解三角形：三角形中的几何计算
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2
11 2 5 3 1－14 ＝ 14 .
AB AC 在△ABC中，由正弦定理，得sinC＝sinB， 5 3 7× 14 AC· sinC 5 6 ∴AB＝ sinB ＝ sin45°＝ 2 .
类型三 [例3]
三角形中的综合问题 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，
3 2 b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝ (a ＋b2－c2)． 4 (1)求角C的大小； (2)求sinA＋sinB的最大值．
c [例题] 在△ABC 中，C＝3B，求 的取值范围． b
c sinC sin3B [解] 由正弦定理，得 ＝ ＝ ＝ b sinB sinB sinB＋2B sinBcos2B＋cosBsin2B ＝ ＝ cos2B ＋ 2cos2B ＝ sinB sinB 4cos2B－1. c ∵0≤cos B≤1，∴－1≤4cos B－1≤3，∴0< ≤3. b
[点评]
(1)本题考查了余弦定理、三角形面积公式、
三角恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能 力． (2)此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三 角函数公式为工具来综合考查，因此要掌握正、余弦定 理，掌握三角函数的公式和性质．
自我纠错
易错点：忽略三角形中角的限制而导致错误 在解三角形问题时，应注意 A＋B＋C＝180° ，且 A>0° ， B>0° ，C>0° . c [错题展示] 在△ABC 中，C＝3B，求 的取值范围． b
三角形中的几何计算
新知初探
1．几何计算问题 在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha， hb，hc，则
csinB (1)ha＝bsinC＝_______； asinC ； (2)hb＝csinA＝________ bsinA (3)hc＝asinB＝________.
1 bcsinA 1 1 2 (4)S＝2absinC＝2acsinB＝_________.
3．解三角形广泛应用于各种平面图形，如菱形、梯 形、平行四边形、扇形及一些不规则图形，处理时，可通 过添加适当的辅助线，将问题纳入到三角形中去解决．以 三角形为载体借助正、余弦定理还可以解决三角函数的求 值问题．
以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、 最值和优化等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余 弦定理加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量 (如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设 变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．
1 c 2 ∴2<cos B<1，故1<b<3. [反思] 由A＋B＋C＝180° 及C＝3B得出B的取值范
围，不可忽略．
思悟升华
1．解决三角形中计算问题的关键是转化为求三角形中 的边或角，再分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求 出哪些元素．通常情况下，求线段的长转化为求三角形的 边长，求角的大小转化为求三角形的角的大小．
2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理 外，常见的公式还有： (1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； 1 (3)S＝ aha(ha表示a边上的高)； 2 1 1 1 (4)S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA； 2 2 2
abc (5)S＝ 4R (可用正弦定理推得)； (6)S＝2R2sinA· sinB· sinC(R是三角形外接圆半径)； 1 (7)S＝2r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)； (8)S＝ pp－ap－bp－c 1 [p＝2(a＋b＋c)]．
实际所需电线长度约为 1.2AB≈7 425.6(m)．
• 测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、 俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何 知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解 三角形加以解决． • 如图，测量河对岸的塔形建筑AB，A为塔的顶端，B为 塔的底端，河两岸的地面上任意一点与塔底端B处在同一 海拔水平面上，现给你一架测角仪(可以测量仰角、俯角 和视角)，再给你一把尺子(可以测量地面上两点间距离)， 图中给出的是在一侧河岸地面C点测得仰角∠ACB＝α ，请 设计一种测量塔建筑高度AB的方法(其中测角仪支架高度 忽略不计，计算结果可用测量数据所设字母表示)．
[分析]
利用面积公式求角C，再利用三角形的内角和
定理和两角和的正弦公式化简求最大值．
[解]
1 3 (1)由题意可知 absinC＝ ×2abcosC. 2 4
所以tanC＝ 3， π 因为0<C<π，所以C＝3. (2)由已知sinA＋sinB
π 2π ＝sinA＋sin(π－A－3)＝sinA＋sin( 3 －A) 3 1 ＝sinA＋ 2 cosA＋2sinA π 2π ＝ 3sin(A＋6)≤ 3(0<A< 3 )． π 当A＝ 时，即△ABC为等边三角形时取等号． 3 所以sinA＋sinB的最大值为 3.
