1误差的基本概念汇总

测量过程四要素：测量对象；测量单位；测量方法；测量精度
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1.3 误差的概念
三 误差的表示方法 1 绝对误差
误差 绝对误差可为正值或负值 绝对误差的表现形式： 示值误差＝示值－真值 修正值＝－误差＝真值－测量值 偏差＝实际值－标称值 测量值
x x0
真值
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1.3 误差的概念
2 相对误差
时
有效位数由a确定，如 二者的精度是不同的。
2.40 103
和
2.4 103
分别表示为有3位和2位有效数字，
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1.4 有效数字与数值运算
三、数据运算规则
（1）多个近似数（不超过10个）作加、减运算时，小数位数较多的近似数，只需 比小数位数最少的近似数多保留一位。而计算结果的小数位数，应与小数位数最 少的那个近似数相同。 例如： 1425.4 343.1 11.243 9.7427
绝对误差
相对误差

真值

x0


x
测得值
（1） 相对误差一般用百分比（％）表示；
（2） 对于不同量值，相对误差越小，测量精度越高。
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1.3 误差的概念
例1.1 多级弹道导弹的射程为L1＝1000km，其射击偏离预定点的误差为δ1 ＝0.1km；而在射击场，优秀射手能在距离L2=50m远处，射击靶心的误 差为δ2＝ 2cm的，试比较哪一个射击精度高。
解：
引用误差 0.5 100% 0.33％ 150
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1.3 误差的概念
四 精密度、正确度、精确度（准确度）
名词
精密度
正确度 精确度
解
释
意
义
在一定的条件下，进行多次测量，所得测量 表示随机误差的大小程度 结果彼此之间符合的程度 （又叫随机不确定度） 在规定的条件下，实验中所有的系统误差的 表示系统误差的大小程度 综合大小
预知的方式变化。
测量次数足够多时，随机误差服从一定的统计分布规律
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1.3 误差的概念
系统误差：
在同一测量条件下，多次重复测量同一量值，测量误差的绝对值和正负符号保持不 变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差。
粗大误差：
粗大（疏忽）误差：由于测量者的疏忽大意，或环境的突然变化而引起的测量误 差。
3.142 2.4 3.14 2.4 7.536 7.5
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1.4 有效数字与数值运算
（4）在近似数乘方或开方运算时，计算结果从第一个不是零的数字起，
应保留的数字和原来近似数的有效数字的位数相同。 （5）在三角函数的运算中，函数值的位数应随角度误差的减小而增多， 当角度误差为10“，1“，0.1”及0.01“时，对应的函数值的位数为5,6,7及8位。 （6）作对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位或（n+1）位对数表。 （7）如运算所得的数据还要进行再运算，则该数据的有效位数可比应截取的位数 暂时多保留一位数字。 （8）表示误差范围的参数，如测量不确定度、标准差，其有效位数一般为一 位，最多为两位。
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1.4 有效数字与数值运算
数据修约的“四舍五入”的方法法： (1) 拟舍弃的数字最左一位小于0.5时，则舍去； (2)拟舍弃的数字最左一位大于0.5时，则进一； (3)拟舍弃的数字最左一位等于0.5时，则看“5”前面的数字：为奇数时则去5进1； 为偶数时则去5不进。 例：将下列测量结果修约为4位有效数。 原有数据 舍入后数据 3.14159 3.142 2.71729 2.717 4.51050 4.510 3.21550 3.216 6.378501 6.379 7.691499 7.691 5.436 5.4360 1 a 10 ，这 a 10n 形式 工程上对近似数右边带有若干个“0”的数字，常写成
x y 1 x 10001 对应解为 x 1.0001y 0 y 10000 (a )
x y 1 x 9999 对应解为 x 0.9999y 0 y 10000
( b)
两个方程组仅有一个系数相差万分之二，但所得结果差异极大。
是贫乏和不深入的。 开尔文
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1.1 计量学的内容与作用
钱学森 (1911-2010 )
信息技术包括测量 技术、计算机技术 和通信技术，测量 技术是信息技术的 关键和基础。
钱学森
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1.1 计量学的内容与作用
王大珩(1915- )
仪器仪表是工业生产 的“倍增器”，是高 新 技术和科研的“催化 剂”，在军事上体现 的是“战斗力”。
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环境误差
各种环境因素与标准状态不一致而 引起的误差
1.3 误差的概念
六 研究误差的目的
（1） 分析误差的性质和产生的原因，采取相应的措施，以便从根源上 消除误差，或将误差减小到最低限度； （2）正确计算和处理测量数据，尽可能提高测量结果的精确度。正确表
达测量结果，以适应各方面的需求和交流；
（3）合理地安排测量过程，正确地设计或选用计量器具和测量方法，以
测量结果中删去粗大误差后，测量值与真值 表示系统误差与随机误差综 的一致程度 合后，测量的准确程度
精密度
正确度
精确度（准确度）
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1.3 误差的概念
五 测量误差的来源 序号 测量误差来源 解 释
标准器具的误差：标准器具不可避 免地含有一定的误差从而引起的误 差
误差种类
系统误差
1
测量装置误差
测量装置的误差：仪器仪表、附件、 系统误差;偶然误 安装、定位、测力等引起的误差 差 2 3 方法误差 人员误差 测量方法不完善引起的误差 测量者操作或读数产生的误差 系统误差 偶然误差；粗大误 差；系统误差 系统误差;偶然误 差
1425.4 343.1 11.24 9.74 1789.48 1789.5
