函数 m:J → R 构成的 Banach 空间且 其中 μ(J
p p q 定理 2.5 （Holder 不等式） 假设 p, q ≥ 1, 且 1 + 1 = 1. 如果 l ∈ L (J, R), m ∈ L (J, R), 则 lm L (J, R) ≤ l L (J, R) p q
α α-1 I 0α+ D 0 + c 2 tα - 2 + ⋯ + c N t N - 1, + u(t) = u(t) + c1 t
c i∈ R, i = 1,2, ⋯, N, 其中 N =[α] + 1.
引理 2.4
[6]
假设函数 h ∈ C ( J, R ), 则函数 u 是分数阶积分方程
α-1 ξ α-1 T t α - β- 1 α - β- 1 u(t) = 1 ∫ (t - s)α - 1 h(s)ds + adt ∫ ( ξ - s) h(s)ds - dt ∫ (T - s) h(s)ds 0 0 Γ (α) Γ (α) Γ (α) 0
第 26 卷第 4 2012 年 4 月
常熟理工学院学报 （自然科学） Journal of Changshu Institute Technology （Natural Sciences）
Vol. 26 No. 4 Apr. , 2012
分数阶积分微分方程三点边值问题解的存在性
朱 彦， 顾长超， 吴 婷， 孙 琳
积分方程； 最后， 运用不动点定理得到解的存在性和唯一性的两个充分条件.
本文中我们首先给出有关分数阶微分方程的基本概念和准备知识； 其次将边值问题 （1） 转化为等价的
2
预备知识
定义 2.1 函数 y:(0, +∞) → R 的 α 阶 Riemann - Liouville 分数阶积分为
收稿日期： 2012-03-17 基金项目： 高等学校博士学科点专项科研基金联合资助课题 “随机泛函微分方程的单调半流理论及应用” （ 20113401110001 ） 作者简介： 朱 彦 （1988—） ， 女， 江苏泰州人， 安徽大学数学科学学院研究生， 研究方向： 微分方程．
分方程理论知识的不断发展[[1-2]， 关于分数阶微分方程解的相关性质的研究成果也层出不穷[3-8]. 但大多数仅 文献 [3] 和 [4] 讨论了分数阶积分微分方程边值问题解的存在性和唯一性. 受其启发， 本文研究了下面 （1）
α 解的存在性和唯一性， 其中 D 0 1 < α ≤ 2,0 ≤ β ≤ 1, 0 < a < 1 ， + , D 0 + 是标准的 Riemann - Liouville 型积分，