2 2
[错解分析] 由 A＋B＋C＝180° 及 C＝3B 得出 B 的取值 范围，不可忽略．
[正解]
c sinC sin3B sinB＋2B 由正弦定理，得 ＝ ＝ ＝ b sinB sinB sinB
sinBcos2B＋cosBsin2B 2 2 ＝ ＝ cos2 B ＋ 2cos B ＝ 4cos B－1. sinB ∵A＋B＋C＝180° ，C＝3B， ∴0° <B<45° ，即 2 <cosB<1. 2
2．对于既可用正弦定理又可用余弦定理解的三角形， 用正弦定理计算相对简单，但要根据已知条件中边的大小 来确定角的大小，此时，若选择用正弦定理去计算较小的 边所对的角，可避开分类讨论；利用余弦定理的推论，可 根据角的余弦值的正负直接判断出所求角是锐角还是钝 角，但计算复杂，所以，在使用正、余弦定理解三角形 时，要注意比较它们的异同点，灵活选用定理解题．利用 正、余弦定理不仅能求角的函数值，反过来，还能求角的 大小．
类型一 三角形中的面积计算 [例 1] 在△ABC 中， 已知 b2－bc－2c2＝0， 且 a＝ 6，
7 cosA＝ ，求△ABC 的面积． 8 解：∵b2－bc－2c2＝0.
∴b＝2c或b＝－c(舍去)． 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA， 7 即b ＋c －4bc＝6.
2 2
7 15 2 ∵cosA＝ ，∴在△ABC 中，sinA＝ 1－cos A＝ . 8 8 1 15 ∴S△ABC＝ bcsinA＝ .
三角形中线段长度的计算 在△ABC中，若c＝4，b＝7，BC边上的中线
7 AD的长为 ，求边长a. 2 [分析] 由题目可获取以下主要信息：
①c＝4，b＝7. 7 ②AD为中线且AD＝ . 2 解答本题可先令CD＝DB＝x. 在△ACD和△ACB中，∠ACB是公共角，两次使用余 弦定理，便可求出x.
1．运用三角形面积公式时应注意哪些问题？
提示：(1)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三 角函数的有关公式． (2)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定 理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵 活运用公式． (3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三 角形面积的和．
典例导悟
解析： 方法一：选择水平基线 BC，在 BC 的延长线上取一点 D， 在 D 点测得仰角∠BDA＝β，同时测得 CD 的长度为 a. 在△ADC 中∠DAC＝α－β， 在△ADC 中，由正弦定理 AC DC ＝ ， sin β sinα－β
asin β ∴AC＝ . sinα－β asin β 在 Rt△ACB 中，AB＝AC· sin α＝ sin α. sinα－β 方法二：在 BC 的延长线上找一点 D，使得在 D 点测得仰角∠ADB α ＝2. 又测得 DC 的长为 m. α 在△ADC 中，∠ADC＝ ， 2 α α ∠DAC＝α－ ＝ . 2 2 ∴DC＝AC＝m，
1．在△ABC中，已知C＝60° ，b＝4 高等于( A. 3 C．4 3 ) B．2 3 D．6
3 ，则BC边上的
解析：BC边上的高等于bsinC＝6.
答案：D
2．已知锐角△ABC的面积为3 3，BC＝4，CA＝3，则 角C的大小为( A．75° C．45° ) B．60° D．30°
1 1 解析：由 2 ×BC×ACsinC＝3 3 ，得 2 ×4×3sinC＝ 3 3， 3 所以sinC＝ 2 .所以C＝60° 或120° . 又△ABC是锐角三角形，所以C＝60° .
答案：D
• 求距离问题要注意： • (1) 选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在 的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未 知量放在另一确定三角形中求解． • (2) 确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择 更便于计算的定理．
某单位在抗雪救灾中，需要在 A、B 两地之间架设高压电线，测 量人员在相距 6 000 m 的 C、D 两地(A、B、C、D 在同一平面上)，测得 ∠ACD＝45° ，∠ADC＝75° ，∠BCD＝30° ，∠BDC＝15° (如图)，假如考 虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是 A、B 距离的 1.2 倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7， 7≈2.6)
[解]
如图所示，∵AD 是 BC 边上的中线，
∴可设 CD＝DB＝x， 则 CB＝a＝2x. 7 ∵c＝4，b＝7，AD＝ ， 2
在△ACD中， 72 7 ＋x －2 有cosC＝ ， 2×7×x
2 2
72＋2x2－42 在△ABC中，有cosC＝ . 2×7×2x 72 7 ＋x －2 72＋2x2－42 ∴ ＝ . 2×7×x 2×7×2x
与b＝2c联立，得b＝4，c＝2，
[点评]
本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角
形面积公式的应用．求三角形的面积，要充分挖掘题目中 的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题， 要注意方程思想在解题中的应用．另外也要注意三个内角 的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误．
类型二 [例2]
答案：B
3．在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝3:5:7，且周长为30， 则S△ABC＝( 15 3 A. 14 C．13 3 ) 13 3 B. 14 D．15 3
Hale Waihona Puke Baidu
解析：由正弦定理知，sinA:sinB:sinC＝a:b:c＝3:5:7. 设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k＞0)， 又a＋b＋c＝30， ∴k＝2，即三边长为a＝6，b＝10，c＝14. b2＋c2－a2 13 3 3 ∴cosA＝ 2bc ＝14，sinA＝ 14 . 1 1 3 3 ∴S△ABC＝ bcsinA＝ ×10×14× ＝15 3. 2 2 14
在 Rt△ACB 中，AB＝ACsin α＝msin α.
