三角函数(一角的定义)

三角函数 〖知识特点〗
1、三角函数是主要的初等函数之一，是描述周期现象的重要函数模型，这与向量、不等式、解析几何、立体几何、函数等知识有着密切的联系，在实际问题中也有着十分广泛应用，是继续深造学习知识的必备基础，因而是高考对基础知识技能考查的主要内容之一。

在本章的复习中，要注重基础知识的落实，体现三角函数的基础性。

2、三角恒等变换是一种重要的数学能力，对于三角恒等变换这一单元来说，公式较多、方法灵活多变，一定要文章公式成立的条件，要在灵、活、巧上下功夫。

〖重点关注〗
1、三角函数的图象是三角函数关系的直观表现形式，三角函数的性质可以直接从图象上显现出来，因此掌握最基本的三角函数的形状和位置特征，会用五点法作出
sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的简图，并能由已知的这类图象求出函数的解析式、周期、
值域、单调区间等是学好本部分内容的关键。

2、三角函数的性质是本章复习的重点。

在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示三角函数值来获得函数的性质，同时能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法。

3、三角恒等变换是三角函数的基础，要立足于教材，弄清公式的来龙去脉，要注意对公式的正用、逆用、变形运用的训练，以增强变换意识。

同时，要归纳解题思路及规律，复习时选题不要太难，有特别技巧的题也尽量少做。

5、思想方法的应用
①数形结合的思想：利用三角的图象或单位圆解决有关问题既简捷又直观，是这部分习题中经常使用的一种方法。

②特殊方法的运用：本部分选择题、填空题出现的几率较大，因此在复习中要注意解选择题、填空题的一些特殊方法，如特殊值法、代入验证法、待定系数法、排除法等的运用。

另外对有些具体问题还需掌握和运用一些基本结论。

〖地位与作用〗
近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是
解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。

在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法
从新课改各省份的高考信息统计中可以看出，命题呈现以下特点：
1、考查题型以选择、填空为主，分值约占10%、17%，基本属于容易题和中档题。

2、重点考查三角函数的图象和性质、两角和与差的三角函数公式和倍角公式、正弦定理及余弦定理等，其中对倍角公式灵活运用的考查，是高考的热点，在与解三角形有关的问题中，常与平面向量结合，注重在知识交汇处命题。

3、预计本章在今后的高考中，仍将以三角函数为载体，考查函数的性质及灵活运用知识的能力。

角的概念、定义
一、知识清单
1、任意角 （1）角概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角； ②按终边位置不同分为象限角和轴线角。

（2）终边相同的角
终边与角α相同的角可写成α+k ²360o
(k ∈Z)。

（3）象限角及其集合表示
象限角 象限角的集合表示 第一象限角的集合 {α|2k π<α<2k π+2
π
,k ∈Z} 第二象限角的集合 {α|2k π+
2
π
<α<2k π+π,k ∈Z} 第三象限角的集合 {α|2k π+π<α<2k π+32
π
,k ∈Z}
第四象限角的集合
{α|2k π+32
π
<α<2k π+2π,k ∈Z}
注：终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k π, k ∈Z };终边在y 轴上的角的集合为{α|α=k π+
2
π, k ∈Z };终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=2k π, k ∈Z }
2、弧度制
（1）1弧度的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。

角度与弧度的互换关系：360°=2π180°=π1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制.
（2）角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=l/r. （3）角度与弧度的换算
①10=π/180rad;②1rad=（180/π）0.
（4）弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r。

又l=rα,则扇形的面积为
S=1
2
l r=
1
2
r2α
3、任意角的三角函数
三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么
y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作
cosα
y/x叫做α的正切，记作
tanα
各象限符号Ⅰ+ + + Ⅱ+ - - Ⅲ- - + Ⅳ- + - 口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦
终边相同角三角函数值
(k∈Z)（公式一）
sin(α+k²2π)=sinαcos(α+k²2π)=cosαtan(α+k²2π)=tanα三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线注：根据三角函数的定义，y=sinx在各象限的符号与此象限点的纵坐标符号相同y=cosx
在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同；y=tanx在各象限的符号与此象限点的纵坐
标与横坐标商的符号相同。

4、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin 2
α+cos 2
α=1; （2）商数关系：
sin tan cos α
αα
=
典型例题：
例1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式-3600≤β<7200
的元素β写出来：
（1）600； （2）-210； （3）363014，
变式1、α的终边与6
π
的终边关于直线x y =对称，则α＝_____。

例2、已知角α的终边落在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值。

思路解析：本题求α的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角α的终边上任意一点P （4t,-3t ）(t ≠0)，求出r ，由定义得出结论。

例3、三角函数线问题 若08
π
θ-<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为_____
变式1、若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_______
变式2、函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______
例4、.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为( )
()2A ()sin 2B 2
()
sin1
C ()2s i n 1D
变式1、已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

变式2．某扇形的面积为12
cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数（ ） A ．2° B ．2 C ．4° D ．4
变式3．中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆半径为（ ）
A ．2
B ．3
C ．1
D ．
2
3 变式4．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ） A ．
2)1cos 1sin 2(21
R ⋅- B ．
1cos 1sin 2
12
⋅R
C ．22
1R
D ．2
2
1cos 1sin R R ⋅⋅-
变式5．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 . 例5、 已知α为第三象限角,则
2
α
所在的象限是( ) (A) 第一或第二象限 (B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限
变式1、若α是第二象限角，则
2
α
是第_____象限角。

