专题1 “算法算理”之数与式

专题1 “算法算理”之数与式知识要点

1．实数的计算，代数式的化简与相关恒等变形．

2．在代数式的化简和变形中，注意整体思想的灵活应用．3．在找规律问题中，理解从特殊到一般的数学思想．

【知识点拨】

1．相关知识点：

00

a,a

a,a

a,a

>

⎧

⎪

===

⎨

⎪-<

⎩

；

⑵01

a=，

1

n

n

a

a

-=，其中a≠0；

⑶m n m n

a a a+

⋅=，()n m mn

a a

=，()n n n

ab a b

=其中m，n为正整数．

⑷()222

2

a b a ab b

±=±+，()()22

a b a b a b

+-=-

2．掌握与理解：

⑴关注公式互逆应用；⑵整式乘除与因式分解之间的关系；⑶算理算法，数与式化简与变形．典例赏析

类型一实数的计算

例1（2017•

1

1

2

2

-

⎛⎫

- ⎪

⎝⎭

【分析】先根据运算法则进行化简，再进行加减运算．

【解】原式＝

22=

【点评】本题考查二次根式的运算、绝对值的化简、负指数幂的运算、合并同类项及二次根式等知识点，考查学生的基本运算能力．

拓展与变式1（2017•福建改编）已知A，B，C是数轴上的三个点，点A，B表示的数分别是1，3，如图1－1所示．若AC＝3AB，则点C表示的数是________．

拓展与变式2（2017•

南平质检）若2

a b

<<，且a、b是两个连续整数，则a＋b的值是________．

拓展与变式3（2017•福州质检改编）若m，n均为正整数，且2232

m n

⋅=，()264

n

m=，则m－n的值为________．

拓展与变式4三进制数201可用十进制数表示为210230313290119⨯+⨯+⨯=⨯++=；二进制数a ＝221，二进制数b ＝11001，则a 与b 的大小关系为（ ）． A ．a ＞b B ．a ＝b C ．a ＜b D ．不能确定

类型二 代数式的化简

例2（2017•福建）先化简，再求值：2111a

a a ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭

，其中1a ．

【分析】“1”可化为“a

a

”，21a -可因式分解为()()11a a -+，结果要化为最简． 【解】原式＝

211

11

a a a a a -⋅=

-+．

当1a =

=

【点评】考查分解因式、整式和分式的相关性质和运算、运算律等知识点，也考查运算算理

的理解与算法优化．

拓展与变式5（2017•宁德质检）如图1－2所示的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是（ ）．

A ．①：同分母分式的加减法法则

B ．②：合并同类项法则

C ．③：提公因式法

D ．④：等式的基本性质

拓展与变式6

⑴化简：()()

22m n m mn n -++=________． ⑵运用⑴化简：()32282

422z z z z z

-+⋅-+-

计算：

34a a b

a b a b

++

++ 解：原式=

34a a b

a b +++……①

=44a b

a b

++……② =

()

4a b a b ++……③ =4……④

图1-2

类型三 代数式的其他恒等变形

例3若实数a 满足22410a a --=，则2481a a -+=________．

【分析】观察题目发现()

2248224a a a a -=-，从而可运用整体代入法简便解题． 【解】当22410a a --=，即2241a a -=时，

()22482241213a a a a -=-+=+=．

【点评】考查整式的相关性质和运算，运用整体代入法求值，即“整体思想”的应用．

拓展与变式7已知22540x xy y -+=，x y ≠，求3x y

x y +-的值．

拓展与变式8若实数c 满足1

2c c

-=，求322742018c c c -+-的值． ．

类型四 找规律问题

例 4 （2017•漳州质检改编）定义：()

()1

11a a --≠叫做

a 的影子数．如：3的影子数是

()

1

1132--=-．已知11

2

a =-，2a 是1a 的影子数，3a 是2a 的影子数，…，依此类推，则2018

a 的值是________．

【分析】柔肠寸断类推发现规律，41a a =，52a a =，63a a =，…，则有20182a a =． 【解】112a =-，223

a =，33a =，412a =-，…，201822

3a a ==．

【点评】实数的运算法则与代数式的运算法则是相通的，从数字的规律到列式子的规律，是从特殊到一般的进一步的抽象过程，能用含n 的式子表示其中的规律，才算真正理解这个问题．

拓展与变式9 计算⑴

1111

12233420172018

++++

⨯⨯⨯⨯…；