方法三：如图，在河的这岸抽取一点 D，测得 CD＝b，并测∠BCD ＝γ，∠BDC＝β. 在△BCD 中，∠CBD＝π－γ－β. BC CD 由正弦定理得 ＝ ， sin∠BDC sin∠CBD CD· sin∠BDC b· sin β ∴BC＝ ＝ . sin∠CBD sinβ＋γ b· sin βtan α 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan ∠ACB＝ . sinβ＋γ
解析： 在△ACD 中，∠CAD＝180° －∠ACD－∠ADC＝60° ， CD＝6 000 m，∠ACD＝45° ， 根据正弦定理 AD＝ CDsin 45° ＝ sin 60° 2 CD， 3
在△BCD 中，∠CBD＝180° －∠BCD－∠BDC＝135° ， CD＝6 000 m，∠BCD＝30° ， CDsin 30° 2 根据正弦定理 BD＝ sin 135° ＝ 2 CD. 又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90° ， 根据勾股定理有 AB＝ AD2＋BD2＝ 2 1 ＋ CD＝1 000 42(m)， 3 2
2 2
9 解得x＝2. ∴a＝2x＝9.
变式训练2
如图，在△ABC中，已知B＝45° ，D是BC
边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．
解：在△ACD中，由余弦定理，得cosC＝ AC2＋CD2－AD2 72＋32－52 11 ＝ ＝ . 2AC· CD 2×7×3 14 ∵C为三角形的内角，∴C∈(0，π)， ∴sinC＝ 1－cos C＝
11 2 5 3 1－14 ＝ 14 .
AB AC 在△ABC中，由正弦定理，得sinC＝sinB， 5 3 7× 14 AC· sinC 5 6 ∴AB＝ sinB ＝ sin45°＝ 2 .
类型三 [例3]
三角形中的综合问题 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，
3 2 b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝ (a ＋b2－c2)． 4 (1)求角C的大小； (2)求sinA＋sinB的最大值．
c [例题] 在△ABC 中，C＝3B，求 的取值范围． b
c sinC sin3B [解] 由正弦定理，得 ＝ ＝ ＝ b sinB sinB sinB＋2B sinBcos2B＋cosBsin2B ＝ ＝ cos2B ＋ 2cos2B ＝ sinB sinB 4cos2B－1. c ∵0≤cos B≤1，∴－1≤4cos B－1≤3，∴0< ≤3. b
[点评]
(1)本题考查了余弦定理、三角形面积公式、
三角恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能 力． (2)此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三 角函数公式为工具来综合考查，因此要掌握正、余弦定 理，掌握三角函数的公式和性质．
自我纠错
易错点：忽略三角形中角的限制而导致错误 在解三角形问题时，应注意 A＋B＋C＝180° ，且 A>0° ， B>0° ，C>0° . c [错题展示] 在△ABC 中，C＝3B，求 的取值范围． b
三角形中的几何计算
新知初探
1．几何计算问题 在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha， hb，hc，则
csinB (1)ha＝bsinC＝_______； asinC ； (2)hb＝csinA＝________ bsinA (3)hc＝asinB＝________.
1 bcsinA 1 1 2 (4)S＝2absinC＝2acsinB＝_________.
