时间序列中的ARMA模型PPT课件

3. AR(p)过程的特征
E ( Y t ) = c + 1 E ( Y t - 1 ) + 2 E ( Y t - 2 ) + ...+ pE(Yt-p)+E(vt)
E ( v t ) =0， Y t、 Y t-1 、 Y t-2 、 . . . Y t-p的无条
件期望是相等的，若设为u，则得到 :
(L)Yt=c+vt 其中
(L )= 1 -1 L -2 L 2 -...-p L p
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ARIMA模型的概念
2. AR(p)过程平稳的条件
如果特征方程：
1 -1 Z - 2 Z 2-...-p Z p0
的根全部落在单位圆之外，则该AR(p)过程是 平稳的
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ARIMA模型的概念
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ARIMA模型的概念
3.ARMA(p, q)过程的特征
1）E(Yt)=1(1c2...p)
2）ARMA(p, q)过程的方差和协方差
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ARIMA模型的概念
四. AR、MA过程的相互转化
结论一：平稳的AR(p)过程可以转化为一个MA(∞)过程， 可采用递归迭代法完成转化
Y t = c + 1 Y t - 1 + 2 Y t - 2 + . . . + p Y t - p + 1 t - 1 + 2 t - 2 + . . . + q t - q + t
其中 t 为白噪音过程。
若引入滞后算子，可以写成
(L )Y t= c+ (L )t
其中 (L )= 1 -1 L -2 L 2-...-p L p
(L )= 1 +1 L +2 L 2 ...q L q
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ARIMA模型的概念
2. ARMA过程平稳性的条件
ARMA过程的平稳性取决于它的自回归部分。 当满足条件：
1-1Z -2Z 2-...-p Z p0
特征方程的根全部落在单位圆以外时， ARMA(p,q)是一个平稳过程。
对于任意的，MA(q)是平稳的。
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ARIMA模型的概念
二. 自回归（AR）过程 1.自回归（AR）过程表示为：
Y t = c + 1 Y t - 1 + 2 Y t - 2 + . . . + p Y t - p + v t
其中为 v t 为白噪音过程
引入滞后算子，则原式可写成
自相关函数记为ACF(j) 。
②偏自相关函数
偏自相关系数 * j 度量了消除中间滞后项影响
后两滞后变量之间的相关关系。偏自相关函数 记为PACF(j)
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ARMA模型的识别
③自相关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数和偏自相关函数的联系
*1= 1
*2=(2-21)(121)
2阶以上的偏自相关函数计算公式较为复 杂，这里不再给出。
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Box-Jenkins方法论
Box-Jenkins方法论 的步骤：
步骤1：模型识别 步骤2：模型估计 步骤3：模型的诊断检验 步骤4：模型预测
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三、ARMA模型的识别、估计、诊断、预测
(一).ARMA模型的识别
1. 识别ARMA模型的两个工具：
自相关函数(autocorrelation function,简记为 ACF）；
ARMA模型的概念和构造
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一、ARIMA模型的基本内涵
一、ARMA模型的概念
自回归移动平均模型（autoregressive moving average models,简记为ARMA模 型），由因变量对它的滞后值以及随机 误差项的现值和滞后值回归得到。
包括移动平均过程（MA）、自回归过程 （AR）、自回归移动平均过程 （ARMA）。
……
p = 1p - 1 +2p - 2 + ...+p0
将上述p+1个方程联立，得到所谓的Yule-Walker方程
组，共p+1个方程，p+1个未知数，得出AR（p）过程
的方差及各级协方差。
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ARIMA模型的概念
三. 自回归移动平均（ARMA）过程
1. ARMA过程的形式
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ARMA模型的识别
2. MA、AR、ARMA过程自相关函数及偏自相关函数 的特点
( L ) = 1 +1 L +2 L 2 ...q L q
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ARIMA模型的概念
2.MA（q）过程的特征
1. E(Yt)=u
2. var(Yt) (11222...q2) 2
3.自协方差
①当k>q时 k ＝0
②当k<q时 k = (k 1k + 1 2k + 2 ... qq - k )2
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ARIMA模型的概念
一. 移动平均过程
1. 移动平均（MA）过程的表示： Y t = u + t + 1 t - 1 + 2 t - 2 + . . . + q t - q
其中u为常数项，为白噪音过程 引入滞后算子L，原式可以写成:
q
Yt=u+ iLit+t 或者 Yt=u+(L)t i=1
偏自相关函数(partial autocorrelation function,简 记为PACF)
以及它们各自的相关图（即ACF、PACF相对于
滞后长度描图）。
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ARMA模型的识别
2. 自相关函数和偏自相关函数的概念
①自相关函数
过程 Y t 的第j阶自相关系数即 j j 0 ，
c u=
1(12...p)
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ARIMA模型的概念
Y t - u = 1 ( Y t - 1 - u ) + 2 ( Y t - 2 - u ) + . . . + p ( Y t - p - u ) + v t
0=11+22+...+pp+2
1 = 10 +21 + ...+ pp - 1
结论二：特征方程根都落在单位圆外的 MA(q)过程具 有可逆性
平稳性和可逆性的概念在数学语言上是完全等价的， 所不同的是，前者是对AR过程而言的，而后者是对 MA过程而言的。
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二、Box-Jenkins方法论
建立回归模型时，应遵循节俭性 (parsimony)的原则
博克斯和詹金斯(Box and Jenkins)提出了 在节俭性原则下建立ARMA模型的系统 方法论,即Box-Jenkins方法论