中考复习专题《函数型综合应用问题》

中考复习专题《函数型综合应用问题》

考题透视镜

1、“靠近课本，贴近生活，联系实际”是近年中考应用题编题原则，因此在广泛的社会生活、经济生活中抽取靠近课本数学模型是近年来中考题几道用待定系法求解析问题，但这类问题蕴含有代入消元法等重要的数学思想方法，又极易与方程、不等式、几何等初中数学中的重要知识相隔合。因此以模型编制应用题又将是中考的一个“亮点”。这类问题的综合强，难度大，现举例浅析，以揭示其一般解法：

例1、近期，海峡两岸关系的气氛大为改善。大陆相关部门于2005年8月1日起对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售。某经销商销售了台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：

设当单价从38元/千克下调了x 元时，销售量为y 千克； （1）写出y 与x 间的函数关系式；

（2）如果凤梨的进价是20元/千克，某天的销售价定为30元/千克，问这天的销售利润是多少？

（3）目前两岸还未直接通航，运输要绕行，需耗时一周（七天），凤梨最长的保存期为一个月（30天），若每天售价不低于30元/千克，问一次进货最多只能是多少千克？ 解：（1）x y 250+=

（2）销售价定位30元/千克时, 83038=-=x 668250=⨯+=y ()660203066=-⨯ ∴ 这天销售利润是660元 （3）设一次进货最多m 千克

73066

-≤m

1518≤m

∴一次进货最多不能超过1518千克。

例2、某住宅小区计划购买并种植500株树苗，某树苗公司提供如下信息：

信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量相等。

信息二：如下表：

设购买杨树、柳树分别为x 株、y 株. (1) 用含x 的代数式表示y ；

(2)若购买这三种树苗的总费用为w 元，要使这500株树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数之和不低于．．．120，试求w 的取值范围.

解:⑴4002y x =-.

（2）根据题意,得()0.40.10.2400290

40020

x x x x ++-≥⎧⎪⎨

-≥⎪⎩

解这个不等到式组得:100≤x ≤200 ∵ ()3234002w x x x =++- 1200x =-

又 ∵w 随x 的增大而减小，并且100≤x ≤200，

∴-200+1200≤w ≤-100+1200，即1000≤w ≤1100

从上面几个例题可以看出,这类问题的一般解法是充分以挥第一个函数的作用,利用它的值或解析式,再结合题中的其他等量关系,将它们结合成新的函数.然后利用求得的新函数解

析式,或其图象、性质、自变量取值范围解决相关的实际问题。

2分段函数应用题

例3、甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的电器，但是各自推出的优惠方案不同．甲商场规定：凡购买超过1000元电器的，超出的金额按90%实收；乙商场规定：凡购买超过500元电器的，超出的金额按95%实收．顾客怎样选择商场购买电器能获得更大的优惠？

解：设顾客所购买电器的金额为x元，由题意得：

当0＜x≤500时，可任意选择甲、乙两商场；

当500＜x≤1000时，可选择乙商场；

当x＞1000时，

甲商场实收金额为：y甲＝1000＋(x－1000)×0.9（元）

乙商场实收金额为：y乙＝500＋(x－500)×0.95 （元）

①若y甲＜y乙时，即：1000＋(x－1000)×0.9＜500＋(x－500)×0.95

0.9x＋100＜0.95x＋25

－0.05x＜－75

x＞1500

所以，当x＞1500时，可选择甲商场．

②若y甲＝y乙时，即： 1000＋(x－1000)×0.9＝500＋(x－500)×0.95

0.9x＋100＝0.95x＋25

－0.05x＝－75

x＝1500

所以，当x＝1500时，可任意选择甲、乙两商场．

③若y甲＞y乙时，即：1000＋(x－1000)×0.9＞500＋(x－500)×0.95

0.9x＋100＞0.95x＋25

－0.05x＞－75

x ＜1500

所以，当x ＜1500时，可选择乙商场． 综上所述，顾客对于商场的选择可参考如下：

（1）当0＜x ≤500或x ＝1500时，可任意选择甲、乙两商场； （2）当500＜x ＜1500时，可选择乙商场；

（3）当x ＞1500时，可选择甲商场．

例4、我市某乡A B ，两村盛产柑桔，A 村有柑桔200吨，B 村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C D ，两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 村运往C D ，两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C D ，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 村运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，A B ，两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为A y 元和B y 元．

（1）请填写下表，并求出A B y y ，与x 之间的函数关系式；

（2）试讨论A B ，两村中，哪个村的运费较少；

（3）考虑到B 村的经济承受能力，B 村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．

（1）解：

55000(0200)A y x x =-+≤≤，34680(0200)B y x x =+≤≤

（2）当A B y y =时，550003468040x x x -+=+=，； 当A B y y >时，550003468040x x x -+>+<，； 当A B y y <时，550003468040x x x -+<+>，．

∴当40x =时，A B y y =即两村运费相等；当040x <≤时，A B y y >即B 村运费较少；当40200x <≤时，A B y y <即A 村费用较少。 （3）由4830B y ≤得346804830x +≤ 50x ∴≤

设两村运费之和为y ，A B y y y ∴=+． 即：29680y x =-+． 又

050x ≤≤时，y 随x 增大而减小，

∴当50x =时，y 有最小值，9580y =最小值（元）．

答：当A 村调往C 仓库的柑桔重量为50吨，调往D 仓库为150吨，B 村调往C 仓库为190吨，调往D 仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元。

由以上的几个例子我们可以看出，解分段函数型应用题的关键是能根据题意建立自变量在不同取值范围内所对应的函数解析式，然后再选择满足题设条件的某段函数解析式去解决相应的问题。

3、函数实际背景性应用题

例5、目前农村劳动力大量流向城市,某村庄共有100名劳动力,如果在农村种地,平均每人全年可创造产值m 元,现在村委会决定从中分流若干人进城打工.假设分流后,继续从事农业生产的劳动力平均每人全年创造的农业产值可增加20%,而分流到城市打工的人员平均每人