平面向量的数量积公开课一等奖优秀课件

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跟踪训练1 已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b； (3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积. 解 (1)当a∥b时，若a与b同向， 则a与b的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12. 若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.
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填要点·记疑点
2.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量 |a||b|cos叫θ 做a 与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b，|co其s θ中 θ 是 a 与b的夹角. (2)规定：零向量与任一向量的数量积为0. (3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向 的投影是 |a|cos θ ，向量b在a方向上的投影是 |b|cos θ .
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思考2 对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积( 或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ，那么a·b的运算结果是向量还是数 量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？ 答 a·b的运算结果是数量.
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3.数量积的几何意义 a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向 上的投影 |b|cos θ 的乘积.
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探究点一 平面向量数量积的含义
思考1 如图，一个物体在力F的作用下产生位 移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的 功W是多少？ 答 W＝|F||s|cos θ.
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∴cos θ＝|aa|·|bb|＝6－×93＝－12. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 反思与感悟 (1)理清“谁在谁上”的投影，再列方程，将条件转 化解决. (2)注意数量积公式的变形式的灵活应用.
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|a＋b|＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2 ＝ 1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1.∴2a－|ab＋·ba|＋b＝12.
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探究点二 投影
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思考2 根据投影的概念，数量a·b＝|a||b|cos θ的几何意义如何？ 答 数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积，或 等于b的模与a在b方向上的投影|a|·cos θ的乘积.
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探究点三 平面向量数量积的性质
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解 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×12＝225. |a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a·b＋|b|2 ＝ 25＋2×225＋25＝5 3. |a－b|＝ a－b2＝ |a|2－2a·b＋|b|2 ＝ 25－2×225＋25＝5.
第二章 平面向量
§2.4 平面向量的数量积
CONTENTS
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明目标、知重点
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s 所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂 直.
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|a|cos θ＝－3，
解
∵ |b|cos
θ＝－32，
∴aa||ba··bb|| ＝＝－－332，，
－|b9| ＝－3， 即
－|a9| ＝－32，
，∴|a|＝6， |b|＝3.
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思考4 向量的数量积与数乘向量的区别是什么？ 答 向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一 个向量，既有大小，又有方向.
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反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0° ，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a|·|b|·cos θ，要特别 注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也 不能省去.
0·a＝0.
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思考3 对于两个非零向量a与b，夹角为θ，其数量积a·b何时为正 数？何时为负数？何时为零？ 答 当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当θ＝90° 时，a·b＝0. 小结 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的 数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角 ，θ∈[0，π].规定：零向量与任一向量的数量积为0.
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1.两个向量的夹角 (1)已知两个非零向量a，b，作 O→A＝a，O→B ＝b，则 ∠AOB 称作向 量a和向量b的夹角，记作 〈a，b〉，并规定它的 范围是 0≤〈a，b〉≤. π 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉 ＝(2)〈当〈b，a，a〉b〉.＝π2 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 a⊥b .
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反思与感悟 此类求解向量的模问题一般转化为求模平方，与向 量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方.
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＝－2－e1·e2＋1＝－2－12＋1＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ32，