专题7.1 平面向量初步(精讲精析篇)(原卷版)

专题7.1平面向量初步（精讲精析篇）

提纲挈领

点点突破

热门考点01 平面向量的有关概念

1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量．

4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．

【典例1】（2020·全国课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．若a b =，则a b =或a b =- B ．若a 、b 为相反向量，则0a b += C ．零向量是没有方向的向量

D ．若a 、b 是两个单位向量，则a b =

【典例2】（2020·全国课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）

①任一向量与它的相反向量都不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a b ≠，则||||a b ≠；

⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【易错提醒】

有关平面向量概念的注意点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a

|a |是与a 反方向的单位向量．

(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． (6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．

热门考点02 平面向量的线性运算

1.平面向量的线性运算技巧

(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．

(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．

(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．

【典例3】（2018年理新课标I 卷）在△

中，

为

边上的中线，为

的中点，则

（ ）

A. B. C. D.

【典例4】（2019·山东高考模拟（文））在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ） A ．1

2

-

B ．

12

C ．1-

D ．1

【特别提醒】

关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：

①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．

②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．

热门考点03 共线向量定理及其应用

1.共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .

2.平面向量共线定理的三个应用

【典例5】（2020·广西河池·期末）已知P 是ABC 所在平面内一点，若CB PB PA CP λλ+=+，其中

R λ∈，则点P 一定在（ ）

A ．AC 边所在直线上

B ．AB 边所在直线上

C ．BC 边所在直线上

D ．ABC 的内部

【典例6】（2019·上海市新川中学高二月考）正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点，设

AP mAB nAF =+，(,)m n R ∈，则m n +的取值范围是______

【总结提升】

求解向量共线问题的注意事项

(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．

(3)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP →

＝(1－t )·OA →

＋tOB →

(O 为平面内任一点，t ∈R )．

热门考点04 平面向量基本定理及其应用

平面向量基本定理

如果12e e ，是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量a

，有且只有一对实数12λλ，，

使1122a e e λλ=+.其中，不共线的向量12e e ，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．

【典例7】（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）在ABC ∆中，点D 满足3

4

BD BC =

，当点E 在射

线AD （不含点A ）上移动时，若AE AB AC λμ=+，则()2

21λμ++ 的 取值范围为__________． 【典例8】（2020·河南开封·高一期末）如图所示，OBC 中，点A 为BC 中点，点D 是线段OB 上靠近点B 的一个三等分点，CD ，OA 相交于点E ，设OA a =，OB b =．

（1）用a ，b 表示OC ，DC ； （2）若OE OA λ=，求λ． 【总结提升】

平面向量基本定理的实质及解题思路

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

热门考点05 平面向量的坐标运算

平面向量的坐标运算

(1)若1122()()a x y b x y ==，，，，则1212()a b x x y y ±=±±，； (2)若()a x y ＝，，则()a x y λλλ＝，． (3)设

1122()()

A x y

B x y ，，，，则2121()A x x y y B ＝－，－，22122

1|()A x x y B y ＝－(－|)【典例9】（2019·全国高考真题（文））已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=（ ） A 2B ．2 C ．2 D ．50

【总结提升】

平面向量坐标运算的技巧