5-2 电子的自旋

(58)
电子的态空间是空间波函数的态空间 我们将 改记为
与自旋态空间
s 1/ 2
的张量积。为了明确起见，
r
，下标 r 表示与空间位置自由度有关的态空间。如果在
s 1/ 2
r
ˆ 的本 中选择 r
征矢量组 r 为
r
为基，
中选择

,
为基，则张量积空间
,r
r

s 1/2 中的基可以选
与
s 1/2
各自的基矢量的张量积
r
基(59)的正交归一关系为

(59)

封闭性关系为
r r r r r
r


r r r r r r r r r r 0
(60)
将(23)式代入(22)式，可得
1 1 ˆ z , ˆ x ˆ z ˆx ˆ x ˆz 2i 2i
(23)
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ,ˆ 2 i
x y x z
1 ˆ z ˆx ˆ x ˆ z ˆx 2i 1 1 2 2 ˆ x ˆ z ˆx ˆx ˆ z ˆ z ˆx ˆ x ˆ z ˆx 2i 2i 1 2 2 ˆ z ˆx ˆx ˆz 2i
1 1 , ms , ms 2 2
(30)
为了简化记号，引入

在文献中，
1 1 , , 2 2

1 1 , 2 2
(31)ຫໍສະໝຸດ Baidu
, 也常被记为 , 、或者 , ，等等。
ˆ z 的本征矢量，本征值分别为1, 1 , 也是
由(16)可知
ˆz , ˆz
以
(32)

,
为基的表象称为 S
z
表象或者 z 表象。 z 表象的基矢量的正交归一关系为
a 1,
而封闭性关系为
0
(33)
ˆ I s
对于
s 1/2
(34)
中的任意态矢量 ，可以将其展开为
c1 c2
其中
(35)
s。 s的
ˆ 的共同本征矢量 s, m ˆ 与S 基可以取为 S z s
2

。对于自旋为 s 的粒子，基矢量 s, ms
一共有
2s 1 个，因此 s 是个 2s 1 维空间。这是个有限维空间，性质非常简单。 s 中基矢量的正
交归一关系和封闭性关系为
ms ms s, ms s, ms
0 1 Sx , 2 1 0 0 i Sy 2i 0
(51)
ˆ ,S ˆ ,S ˆ 和 , 的矩阵形式，立刻可以验证(47)式。 利用 S x y z
根据(16)式和上述结果，容易得到泡利算符的矩阵形式，称为泡利矩阵
x , y 1 0 i

(54)
1 r, t r, , t , 2 r, t r, , t 2 2
在某些特殊情形，电子的波函数中的空间部分和自旋部分具有分离变量的形式


(55)
r , t c1

2
c
(56)
矩阵形式为
(40)

则 与 的内积为
d1 d2
(41)
d1 , d2 1 d1c1 d2c2
c c2
(42)
4. 自旋算符的矩阵形式
ˆ ,S ˆ ,S ˆ 的矩阵形式记为 S , S , S 。首先， S 是个对角矩阵，对角 在 S z 表象中，将 S z x y z x y z
(45)
5-2 电子的自旋
~6~
ˆ 1 ,m S s 2
利用记号(31)，可以得出
1 1 1 ms ms 1 , ms 1 2 2 2
ˆ S
(46)
ˆ 0, S ˆ S
ˆ ,S ˆ 的矩阵元为 类似地， S
x
ˆ x ˆz
(24)
利用(18)式，可知(24)右端为 0，因此
ˆ , ˆ ˆ ˆ
x y x
y
ˆ y ˆx 0
(25)
类似地，可以证明
ˆ
y
ˆz ˆ y ˆz ˆ z ˆy 0 ,
(26) (27)
ˆ z , ˆx ˆ z ˆx ˆ x ˆz 0
根据角动量理论
s 0,
对于固定的 s ， ms 有 2s 1 个取值
1 3 , 1, , 2 2
(5)
ms s, s 1,
, s
(6)
每一种粒子的自旋对应唯一一个 s 值，称为自旋为 s 的粒子。自旋为 0 的粒子也称为无自旋 粒子。 粒子的自旋状态也用态矢量来描述， 自旋态矢量的集合构成自旋态空间， 记为
(7)
ms s

s
ˆ s, ms s, ms I s
(8)
ˆ 是 I s
s 中的单位算符。
5-2 电子的自旋
~2~
对于
s 中的任意矢量
，可以用基 s, ms 展开为

