学而思奥数2016寒假班提高班第2讲讲义

【答案】 18 【分析】 三个阴影部分形状相同，大小相等， 求出一块即可，(4 + 4 ¸ 2)´3 = 18．
拓7 图中每个小正方形的面积都是 4 平方 厘米，请求出下面多边形的面积．
【答案】 60 平方厘米 【分析】 分割法：(6 + 8 +1)´4 = 60平方厘米
拓8 图中每个小正方形的边长是 1 厘米．阴 影部分的面积是多少平方厘米？
方法三 毕克定理： 内部有 4 个点，边上有 4 个点，所以 三角形面积= (4 4 2 1) 2 10 ．
练一练 图中相邻三点所形成的等边三角形的 面积为 1，试求松树的面积．
【答案】 32 【分析】 内部有 8 个点，边上有 18 个点，所以 松树面积为(8 +18 ¸ 2 -1)´2 = 32.
E
D
四年级寒假提高班第 2 讲 格点与割补
模块一 正方形格点 例1 边长为 1 的小正方形组成的网格中， 有如下几个图形，判断下列哪些图形 是格点多边形，并求出格点多边形的 面积．
A
B
C
D
E
【答案】
E，面积为 6
【分析】 格点多边形需要注意： （1）所有顶点都要在格点上； （2）各边均为直线段．A、B、C 均不 是格点多边形；D 不是多边形，所以 更不可能是格点多边形；E 包含 3 个“整 格”与 6 个“半格”，所以面积为 3 + 0.5´6 = 6．
【答案】 16；14；14.5
作业 3 如图为边长为 1 的小正方形组成的网 格，请计算图中三角形的面积．
【答案】 10 【分析】 24 - 8 - 3 - 3 = 10
作业 4 图中相邻三点所形成的等边三角形的 面积为1，求三角形的面积.
【答案】 11 【分析】 图形内部有 5 个点，边上有 3 个点， 由三角形毕克定理，面积为 (5 + 3 ¸ 2 -1)´2 = 11.
【答案】 150 平方厘米
【分析】 如图，长方形面积为：80 ¸ 8´15 = 150 平方厘米．
拓 10
已知正六边形面积为 100，A、B、C、 D、E、F 分别为所在边中点，求阴影
六角星的面积．
A
A
B
FB
F
C
EC
E
D
D
【答案】 50 【分析】 如图，将正六边形分割成正三角形格 点的形式，易知正六边形共含24个小 正三角形，阴影六角星共含12个小正 三角形，故阴影六角星面积为正六边 形的一半，即100 ¸ 2 = 50．
【随堂练】 图中水平、竖直方向相邻两个格点的 距离均为 1，请求出下图中问号，方头 括号和对号的面积．
【答案】 7；12；5.5
例3 图中水平、竖直方向相邻两个格点的
距离均为 1，请求出下面三角形的面 积．
【答案】 11 【分析】 方法一：整体减空白 整个长方形面积减去周围三个直角三 角形的面积： 6´5 - 2´6 ¸ 2 - 2´3¸ 2 - 4´5 ¸ 2
深化练习 7．60 平方厘米 分割法：(6 + 8 +1)´4 = 60平方厘米
8．14 平方厘米 方法一：整体减空白：36 - 3´4 -10 = 14 平方厘米； 方法二：毕克定理，外圈减内圈；
(21+ 8 ¸ 2 -1) - (5 +12 ¸ 2 -1)
= 24 -10 = 14平方厘米（不能直接用毕 克定理求解）．
2 2
2
4
4
2
拓5 求下图中格点多边形的面积（每相邻 三个点“∵”或“∴”是面积为 1 的等边三 角形）．
【答案】 18 【分析】 方法一 分割法： 4´1+ 7 + 2´1+ 2´2 +1 = 18； 方法二 毕克定理： 2´(7 + 6 ¸ 2 -1) = 18．
拓6 把大正三角形每边六等分,组成如下图 所示的三角形网.如果每个小三角形的 面积都是1,求图中阴影的面积.