3．解三角形广泛应用于各种平面图形，如菱形、梯 形、平行四边形、扇形及一些不规则图形，处理时，可通 过添加适当的辅助线，将问题纳入到三角形中去解决．以 三角形为载体借助正、余弦定理还可以解决三角函数的求 值问题．
以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、 最值和优化等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余 弦定理加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量 (如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设 变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．
1 c 2 ∴2<cos B<1，故1<b<3. [反思] 由A＋B＋C＝180° 及C＝3B得出B的取值范
围，不可忽略．
思悟升华
1．解决三角形中计算问题的关键是转化为求三角形中 的边或角，再分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求 出哪些元素．通常情况下，求线段的长转化为求三角形的 边长，求角的大小转化为求三角形的角的大小．
2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理 外，常见的公式还有： (1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； 1 (3)S＝ aha(ha表示a边上的高)； 2 1 1 1 (4)S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA； 2 2 2
abc (5)S＝ 4R (可用正弦定理推得)； (6)S＝2R2sinA· sinB· sinC(R是三角形外接圆半径)； 1 (7)S＝2r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)； (8)S＝ pp－ap－bp－c 1 [p＝2(a＋b＋c)]．
实际所需电线长度约为 1.2AB≈7 425.6(m)．
• 测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、 俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何 知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解 三角形加以解决． • 如图，测量河对岸的塔形建筑AB，A为塔的顶端，B为 塔的底端，河两岸的地面上任意一点与塔底端B处在同一 海拔水平面上，现给你一架测角仪(可以测量仰角、俯角 和视角)，再给你一把尺子(可以测量地面上两点间距离)， 图中给出的是在一侧河岸地面C点测得仰角∠ACB＝α ，请 设计一种测量塔建筑高度AB的方法(其中测角仪支架高度 忽略不计，计算结果可用测量数据所设字母表示)．
[分析]
利用面积公式求角C，再利用三角形的内角和
定理和两角和的正弦公式化简求最大值．
[解]
1 3 (1)由题意可知 absinC＝ ×2abcosC. 2 4
所以tanC＝ 3， π 因为0<C<π，所以C＝3. (2)由已知sinA＋sinB
π 2π ＝sinA＋sin(π－A－3)＝sinA＋sin( 3 －A) 3 1 ＝sinA＋ 2 cosA＋2sinA π 2π ＝ 3sin(A＋6)≤ 3(0<A< 3 )． π 当A＝ 时，即△ABC为等边三角形时取等号． 3 所以sinA＋sinB的最大值为 3.
2 2
[错解分析] 由 A＋B＋C＝180° 及 C＝3B 得出 B 的取值 范围，不可忽略．
[正解]
c sinC sin3B sinB＋2B 由正弦定理，得 ＝ ＝ ＝ b sinB sinB sinB
sinBcos2B＋cosBsin2B 2 2 ＝ ＝ cos2 B ＋ 2cos B ＝ 4cos B－1. sinB ∵A＋B＋C＝180° ，C＝3B， ∴0° <B<45° ，即 2 <cosB<1. 2
2．对于既可用正弦定理又可用余弦定理解的三角形， 用正弦定理计算相对简单，但要根据已知条件中边的大小 来确定角的大小，此时，若选择用正弦定理去计算较小的 边所对的角，可避开分类讨论；利用余弦定理的推论，可 根据角的余弦值的正负直接判断出所求角是锐角还是钝 角，但计算复杂，所以，在使用正、余弦定理解三角形 时，要注意比较它们的异同点，灵活选用定理解题．利用 正、余弦定理不仅能求角的函数值，反过来，还能求角的 大小．
类型一 三角形中的面积计算 [例 1] 在△ABC 中， 已知 b2－bc－2c2＝0， 且 a＝ 6，
7 cosA＝ ，求△ABC 的面积． 8 解：∵b2－bc－2c2＝0.
∴b＝2c或b＝－c(舍去)． 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA， 7 即b ＋c －4bc＝6.
2 2
7 15 2 ∵cosA＝ ，∴在△ABC 中，sinA＝ 1－cos A＝ . 8 8 1 15 ∴S△ABC＝ bcsinA＝ .
三角形中线段长度的计算 在△ABC中，若c＝4，b＝7，BC边上的中线
7 AD的长为 ，求边长a. 2 [分析] 由题目可获取以下主要信息：
①c＝4，b＝7. 7 ②AD为中线且AD＝ . 2 解答本题可先令CD＝DB＝x. 在△ACD和△ACB中，∠ACB是公共角，两次使用余 弦定理，便可求出x.