ms s

s
s, ms s, ms
(9)
根据(3)式可知
ˆ 2 s s 1 S
c1 ,
c2
(36)
根据习惯，我们将态矢量的分量排成列矩阵。将态矢量 , , 对应的列矩阵分别记为
5-2 电子的自旋
~5~
，由此 , , （不再加方框）
, 0
展开式(35)也可以写为矩阵形式
1
, 1
0
(1)
ˆ2 ˆ S , Si 0, i x, y, z
(2)
ˆ 的本征值分别记为 s s 1 ˆ 与S 将S z
2
2
和 ms ，其共同本征矢量记为 s, ms
2
ˆ 2 s, m s s 1 S s
s, ms
(3) (4)
ˆ s, m m s , m S z s s s
(48)
(49)
和 ms 为行列指标，并按照 由此可得二者的矩阵形式，以 ms
0 1 S , 0 0
1 1 , 的次序排列 2 2
(50)
0 0 S 1 0
ˆ ,S ˆ 与S ˆ ,S ˆ 的关系，可得 当然也可以利用(47)式直接得到，这是一回事。根据 S x y
S x , S y , S z 和 x , y , z 都是无迹厄米矩阵。
0 1
0 i 1 0 , z 0 0 1
(52)
5. 电子的波函数
由于多了一个自旋自由度，电子的波函数除了依赖于 r 之外，还依赖于自旋的信息，将
ˆ 的本征值记为 s ，根据前面的讨论， s m ， m ，因此在 t 时刻电子的波函数 S s z z s z 2
比如，当电子处于 sz
2
的状态时

当电子处于 sz
1 r , t 1 1 r, t 0 0
(57)
2
的状态时

6. 电子的态空间

0 2 r, t 1 2 r, t 0
5-2 电子的自旋
~1~
5-2 电子的自旋
Equation Chapter 5 Section 2
1. 自旋角动量
ˆ 表示，三个分量算符 S ˆ ,S ˆ ,S ˆ 遵守角动量算符的对易关系 自旋角动量算符通常用 S x y z
ˆ ˆ ˆ S i , S j i ijk Sk
并满足
ˆ x ˆ y ˆ y ˆ x i ˆz ˆ y ˆ z ˆ z ˆ y i ˆx ˆ z ˆ x ˆ x ˆ z i ˆy
(18)和(29)式是讨论泡利算符是常用的代数恒等式。 (29)
3. 电子的自旋态空间
s 1/2
ˆ 的共同本征矢量 是一个二维空间，基矢量可以选为 S z
因此在
s中
2

(10)
ˆ 2 s s 1 S
2
ˆ I s
(11)
ˆ 的本征值就足以确定唯一一个基矢量 s, m ，因此单独 ˆ 经常省略不写。由于 S 单位算符 I s z s ˆ 就能构成 空间的 CSCO。 S s z
2. 电子的自旋算符
电子是自旋为
1 1 1 1 的粒子， s ，因此 ms , 。根据(11)式可知 2 2 2 2 ˆ2 3 S 4
应当写为
r , sz , t
由于 s z 只有两个取值，所以通常将两个分量按照 ms
(53)
2
, 的次序排成列矩阵 2
5-2 电子的自旋
~7~

称为二分量波函数，其中两个分量分别为
1 r , t r , t 2
ˆ 的本征值 元为 S z
1 0 Sz 2 0 1
引入磁量子数 ms 的升降算符
(43)
ˆ S ˆ iS ˆ , S x y
根据角动量理论，
ˆ S ˆ iS ˆ S x y
(44)
ˆ 1 ,m S s 2
1 1 1 ms ms 1 , ms 1 2 2 2
此外，根据(15)式，可知
2 2 ˆ x y z2 I s
(17)
(18)
ˆ 和B ˆ 的反对易子 定义两个线性算符 A
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A , B AB BA
注意，与对易子不同，反对易子并不依赖于两个算符的次序
(19)
ˆ ˆ ˆ ˆ A , B B, A
2
ˆ I s
(12)
再根据(4)式，可知
ˆ 1 ,m m S z s s 2
因此
1 1 , ms , ms 2 2
(13)
2 1 ˆ2 1 , m S , ms z s 2 4 2
(14)
ˆ 和S ˆ 的本征值也只能取 同样道理， S y x
2
，因此在电子的自旋态空间
s 1/2

,
ˆ 0 S
(47)
1 ˆ 1 ,m S , ms s 2 2 1 ˆ 1 ,m S , ms s 2 2
1 1 ms ms 1 ms ,ms 1 2 2 1 1 ms ms 1 ms ,ms 1 2 2
中
ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S x y z
2
4
ˆ I s
(15)
注意(15)式是自旋为
1 时特有的算符恒等式。 2
通常引入泡利算符
5-2 电子的自旋
~3~
ˆ ˆ i , i x, y, z S i 2
根据对易关系(1)，可知
(16)
ˆi , ˆj 2i ijk k
根据(17)和(18)式，可以证明泡利算符满足如下反对易关系
(20)
ˆ ,ˆ 2
i j
ij
ˆ I
(21)
证明：如果 i j ，利用(18)立刻得证。下面设 i j ，比如
ˆ , ˆ ˆ ˆ
x y x
y
ˆ y ˆx
(22)
利用(17)可知
ˆy


ˆ d3r r r r r I
1
c c2
(37)
c1 c2
而展开系数(36)，也可以写为矩阵形式
(38)
c1 † ,
† †
c2 †
(39)
其中 1, 0 ， 0,1 分别是 和 的厄米共轭矩阵。 若另有一个态矢量
d1 d2
由此便证明了反对易关系(21)。 将对易关系(17)和反对易关系(21)相加，可以得到
5-2 电子的自旋
~4~
ˆ i ˆ i ˆ j ij I ˆ ijk k
时，利用(28)式容易得到
(28)
利用这个关系式容易重新得出对易关系和反对易关系。 当 i j 时， (28)式回到(18)式， 当i j