【答案】 9；12 【分析】 左图：包含 9 个小正三角形，所以面 积为 9； 右图：方法一 分割法：如下图分割为 两个三角形，较小的三角形可通过平 行四边形的一半求出，面积为 6 ¸ 2 = 3，较大的三角形面积为
1+ 3 + 5 = 9，所以总面积为3 + 9 = 12．
方法二 毕克定理：图形内部有 3 个点， 边上有 8 个点，面积为(3 +8 ¸ 2 -1)´2 = 12． 【随堂练】 图中相邻三点所形成的等边三角形的 面积均为1，请分别计算下列图形的面 积．
作业 2 大宽以每秒 13 米的速度沿铁道边的小 路骑车，一辆火车以每秒 88 米的速度 迎面开来，从与大宽相遇到离开共用 时 3.5 秒，求火车的车长． 【答案】 353.5 米 【分析】 (13 + 88)´3.5 = 353.5（米）
作业 3 计算：1.125´64´0.75.
【答案】
54 【分析】 原式
【答案】 14 平方厘米 【分析】 方法一：整体减空白：36 - 3´4 -10 = 14 平方厘米； 方法二：毕克定理，外圈减内圈；
(21+ 8 ¸ 2 -1) - (5 +12 ¸ 2 -1)
= 24 -10 = 14平方厘米（不能直接用毕 克定理求解）．
拓9 如图是一组总面积为80cm²的七巧 板，用它构成右图阴影部分的形状， 这个形状内接于如图所示的长方 形．请问这个长方形的面积为多少？
= 30 - 6 - 3 -10 = 11 方法二：分割法 如图，分割为三个小格点三角形的面 积，总面积为： 2´2 ¸ 2 + 2´3 ¸ 2 + 3´4 ¸ 2 = 11
方法三：毕克定理 内部有 10 个点，边上有 4 个点，根据 公式可知面积为10 + 4 ¸ 2 -1 = 11．
练一练 图中水平、竖直方向相邻两个格点的 距离均为 1，请求出下面三个图形的总 面积．
拓展练习 拓1 下图是面积单位为1的格点图形，计
算每个格点多边形的面积．
【答案】 如图：
1
0单位为 1 的格点图形，求 下面三角形的面积．
【答案】 5.5 【分析】 方法一：毕克定理S = 5 + 3 ¸ 2 -1 = 5.5 方法二： 整体减空白 S = 2´6 -1´2 ¸ 2 -1´5 ¸ 2 -1´6 ¸ 2 = 5.5
作业 5 图中相邻三点所形成的等边三角形的 面积为1，求五边形的面积.
【答案】 35 【分析】 图形内部有 13 个点，边上有 11 个点， 由三角形毕克定理，面积为 (13 +11¸ 2 -1)´2 = 35.
复习巩固 作业 1 在周长为 400 米的圆形跑道上，艾迪 和大宽站在相距 200 米的两点，两人 分别以 8 米/秒、6.4 米/秒的速度同时 同向出发，沿跑道跑步，艾迪第二次 追上大宽时共跑了多少米？ 【答案】 3000 【分析】 第一次追 200 米，第二次追 400 米， 共用时(200 + 400) ¸ (8 - 6.4) = 375秒， 艾迪跑了375´8 = 3000米．
拓3 图中相邻格点围成的最小正方形的面 积均为 1．这两个多边形的面积分别是 多少？
【答案】 7.5；6.5
【分析】 左：4 + 9 ¸ 2 -1 = 7.5； 右：3 + 9 ¸ 2 -1 = 6.5
拓4 计算下面图形的面积（每相邻三个点 “∵”或“∴”是面积为 1 的等边三角形）.
【答案】
=1.125´8´8´0.75 - (1.125´8)´(8´0.75)
-9´6 - 54.