变式2、若α角的终边落在第三或第四象限，则2
α
的终边落在（ ）
A ．第一或第三象限
B ．第二或第四象限
C ．第一或第四象限
D ．第三或第四象限 例6、（1）如果点P （sin θ²cos θ,2cos θ）位于第三象限，试判断角θ所在的象限； （2）若θ是第二象限角，则
sin(cos )
cos(sin 2)
θθ的符号是什么？
思路解析：（1）由点P 所在的象限，知道sin θ²cos θ，2cos θ的符号，从而可求sin θ与cos θ的符号；（2）由θ是第二象限角，可求cos θ，sin2θ的范围，进而把cos θ，sin2θ看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在的象限，从而sin(cos θ),cos(sin2θ)的符号可定。

例7、已知角α的终边经过P(4,-3),求2sin α+cos α的值.
变式1、（08北京模拟）α是第四象限角，5
tan 12
α=-，则sin α=（ ）． A ．15 B ．15- C ．513 D ．513
-
变式2、已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。

变式3、设α是第三、四象限角，m
m --=43
2sin α，则m 的取值范围是_______
例8.若α是第三象限角,且cos
cos 22
θ
θ
=-,则2θ是( )
()A 第一象限角 ()B 第二象限角 ()C 第三象限角 ()D 第四象限角
变式1、（08江西）在复平面内，复数sin 2cos 2z i =+对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 例9、若cos 0,θ>sin 20,θ<且θ则角的终边所在象限是（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 变式1、（07北京文理1）已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 变式2．（08全国Ⅱ1）若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ） A ．第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ． 第四象限角
已知α所在象限，求(2,)n n N n
α
≥∈所在象限
※相关链接※
（1）由α所在象限，确定
n α
所在象限的方法 ①由α的范围，求出n
α
的范围；
②通过分类讨论把角写成θ+k ²3600
的形式，然后判断
n
α
所在象限。

（2）由α所在象限，确定
2
α
所在象限，也可用如下方法判断： ①画出区域：将坐标系每个象限二等分，得8个区域；
②标号：自x 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（如图所示）；
③确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为所求。

（3）由α所在象限，确定
3
α
所在象限，也可用如下方法判断： ①画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到12个区域；
②标号：自x 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（如图所示）：
③确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为所求。

※例题解析※
〖例〗若α是第二象限角，试分别确定2α、
2α、3α
的终边所在位置 思路分析：写出α的范围→求出2α、2α、3α的范围→分类讨论求出2α、2α、
3
α
终边所在位置。

同角三角函数关系的应用
〖例〗（12分）已知α是三角形的内角，且sin α+cos α=15
.（1）求tan α的值；（2）把22
1
cos sin αα
-用tan α表示出来，并求其值。

思路分析：（1）由sin α+cos α=15及sin 2
α+cos 2
α=1,可求sin α, cos α的值； （2）sin 2
α+cos 2
α=1，分子、分母同除以cos 2
α即可。

注：（1）对于sin α+cos α，sin αcos α，sin α-cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求。

转化的公式为(sin α±cos α)2
=1±2 sin αcos α;（2）关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tanx 的式子。

扇形的弧长、面积公式的应用
〖例〗已知一扇形的圆心角是α，所在圆半径是R 。

（1） 若α=600
，R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。

（2） 若扇形的周长是一定值C （C>0），当α是多少弧度时，该扇形有最大面积？ 思路分析：（1）利用弧长、面积公式求解；（2）把扇形面积用α表示出来，或用弧长表示出来，然后求出函数的最值。

注：合理选择变量，把扇形面积表示出来，体现了函数的思想，针对不同的函数类型，采用不同的方法求最值，这是解决问题的关键。

实战训练
1、（07全国1文2）α是第四象限角，12
cos 13
α=
，则sin α= （ ） A ．513 B ．513- C ． 512 D ．512
-
2、（07全国2 理1）sin2100 = （ ） A
2
3 B -
2
3 C
2
1 D -
2
1 3、（07全国2文1）cos330= （ ）
A ．
1
2
B ．12
-
C ．
32
D ．32
-
4、（07湖北文1）tan690°的值为 （ ） A.-3
3
B.
3
3
C.3
D.3
5、(07浙江文2)已知3cos 22
πϕ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭，且2πϕ<，则tan ϕ＝ （ ） (A)33-
(B) 3
3
(C) －3 (D) 3
6、（08江苏模拟）已知4
0,cos 25
x x π
<<=，则tan x = ． 7、sin930的值是 （ ）
（A ）
32 （B ）3
2
- （C ）12 （D ）12-
8、角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－5
4
，则m 的值是（ ） A.2
1
B.－2
1
C.－
2
3 D.
2
3 9、已知sin θ=a a +-11，cos θ=a
a +-11
3，若θ是第二象限角，则实数a =______
10、已知α是第二象限的角
（1） 指出
2
α
所在的象限，并用图象表示其变化范围； （2） 若α还满足条件|α+2|≤4，求α的取值区间; （3） 若2
π
αβπ<<<,求α－β的范围.
11、已知())(5
cos
N n n n f ∈=π
，求(1)(2)(2009)f f f +++的值。

12、已知θ∈(0,π),且sinθ,cosθ是关于x 的方程 5x 2-x+m=0的根,求sin 3θ+cos 3θ和tanθ的值.。