专题二.函数双变量问题
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专题一. 函数()1,0log ≠>=a a x y a 的性质
一、 研究函数()1,0log ≠>=a a x y a 的图像和性质 二、 典例分析
例1.设函数()x x f lg =,若b a <<0,且()()b f a f >,求证:1 例2.若函数()x x f 2log =的定义域为[]b a ,,值域为[]2,0,则a b -的最小值为 例3.已知函数()x x f 2log =,正实数n m ,满足n m <,且()()n f m f =,若()x f 在[] n m ,2 上的最大值为2,则=+n m 例4.已知函数()x x f lg =,()0>>b a ,()()b f a f =,则b a b a -+2 2的最小值等于 专题二. 函数()x x x f ln = 的性质及应用 一. 研究函数()x x x f ln =的图象和性质. 二、典例分析 例1. 已知函数()1>=a a y x 的定义域与值域均为[]n m ,()n m <,则实数a 的取值范围为 例2. 事实证明,存在正实数()b a b a <, 使得a b b a =,请你写出所有符合条件的a 的取值 范围 . 例3. 对于函数()x f y =,若存在[]b a ,,当[]b a x ,∈时的值域为[]kb ka ,()0>k ,则称 ()x f y =为“k 倍值函数”. 若()x x x f +=ln 是“k 倍值函数”,则实数k 的取值范围是 例4. 若不等式x e a x >对于任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是 例5. 已知a ex x x x +-=2ln 2有实数解,求实数a 的取值范围 例6.(2014 湖北卷)π为圆周率, 71828.2=e 为自然对数的底数.求 33,3,,,3,ππππe e e e 这六个数的最大数与最小数. 专题三. 函数()() x x x f a ±+=1log 2的性质 一、研究函数()( ) 1ln 2++=x x x f 的图像和性质 二、典例分析 例1. 求函数()() []2,2,1ln 2-∈++=x x x x f 的最大值和最小值. 例2. 函数()( ) []k k x x x x f ,,1ln 2-∈++=,0>k 的最大值和最小值分别为M 和m , 则=+m M 例3. 判断函数()() 1 1 31ln 2 +++++=x x e e x x x f ,[]()0,>-∈k k k x 的最大值和最小值分别为M 和m ,则=+m M 例4. 判断函数()() 1391ln 2+-+=x x x f ,则()=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+21lg 2lg f f 例5.(2015全国卷I )若函数()() 2ln x a x x x f ++=为偶函数,则=a 例6. 设函数()() 32 11ln 2 +-+=x e x x f x ,[]()0,>-∈t t t x ,若函数的最大值是M ,最小值是m ,则=+m M 例7. 设函数()( ) 1log 223++ +=x x x x f ,则对任意实数b a ,, “0≥+b a ”是“()()0≥+b f a f ”的 . (填“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”或“既不充分也不必要条件”) 专题四. 双变量问题 实例1. 2016届高三月考雅礼卷(六) 21. 设函数()x a x x x f ln 1 -- =. (1)当1=a 时,求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程; (2)若函数()x f 在定义域上为增函数,求实数a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若函数()e x x x h 1 ln --=,[]e x x ,1,21∈∃使得()()21x h x f ≥成立,求实数a 的取值范围. 实例2. 2016年附中七(2016年3月) 12. 已知函数()()0ln >- =a a x x x f ,若R x ∈∃0,使得[]2,11∈∀x 都有()()01x f x f <,则实数a 的取值范围是( ) ()1,0.A ()2,1.B ()+∞,2.C ()()+∞,21,0. D 实用标准文案 【拓展训练】 1.已知函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+≤≤+-=1 2 1,1210,12161 3x x x x x x f 和函数()()016sin >+-⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=a a x a x g π 若存在[]1,0,21∈x x ,使得()()21x g x f =成立,则a 的取值范围是 拓展1:“存在=存在”型: 2. 已知函数()x x x f 2- =和函数()()0252 cos >-+=a a x a x g π. 若[]2,11∈∀x ,[]1,02∈∃x ,使得()()12x f x g =,则a 的取值范围是 3. 设函数()32 3 --=x x x f ,()x x x a x g ln += ,如果⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡∈∀2,21,21x x , 都有()()21x g x f ≤成立,求a 的取值范围. 若2211,D x D x ∈∃∈∃,使得()()21x g x f = Φ≠⇔B A 其中A 为函数()x f 在1D 上的值域, B 为函数()x g 在2D 上的值域. 拓展2:“任意=存在”型 2211,D x D x ∈∃∈∀,使得()()21x g x f =B A ⊆⇔, 其中A 为函数()x f 在1D 上的值域,B 为函数()x g 在2D 上的值域. 拓展3:“任意()≤≥任意”型 对2211,D x D x ∈∀∈∀都有()()21x g x f >成立 ()()max min x g x f >⇔()()max x g x f >⇔()()x g x f >⇔min 推广:对2211,D x D x ∈∀∈∀都有()()k x g x f >-21 ()()k x g x f >-⇔max min ()()[]k x g x f >-⇔min 21