圆、空间直角坐标、三角函数

圆的方程

【知识点梳理】 1. 圆的定义与方程

（1） 圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.

（2） 标准方程：()()2

22

x a y b r -+-=，圆心在()0,0，半径为r . （3） 一般方程：()2222040y Dx Ey F E x D F ++++=+->，圆心在,2

2D E ⎛

⎫

-

- ⎪⎝⎭，半径为

2. 点和圆的位置关系：已知点()00,P x y 和圆()()222

x a y b r -+-=， （1） 点P 在圆内()()2

2

200x a y b r ⇔-+-<； （2） 点P 在圆上()()2

2

200x a y b r ⇔-+-=； （3） 点P 在圆外()()2

2

200x a y b r ⇔-+->. 3. 直线和圆的位置关系

（1） 位置关系的判断：比较圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系. （2） 直线被圆截得的弦长：利用勾股定理； （3） 切线方程

○

1过圆

()

()2

2

2

x a y b r -+-=上一点

()

00,P x y 的切线方程为

()()()()200x a x a y b y b r --+--=；

（只有一条） ○

2过圆外一点求圆的切线方程，有两条，利用圆心到直线的距离等于半径. 4. 圆与圆的位置关系

外离d R r ⇔>+；外切d R r ⇔=+；相交R r d R r ⇔-<<+；内切d R r ⇔=+；内含

d R r ⇔<-.

【基本例题】

例1 （1）求以()1,2C -为圆心，且和直线:2350l x y --=相切的圆的方程.

（2）求经过点()()()1,0,3,0,2,2A B C 三点的圆的方程.

（3）已知圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点()0,4A -、()0,2B -，求圆C 的方程. 解：（1）圆的半径()21313

1325

r ⨯--⨯=-=

()()2

2

1213x y ++-=.

（2）设所求圆的方程为22

0y Dx Ey F x ++++=，则有4

103390222803

D D F D F

E D E

F F =-⎧++=⎧⎪⎪⎪++=⇒=-⎨⎨⎪⎪

+++=⎩=⎪⎩，

且2225404D E F +-=

>，因此所求圆的方程为223

4302

x y x y +--+=. （3）设圆心坐标为(),C a b ，则()()

2

22

2

270

422

3b a b a b a b a --=⎧=⎧+⎨

⎨

=+-++=⎩

⎪⎩，所以()()2

2

:235C x y -++=.

例2 求经过下列各点的圆224x y +=的切线方程：（1）过点(3A ；（2）过点()2,3B . 解：（1）2

2413,A =+∴在圆上，∴所求切线方程为34x =.

（2）22423+>，B ∴在圆外，设切线方程为230kx y k --+=，则2235

212

1

k k k -+⇒=

+， 又当直线斜率不存在时，2x =也为圆的切线， 所以所求切线方程为2x =或512260x y -+=.

例3 设圆的半径为2，圆心在直线10x y +-=上，直线20x y --=14，

求此圆的方程.

解：设圆心坐标为(),1a a -，2

2

1214412a a a -+-=-⇒=⎝⎭

或2a =， 所以所求圆的方程为()()22114x y -++=或()2

214x y -+=.

例4 已知曲线214y x =-()24y k x =-+有两个交点，求实数k 的取

值范围.

解：数形结合，得53,124k ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦

.

【同步练习】

1. 过点()2,3A -、()2,5B --，且圆心在直线230x y --=上的圆的方程

为 .()()22

1210x y +++=

2. 以点()1,2为圆心，且与直线43350x y +-=相切的圆的方程为 .

()

()2

2

1225x y -+-=

3. 过点(M 且与圆224x y +=相切的直线的方程为 . 2x =或

40x +=

4. 已知直线:50l x y --=，圆()()22

:221C x y -++=，则l 被圆C 所截得的线段的长

为 .

5. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25y C x =+所截得的弦长为8，则b = .

±6. 圆心在直线20x y +=上，且与直线10x y +-=相切于点()2,1-的圆的方程

为 . ()()2

2

122x y -++=

空间直角坐标系

【知识梳理】

1、空间直角坐标系概念及其建立

2、特殊位置点的坐标：x 、y 、z 轴上点的坐标

3、对称点的坐标：关于某点对称、 关于坐标轴对称 关于坐标面对称

4、两点间的距离公式：一般两点之间的距离公式、 点到坐标轴、坐标面的距离公式

【同步练习】

1. 点A (2,1，－4)到y 轴的距离为________．

2. 已知A (4,3,1)，B (7,1,2)，C (5,2,3)，则△ABC 是________三角形．(填三角形的形状) 3 在空间直角坐标系中，O (0,0,0)，P (x ，y ，z )，且OP 的长度为3，则所有满足条件的点P 的集合构成的图形是________．

4. 已知点A (1,3,5)与点B 的中点坐标为M (2,7，m )，且点M 到xOy 面的距离为6，求点M