四年级寒假提高班第 2 讲练习册答案 格点与割补
同步练习 1．如图：
1
1.5
0.5
0.5
1
2．5.5 方法一：毕克定理S = 5 + 3 ¸ 2 -1 = 5.5 方法二：整体减空白
S = 2´6 -1´2 ¸ 2 -1´5 ¸ 2 -1´6 ¸ 2 = 5.5
3．7.5；6.5 左：4 + 9 ¸ 2 -1 = 7.5； 右：3 + 9 ¸ 2 -1 = 6.5
4．
2 2
2
4
4
2
5．18 方法一 分割法： 4´1+ 7 + 2´1+ 2´2 +1 = 18；
方法二 毕克定理： 2´(7 + 6 ¸ 2 -1) = 18．
6．18 三个阴影部分形状相同，大小相等， 求出一块即可，(4 + 4 ¸ 2)´3 = 18．
练一练 边长为 1 的小正方形组成的网格中， 有一个星状的多边形，请你求出这个 多边形的面积．
【答案】 12 【分析】 4 + 2´4 = 12．老师可拓展边长不为 1
的情况．
例2 图中水平、竖直方向相邻两个格点的 距离均为 1，请求出下列各图形的面 积．
【答案】 4；9；12 【分析】 分割法：将复杂不规则图形分割成基
本图形后再求面积. 小鱼：分割成三个三角形后可知面积 为1.5 +1.5 +1 = 4； 小树：分割成一个长方形和五个三角 形后可知面积为6 +1+ 0.5´4 = 9； 小猫：分割成一个长方形和两个平行 四边形后可知面积为6 + 3´2 = 12． 注：分割方法不唯一，但每个分割后 的小图形都必须是格点多边形.
四年级寒假提高班第 2 讲作业 格点与割补
作业 1 图中水平、竖直方向相邻两个格点的 距离都是 1，请你求出葫芦和锤子的面 积各是多少．
【答案】 12；10 【分析】 由割补法或正方形毕克定理易得葫芦
面积为 12，锤子面积为 10. 作业 2 图中水平、竖直方向相邻两个格点的 距离都是 1，请你求出图中“8”、“0”、 “9”的面积各是多少．
【分析】 方法一：整体减空白：36 - 3´4 -10 = 14 平方厘米； 方法二：毕克定理，外圈减内圈；
(21+ 8 ¸ 2 -1) - (5 +12 ¸ 2 -1)
= 24 -10 = 14平方厘米（不能直接用毕 克定理求解）．
模块二 三角形格点 例4 图中相邻三点所形成的等边三角形的 面积均为1，请分别计算下列图形的面 积．
【答案】 14；18；10
例5 图中相邻三点所形成的等边三角形的 面积为1，计算图中三角形的面积．
【答案】 10 【分析】 方法一 整体减空白：大正三角形面积 减去周围三个三角形的面积： 大正三角形面积：1+ 3 + 5 + 7 + 9 = 25， 25 - 3 - 4 - 8 = 10；
方法二 分割法：如图分割成 4 个小三 角形的面积，总面积为3 + 2 + 4 +1 = 10；
【答案】 21.5 【分析】 左上三角形面积：4 + 4 ¸ 2 -1 = 5； 右上三角形面积：3´3 ¸ 2 = 4.5；
长方形面积：2´6 = 12． 所以总面积为5 + 4.5 +12 = 21.5． 拓展 8 图中每个小正方形的边长是 1 厘米．阴 影部分的面积是多少平方厘米？
【答案】 14
9．150 平方厘米 如图，长方形面积为： 80 ¸ 8´15 = 150平方厘米．
实战练习 10．50
如图，将正六边形分割成正三角形格 点的形式，易知正六边形共含 24 个小 正三角形，阴影六角星共含 12 个小正 三角形，故阴影六角星面积为正六边 形的一半，即100 ¸ 2 = 50．
A
B
F
C
【随堂练】 判断下列图形是否为格点多边形，并 求出格点多边形的面积．（图中水平、 竖直方向相邻两个格点的距离均为 1）
【答案】 图 1 不是多边形，更不是格点多边形； 图 2 有的顶点不在格点上，故不是格 点多边形； 图 3 是格点多边形，面积为 6.5； 图 4 不是格点多边形； 图 5 是格点多边形，面积为 4； 图 6 是格点多边形，面积为 5.