根式的定义

3 3 4 4 5 5 n n
2018/8/8
2.1.1指数与指数幂的运算
根指数
n
பைடு நூலகம்
a
根式
被开方数
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2.1.1指数与指数幂的运算
(1)
5
2 2 ,
5
3
(2) -2
3
结论:an开奇次方根,则有 n a n a. (2) (3)
4
3
2
4
3 ,
4
(3) 3
2
2 2 ,
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小结： 1、n次根式的定义及有关概念; 2、幂的运算性质可以从整数指数推广到 有理数指数，再推广到实数指数的形式； 3、用分数指数表示根式的目的是为将根式 运算转化为指数运算；
4. a 是
m n
n
am
的一种新的写法，分数指数
幂与根式表示相同意义的量，只是 形式上的不同而已.
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2018/8/8
2.1.1指数与指数幂的运算
例1.求下列各式的值
（ 1） (8) ;
3 3
(2)
(10)2 ;
(3)
4
(3 )4 ;
3 3
(4)
(a b)2 (a b).
解 ： 1
8 = -8; 2 2 10 | 10 | =10; 4 4 3 3 | 3 | 3; 2 | a b | a b a b . 4 a b
n n 为奇数 , a 的 n 次方根只有一个为 a, a 为负数: . n为偶数, a的n次方根不存在
零的 n 次方根为零,记为
n
0 =0.
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2.1.1指数与指数幂的运算
27 27 81 81 32 -32 a a
(1) a
4
12
(a )
4 3 4
a3
指数间有关系:
12 3 , 4
12 4
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可以认为
4
a
12
a
定义正数a的分数指数幂意义是：
a
a
m n
m n


n
a
m
1
n
a
m
(a>0 m、n∈N*且n>1)
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这样，指数的概念就由整数指数幂推广 到了分数指数幂，统称有理数指数幂。 可以证明，整数指数幂的运算法则对有 理指数幂也成立，即有理指数幂有如下的运 算法则：
指数与指数幂的运算
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2.1.1指数与指数幂的运算
回顾初中知识,根式是如何定义的？有 那些规定？ ①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a 的平方根. 正实数的平方根有两个，
它们互为相反数
22=4 (-2)2=4
2,-2叫4的平方根.
②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a
的立方根. 23=8 (-2)3=-8
(2) 2 ,
4
结论:an开偶次方根,则有 n an | a | .
式子 n a n 对任意a ∊ R都有意义.
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2.1.1指数与指数幂的运算
⑴当n为任意正整数时，( n a )n=a. ⑵当n为奇数时，n a n =a； a ( a 0) n n 当n为偶数时， a =|a|= . a ( a 0)
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xn =a
2.1.1指数与指数幂的运算
1.方根的定义 n 如果x =a,那么x叫 做 a 的n次方根(其中 * n>1,且n∈N .)
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2.1.1指数与指数幂的运算
23=8
(-2)3=-8
3 8的3次方根是2. 记作： 8 2.
3 记作： 8 2. -8的3次方根是-2.
奇次方根
1.正数的奇次方根是一个正数, 2.负数的奇次方根是一个负数.
a的n次(奇次)方根用符号 n a 表示.
一个数的奇次方根只有一个
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2.1.1指数与指数幂的运算
34=81 (-3)4=81
81的4次方根是3，-3.
记作： 81 3
4
想一想: 哪个数的平方为负数？哪个数的偶次
(1)、ar· as=ar+s r s rs (2)、 (a ) =a r r r (3)、 (a· b) =a · b 其中a>0, b>0 且r, sQ 。
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例1、a为正数,用分数指数幂表 示下列根式:
(1)
6
a ; ( 2)
3
4
1
3
a
3
2
; a
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(3)
a 2 a
2
; ( 4)
a
解：(1)6 a 4 a ;
2 3
解： (2)
1
3
a
2
a
2 3
;
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解：
3
(3)
a 2 a
2
a a
2 3
2
a
a
2 2 3
5 3
;
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解： (4) a a
3
1 2
(a a )
3 2 1 3
1 2
1 3 1 2
(a ) a .
如果x a, 那么
n
n a , n 2 k 1, k N , x n a , a 0, n 2 k , k N .
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2.1.1指数与指数幂的运算
a
n n 为奇数 , a 的 n 次方根有一个为 a, 为正数: n n 为偶数 , a 的 n 次方根有两个为 a.
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2.1.1指数与指数幂的运算
【1】下列各式中, 不正确的序号是( ①
④ ).
①
③
5 5
4
5
16 2
5
5
② ( 3) 3
( 3) 3
10
④ ( 3) 3
⑤
4
( 3) 3
4
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下面讨论根式
n
a
m
(a>0)
与幂的关系 先看几个实例
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方为负数？ 1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 偶次方根 2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
2018/8/8
2.1.1指数与指数幂的运算
(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数. n a 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质： 正数的偶次方根有两个且是相反数， n a 负数没有偶次方根， 零的偶次方根是零.
一个数的立方 2叫8的立方根. 根只有一个 -2叫-8的立方根.
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2.1.1指数与指数幂的运算
24=16 (-2)4=16
25=32
2,-2叫16的4次方根; 2叫32的5次方根;
………………………………………… 通过类比方法，可得n次方根的定义.
n 2 =
a
2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.
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