（2）若参加运算的各数属于同一量级，且第一位数的大小相差甚大时，为了避免 第一位数小的那个数的相对误差过大，可将其有效数多保留一位。 （3）两个近似数作乘、除运算时，有效位数较多的近似数，比有效位数少的多保 留一位，计算结果应保留与有效位数少的那个数相同的有效位数。 例如：
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1.4 有效数字与数值运算
有效数字：一个数据，从第一个非“0”的数字起，到（包括）最后一位唯一不确 定的数字为止所有的数字。 3.1416, 0.21173, 280.00 均为五位有效数字； 0.00134，134, 1.34 均为三位有效数字。 在判断有效数字时，要特别注意“0”这个数字: (1) 它既可以是有效数字，又可以不是有效数字。 例如 0.00314的前面的三个0均不是有效数字；280.00的后面的三个0均是 有效数字。 (2) 是有效数字的0，决定该数的精确度，不可随意增加或减少。 例如 280.00的误差的绝对值为0.005； 280的误差的绝对值为0.5
求在满足测量精度要求的前提下，提高测量效果，降低测量成本。
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1.4 有效数字与数值运算
一 近似值
物理量大多含有误差；工程问题中，由于参与计算的值为近似值；避免盲目追
求不切实际的没有必要的高精确；计算效率提高
二 有效数字和有效位数
26.428mm
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1.4 有效数字与数值运算
例如，下面的方程组（a）和（b）及其对应解为
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作业
费业泰（第5版）
P8:1-5;1-6
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讨论
？
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误差理论与数据处理
第1章 误差的基本概念
华中科技大学机械学院 2011
1 计量学概述及误差的基本概念
本章主要内容
1.1 计量学的内容与作用
1.2 关于测量的一些概念 1.3 误差的概念
1.4 有效数字与数值运算
2
1.1 计量学的内容与作用
什么是计量学
计量学是一门研究测量、保证测量统一和准确的科学。
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1.1 计量学的内容与作用
门捷列夫 (1834-1907)
科学始于测量,没有测量， 便没有精密的科学。
门捷列夫
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1.1 计量学的内容与作用
开尔文（1824-1907）
当你能够测量你所关注的事 物，而且能够用数量来描述他 的时候，你就对其有所认识； 当你不能测量他，也不能将其 量化的时候，你对他的了解就
计量学的作用
(1) 信息收集； (2) 发现物理定理：自由落体定理 (3) 进一步完善理论：光量子能量守恒 (4) 计量与测试永远是促进科学技术和工业进步的重要因素；
(5) 计量是精密加工的基础，是产品质量的保护神； (6) 计量测试是认识客观世界的有力工具：冥王星的发现
没有计量测试，就没有现代科学
按实验数据的处理方式，测量方法可分为直接测量、间接测量和组合测量。
1 直接测量
结果
y=x
测量值
例如：直尺测长度；电子秤称重
0
1
2
3
4
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1.2 关于测量的一些概念
2 间接测量
函数 结果
y = f(x)
测量 值
例如：用弦长弓高法测量圆弧的直径
3 组合测量
f1 ( y1 , y2 , yn ) x1 0 f 2 ( y1 , y2 , yn ) x2 0 f n ( y1 , y2 , yn ) xn 0
通过解方程，从而求出待求量的值
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1.3 误差的概念
一 误差的含义
误差 测量值
x x0
真值
误差是评定精度的尺度，误差愈小表示精度愈高。 真值可望不可即；一般用算术平均值或量值精度足够高的测量值来代替真值
二 误差的类型 随机误差：
在同一测量条件下，多次重复测量同一量值，测量误差的绝对值和正负符号以不可
主要内容
(1) 建立计量单位及其基准、标准，基准和标准的复制、保存和传递。 (2) 保证国家内部和国际间计量量值的统一性。 (3) 拟定测量方法，设计器具、工具，以便实施测量。 (4) 分析和估计测量结果的不确定度，并设法提高其准确度。
廿六年，皇帝尽 并兼天下诸侯， 黔首大安，立号 为皇帝，乃诏丞 相状、绾，法度 量则不壹歉疑 者，皆明壹之。
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1.2 关于测量的一些概念
一 测量 物理量：可以用数值来评价（表示）其物质特性（状态、运动等）的量，称为
物理量。
测量：用实验方法，将物理量与作为单位量的某量值相比较，并求出其比值的过程
称之为测量。
测量的数学模型
L = q· u
被测量 值
比值 测量单位
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1.2 关于测量的一些概念
二 测量结果
测量结果：由测量所获得的量值叫测量结果。 组成：比值＋测量单位＋误差，三大部分组成。 三 测量方法
王大珩等
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1.1 计量学的内容与作用 卫星上天离不开测 控与计量技术作保障， 半导体芯片工业生产 需要亚微米级乃至纳 米级的高精密光刻技 术，纳米材料和纳米 测量，精密的激光制 导和光电对抗技术等， 以及人民日常生活密 切相关的生物基因研 究也都离不开精密的 计测技术。
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1.1 计量学的内容与作用
解：两种射击方法的相对误差为
0.1 0.01% 1000 0.02 2 0.04% 50
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1 ，故弹道导弹的射击精度比优秀射手的精度高 2
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1.3 误差的概念
3 引用误差
引用误差 示值误差 100% 测量范围上限
例如：某电流表，其测量最大值为 150mA，现测量的绝对误差为0.5mA， 求测量的引用误差。