1．运用三角形面积公式时应注意哪些问题？
提示：(1)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三 角函数的有关公式． (2)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定 理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵 活运用公式． (3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三 角形面积的和．
典例导悟
解析： 方法一：选择水平基线 BC，在 BC 的延长线上取一点 D， 在 D 点测得仰角∠BDA＝β，同时测得 CD 的长度为 a. 在△ADC 中∠DAC＝α－β， 在△ADC 中，由正弦定理 AC DC ＝ ， sin β sinα－β
asin β ∴AC＝ . sinα－β asin β 在 Rt△ACB 中，AB＝AC· sin α＝ sin α. sinα－β 方法二：在 BC 的延长线上找一点 D，使得在 D 点测得仰角∠ADB α ＝2. 又测得 DC 的长为 m. α 在△ADC 中，∠ADC＝ ， 2 α α ∠DAC＝α－ ＝ . 2 2 ∴DC＝AC＝m，
1．在△ABC中，已知C＝60° ，b＝4 高等于( A. 3 C．4 3 ) B．2 3 D．6
3 ，则BC边上的
解析：BC边上的高等于bsinC＝6.
答案：D
2．已知锐角△ABC的面积为3 3，BC＝4，CA＝3，则 角C的大小为( A．75° C．45° ) B．60° D．30°
1 1 解析：由 2 ×BC×ACsinC＝3 3 ，得 2 ×4×3sinC＝ 3 3， 3 所以sinC＝ 2 .所以C＝60° 或120° . 又△ABC是锐角三角形，所以C＝60° .
答案：D
• 求距离问题要注意： • (1) 选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在 的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未 知量放在另一确定三角形中求解． • (2) 确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择 更便于计算的定理．
某单位在抗雪救灾中，需要在 A、B 两地之间架设高压电线，测 量人员在相距 6 000 m 的 C、D 两地(A、B、C、D 在同一平面上)，测得 ∠ACD＝45° ，∠ADC＝75° ，∠BCD＝30° ，∠BDC＝15° (如图)，假如考 虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是 A、B 距离的 1.2 倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7， 7≈2.6)
[解]
如图所示，∵AD 是 BC 边上的中线，
∴可设 CD＝DB＝x， 则 CB＝a＝2x. 7 ∵c＝4，b＝7，AD＝ ， 2
在△ACD中， 72 7 ＋x －2 有cosC＝ ， 2×7×x
2 2
72＋2x2－42 在△ABC中，有cosC＝ . 2×7×2x 72 7 ＋x －2 72＋2x2－42 ∴ ＝ . 2×7×x 2×7×2x
与b＝2c联立，得b＝4，c＝2，
[点评]
本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角
形面积公式的应用．求三角形的面积，要充分挖掘题目中 的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题， 要注意方程思想在解题中的应用．另外也要注意三个内角 的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误．
类型二 [例2]
答案：B
3．在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝3:5:7，且周长为30， 则S△ABC＝( 15 3 A. 14 C．13 3 ) 13 3 B. 14 D．15 3
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解析：由正弦定理知，sinA:sinB:sinC＝a:b:c＝3:5:7. 设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k＞0)， 又a＋b＋c＝30， ∴k＝2，即三边长为a＝6，b＝10，c＝14. b2＋c2－a2 13 3 3 ∴cosA＝ 2bc ＝14，sinA＝ 14 . 1 1 3 3 ∴S△ABC＝ bcsinA＝ ×10×14× ＝15 3. 2 2 14
在 Rt△ACB 中，AB＝ACsin α＝msin α.
方法三：如图，在河的这岸抽取一点 D，测得 CD＝b，并测∠BCD ＝γ，∠BDC＝β. 在△BCD 中，∠CBD＝π－γ－β. BC CD 由正弦定理得 ＝ ， sin∠BDC sin∠CBD CD· sin∠BDC b· sin β ∴BC＝ ＝ . sin∠CBD sinβ＋γ b· sin βtan α 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan ∠ACB＝ . sinβ＋γ
解析： 在△ACD 中，∠CAD＝180° －∠ACD－∠ADC＝60° ， CD＝6 000 m，∠ACD＝45° ， 根据正弦定理 AD＝ CDsin 45° ＝ sin 60° 2 CD， 3
在△BCD 中，∠CBD＝180° －∠BCD－∠BDC＝135° ， CD＝6 000 m，∠BCD＝30° ， CDsin 30° 2 根据正弦定理 BD＝ sin 135° ＝ 2 CD. 又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90° ， 根据勾股定理有 AB＝ AD2＋BD2＝ 2 1 ＋ CD＝1 000 42(m)， 3 2
2 2
9 解得x＝2. ∴a＝2x＝9.
变式训练2
如图，在△ABC中，已知B＝45° ，D是BC
边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．
解：在△ACD中，由余弦定理，得cosC＝ AC2＋CD2－AD2 72＋32－52 11 ＝ ＝ . 2AC· CD 2×7×3 14 ∵C为三角形的内角，∴C∈(0，π)， ∴sinC＝ 1－cos C＝