物理化学第八章课后题答案

第八章 量子力学基础

8.1 同光子一样，实物粒子也具有波动性。与实物粒子相关联的波的波长，即德

布罗意波长给出。试计算下列波长。（1 eV=1.6021771910-⨯ J ，电子质量9.1093110-⨯kg ，中子质量1.6742710-⨯kg ） (1) 具有动能1eV ，100 eV 的电子； (2) 具有动能1eV 的中子；

(3) 速度为640m/s 、质量为15g 的弹头。 解：德布罗意波长可以表示为：p

h

mv h ==

λ，那么将上述的实物粒子的质量和动能带入公式即可得： （1）动能1eV 的电子的波长为

m m mE h p h k 9193134

10266.110602177.1110109.9210626.62----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===λ

动能100eV 的电子

m m mE h p h k 10193134

10266.110602177.110010109.9210626.62----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===λ

（2）动能1eV 的中子的波长为

m m mE h p h k 11192734

10861.210602177.1110674.1210626.62----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===λ

（3）速度为640m/s 、质量为15g 的弹头的波长为

m m mv h 353

34

10902.6640

101510626.6---⨯=⨯⨯⨯==λ 8.2 在一维势箱问题求解中，假定在箱内()0V x C =≠（C 为常数），是否对其解

产生影响？怎样影响？

解：当()0V x C =≠时，一维势箱粒子的Schrödinger 方程为

()()()()()()()()22

2222

2

22

d 2d d d '2d 2d x C x E x m x

x x E C x E x m x m x ψψψψψψψ-+=∴-=-⇒-=

边界条件不变，因此Schrödinger 方程的解为

()22'2182πsin n n n E ma n x x a a ψ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩

即()0V x C =≠不影响波函数，能级整体改变C :

2

2

2'8E E C n ma C =+=+

8.3 一质量为m ，在一维势箱0x a <<中运动的粒子，其量子态为

()12π3π0.5sin 0.866sin x x x a a a ψ⎧⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎨⎬

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭

（1） 该量子态是否为能量算符ˆH

的本征态？ （2） 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？ （3） 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？ 解：对波函数的分析可知

()()()

()()()()

132221133220.50.8663ˆˆH , H 88x x x h h x x x x ma ma ψψψψψψψ=+==

（1） 由于

()()()(){}(){}()13

2221322ˆˆˆH 0.5H 0.866H 0.530.50.86688x x x h h x x E x ma ma ψψψψψψ=+=⨯+⨯≠

因此，()x ψ不是能量算符ˆH

的本征态。 （2） 由于()x ψ是能量本征态()1x ψ和()3x ψ的线性组合，而且是归一化

的，因此能量测量的可能值为

22

132

29, 88h h E E ma ma ==其出现的概率分别为 220.50.25, 0.8660.75==

（3） 能量测量的平均值为

()22132270.250.750.250.75988h h E E E ma ma =+=+⨯=

8.4 质量为1 g 重的小球在1 cm 长的盒内，试计算当它的能量等于在300 K 下

的kT 时其量子数n 。这一结果说明了什么？k 和T 分别为波尔兹曼常数和热力学温度。

解：一维势箱粒子的能级公式为

222323219

34888810300 1.380710108.68810

6.626110n h mE mkT

E n a a

ma h h

n ----=⇒==⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯

量子化效应不明显。

8.5 有机共轭分子的共轭能、吸收光谱中吸收峰的位置等，可用一维势箱模型加以粗略描述。已知下列共轭四烯分子

的长度约为1.120 nm ，试用一维势箱模型估计其波长最大吸收峰的位置。 解：共轭四烯分子，其π电子能级近似于一维势箱体系的能级。势箱长度a 可以根据分子结构近似计算。从分子结构可知，4个烯基贡献8个π电子，在基态时这些电子占据4个分子轨道，当吸收适当波长的光时，可发生电子从最高占据

轨道4到空轨道n （n > 4）的跃迁，这一跃迁所吸收的光的波长为

)

4(88/)4(222

2222-=-=∆=n h mca ma n h hc E hc λ

那么只有取n=5才能得到波长的最大值，即

nm m m n h mca 4601060.4)

45(10626.6)1012.1(10310109.98)4(872

2342

9831222=⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-==-----λ

8.6 在质量为m 的单原子组成的晶体中，每个原子可看作在所有其他原子组成的

球对称势场()212V x fr =中振动，式中2222

r x y z =++。该模型称为三维各向

同性谐振子模型，请给出其能级的表达式。

解：该振子的Hamiltonian 算符为

()2

222222

222222222222222

1ˆH

22

111222222ˆˆˆH

H H x

y

z

f x y z m x y z fx fy fz m x m y m z ⎧⎫∂∂∂=-+++++⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎧⎫⎧⎫⎧⎫∂∂∂=-++-++-+⎨⎬⎨⎬⎨⎬

∂∂∂⎩⎭⎩⎭⎩⎭=++

即ˆH 为三个独立谐振子Hamiltonian 算符ˆˆˆH , H , H x y z 之和，根据量子力学基本定律，该振子的能即为个独立振子能级之和：

111222

x x y y z z

v h v h v h εννν⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫

=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

⎝

⎭

⎝

⎭

式中

x y z νννν====

为经典基频，所以 32

x y z v v v h εν

⎛⎫=+++ ⎪⎝

⎭

8.7 一维势箱[]α,0中两个α自旋的电子，如果他们之间不存在相互作用，试写出