DVD租赁数学建模论文

数学建模论文

DVD

租

赁

问

题

DVD在线租赁

摘要

本问题是一个DVD在线租赁中，网站方如何对于市场进行市场需求预测、如何对DVD进行分配才能最好的实现其经济效益，同时实现最好的社会效益。

第一问中，基于预测基础上的DVD购买方案设计中，为了简化问题，我们只考虑二次租赁会员的租赁周期T。一般的，影响某一数量指标的的随机因素很多，而每个因素所起的作用均不大，根据大数定理，这个指标可以近似认为服从正态分布，因此DVD的租赁周期T对应的会员人数近似服从正态分布。为了保证希望看到某种DVD的会员中，有50%以上在一个月内能看到该DVD，我们运用概率计算出了各种DVD的购买量至少为：5022，2511,1255,628,302。在计算三个月内95%以上的会员能够看到，我们采用了裂项求和的方法，分别化简了第二个月及第三个月DVD的租赁总次数。同样通过概率计算，我们得到了这个条件下各种DVD 的购买量至少为：4547,2274,1137,568,272。

对于第二问，对于当前订单的分配方案确定。我们建立了0-1 规划模型，求得最大满意度为22717，我们给出了最优分配方案。

第三问，是一个多目标规划问题，既要考虑使得会员的满意度尽量大，还要使得网站所购买的总的DVD 数目最少。求解双目标规划模型的求解要分两个步骤进行，先求第一个目标函数即最大满意度，然后将该满意度最大值作为约束条件加入到模型中求解DVD数量最小值。

关键词：DVD；0-1规划；最优化分析；全局最优化

一、问题重述

随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。

考虑当下的在线 DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD ，这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2 次，每次获得3 张DVD 。会员看完3 张DVD 之后，只需要将DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：

1）网站正准备购买一些新的DVD ，通过问卷调查 1000个会员，得到了愿意观看这些DVD 的人数（表1 给出了其中5 种DVD 的数据）。此外，历史数据显示，60% 的会员每月租赁DVD 两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有 10 万个会员，对表 1 中的每种DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD ？如果要求保证在三个月内至少95% 的会员能够看到该DVD 呢？

2 ）表2 中列出了网站手上 100 种DVD 的现有张数和当前需要处理的1000 位会员的在线订单（表2的数据格式示例下表 2 ,具体数据请从

http :///mcm05/problems2005c.asp 下载），何对这些DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30 位会员（即C0001~C0030 ）分别获得哪些DVD 。

3 ）继续考虑表2 ，并假设表2 中DVD 的现有数量全部为0 。果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD 的购买量，以及何对这些DVD 进行分配，才能使一个月内95% 的会员得到他想看的DVD ，并且满意度最大？

4 ）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

二、背景介绍

DVD 在线租赁业务是一项近年来在网络技术高度发展的基础上出现的新业务。1998 年成立于美国的Nexfix是目前炙手可热的DVD 在线租赁商。该公司有多种DVD出租业务。其中，典型的是一种这样的：顾客每月缴纳19.9 美元成为会员。定购DVD 租赁服务。顾客对哪些DVD 感兴趣，只须在线提交订单，网站收到顾客的订单之后，会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单尽可能将DVD 以快递的方式投递给会员。一般情况下，在一天之内，网站即可将会员所需的DVD 送到会员手中，会员每次最多得到3 张DVD 。每个月订购的次数是有的，顾客拿到这些DVD 之后可以无期的保留这些 DVD ，前提是在这段期内，他仍然是该网站的会员。果会员想拿进行下一次租赁，则它必须首先将手上的DVD 放进网站提供的信封里寄回。之后，即可进行下一次租赁。

三、问题分析

本问题是一个在 DVD租赁业务中，网站方如何进行 DVD需求预测、如何购置新 DVD 、如何将手头的DVD 分配给会员，从而可以保证会员满意而同时又使自己收到良好的经济效益的问题。

第一问中，1000个会员的调查表即是10 万个会员的需求预测。由于现实情况中每个会员租赁的时间不一样长，因此我们设DVD的租赁周期为T，这显然是一个线性规划问题。

第二问中，网站给出了网站手上100 种DVD 的现有张数和当前需要处理的1000位会员的再现订单。要求我们给出一个使得会员总的满意度最大的分配方案。显然这是一个大规模的0—1 规划问题。

第三问中综合考虑一个月内DVD的购买分配方案，这其实是一个多目标规划的问题。从网站的经济效益角度考虑看，在保证所有会员中95% 以上的会员一个月内看到自己想看的DVD的情况下，希望购买的DVD尽量少，但是从其社会效应来看，则要尽可能地考虑让所有会员的总的满意度最大。这样可以使用多种方式将多目标规划变为单目标规划，以求得一个经济效益与社会效益的综合最优。四、符号说明

Pi：喜欢看DVD(1,2,3,4,5)

i i=的会员数占会员总数的比例。

q：表示所有会员里每月租赁两次的会员比例

N：会员总人数，10^5即10万。

T：表示一个月租赁两次的会员租用DVD的周期。

X(i)：租赁公司准备DVD(1,2,3,4,5)

i i=的张数；