平均变化率(精)
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江苏省常州高级中学 曹新跃
情境1：汽车加速性能的测定
保时捷911
vs
法拉利360
品牌型号
保时捷911
法拉利360
图片
加速时间（s） 0-100km/h
4.1
4.5
速度变化越快，汽车的加速性就越好。
用什么数学表达式来描述汽车的速度变化的快慢?
情境2：
某市2004年3月和4月某天日最高气温记载.
时间 3月18日 4月18日 4月20日
注: f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率实际上就是自变量增加 一个单位,因变量的平均增量.
年份
1953年 60193
1964年 72307
1982年 103188
1990年 116002
2000年 129533
人口总数 （万）
72307 60193 1101.3 1953年到1964年人口的平均变化率为 （万人/年） 1964 1953 103188 72307 1964年到1982年人口的平均变化率为 （万人/年） 1715.6 1982 1964 116002 103188 1982年到1990年人口的平均变化率为 （万人/年） 1601.8 1990 1982 129533 116002 1353.（万人 1 1990年到2000年人口的平均变化率为 /年） 2000 1990
例2、已知函数f(x)=2x+1，g(x)=-2x，分别计算 在区间[-3,-1]，[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率。
思考：y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率有 什么特点？
例3、已知函数f(x)=x2 ，分别计算在下列区间 上的平均变化率： （1）[1，2]； （2）[2，3]； （3）[1，3]；
变化（增加或减少）的“快”与 “慢”？
一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均 f x2 f x1 变化率为： x2 x1 讨论交流: (1)你能举出一些用函数的平均变化率刻画 因变量随自变量变化“快慢”的例子吗? (2)函数平均变化率的数值如何刻画因变量随 自变量变化（增加或减少）的“快慢”?
作业
P：7 练习1，2，3，4
思考题（选做）：
吹气球时 ,会发现 :随着气球内空气容量的增加 ,气球的半径 增加得越来越慢。
（1）你能从数学的角度作出解释吗？
（2）请判断下面哪个是半径r随体积v变化的示意图?
r r r0 r0 r
r0
O
v
0
v
O
v
wenku.baidu.com
0
v
O
v
0
v
日最高气温
3.5℃
18.6℃
33.4℃
根据上面的数据我们可以得到哪些信息?
T (℃ )
C (34, 33.4)
以 月 3 18 日 为 第 一 天
30 B (32, 18.6)
20
10 2 0
A (1, 3.5)
2
10
20
30
34 t(d)
总结与思考
如何刻画变量f(x)在区间[x1，x2]上随x
例1、中华人民共和国人口普查登记的结果公布如下
年份 1953年 1964年 1982年 1990年 2000年 人口 60193 72307 103188 116002 129533 总数 （万）
年份 1953年 1964年 1982年 1990年 2000年 人口 60193 72307 103188 116002 129533 总数 （万）
(1) 1982年到1990年, 1990年到2000年, 平均每年增加多少人? (2) 1982年到1990年, 1990年到2000年, 人口的平均变化率是多少?
116002 103188 1601.8 （万人） 解：（1）1982年到1990年平均每年增加 1990 1982 129533 116002 1353.1（万人） 1990年到2000年平均每年增加 2000 1990 116002 103188 1601.8 （2）1982年到1990年人口的平均变化率为 （万人/年） 1990 1982 129533 116002 1353.1 1990年到2000年人口的平均变化率为 （万人/年） 2000 1990
（4）[1，1.001]。
总结 1.f(x)在区间[x1，x2]随x变化的快慢可用f(x)的平均 变化率来刻画. 2. f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x) 在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡 峭程度是平均变化率的“视觉化”．
3. f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是在其局部 区间上f(x)随x变化的快慢以及曲线y=f(x)陡峭程 度的一种粗略刻画.
情境1：汽车加速性能的测定
保时捷911
vs
法拉利360
品牌型号
保时捷911
法拉利360
图片
加速时间（s） 0-100km/h
4.1
4.5
速度变化越快，汽车的加速性就越好。
用什么数学表达式来描述汽车的速度变化的快慢?
情境2：
某市2004年3月和4月某天日最高气温记载.
时间 3月18日 4月18日 4月20日
注: f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率实际上就是自变量增加 一个单位,因变量的平均增量.
年份
1953年 60193
1964年 72307
1982年 103188
1990年 116002
2000年 129533
人口总数 （万）
72307 60193 1101.3 1953年到1964年人口的平均变化率为 （万人/年） 1964 1953 103188 72307 1964年到1982年人口的平均变化率为 （万人/年） 1715.6 1982 1964 116002 103188 1982年到1990年人口的平均变化率为 （万人/年） 1601.8 1990 1982 129533 116002 1353.（万人 1 1990年到2000年人口的平均变化率为 /年） 2000 1990
例2、已知函数f(x)=2x+1，g(x)=-2x，分别计算 在区间[-3,-1]，[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率。
思考：y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率有 什么特点？
例3、已知函数f(x)=x2 ，分别计算在下列区间 上的平均变化率： （1）[1，2]； （2）[2，3]； （3）[1，3]；
变化（增加或减少）的“快”与 “慢”？
一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均 f x2 f x1 变化率为： x2 x1 讨论交流: (1)你能举出一些用函数的平均变化率刻画 因变量随自变量变化“快慢”的例子吗? (2)函数平均变化率的数值如何刻画因变量随 自变量变化（增加或减少）的“快慢”?
作业
P：7 练习1，2，3，4
思考题（选做）：
吹气球时 ,会发现 :随着气球内空气容量的增加 ,气球的半径 增加得越来越慢。
（1）你能从数学的角度作出解释吗？
（2）请判断下面哪个是半径r随体积v变化的示意图?
r r r0 r0 r
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wenku.baidu.com
0
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日最高气温
3.5℃
18.6℃
33.4℃
根据上面的数据我们可以得到哪些信息?
T (℃ )
C (34, 33.4)
以 月 3 18 日 为 第 一 天
30 B (32, 18.6)
20
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A (1, 3.5)
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34 t(d)
总结与思考
如何刻画变量f(x)在区间[x1，x2]上随x
例1、中华人民共和国人口普查登记的结果公布如下
年份 1953年 1964年 1982年 1990年 2000年 人口 60193 72307 103188 116002 129533 总数 （万）
年份 1953年 1964年 1982年 1990年 2000年 人口 60193 72307 103188 116002 129533 总数 （万）
(1) 1982年到1990年, 1990年到2000年, 平均每年增加多少人? (2) 1982年到1990年, 1990年到2000年, 人口的平均变化率是多少?
116002 103188 1601.8 （万人） 解：（1）1982年到1990年平均每年增加 1990 1982 129533 116002 1353.1（万人） 1990年到2000年平均每年增加 2000 1990 116002 103188 1601.8 （2）1982年到1990年人口的平均变化率为 （万人/年） 1990 1982 129533 116002 1353.1 1990年到2000年人口的平均变化率为 （万人/年） 2000 1990
（4）[1，1.001]。
总结 1.f(x)在区间[x1，x2]随x变化的快慢可用f(x)的平均 变化率来刻画. 2. f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x) 在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡 峭程度是平均变化率的“视觉化”．
3. f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是在其局部 区间上f(x)随x变化的快慢以及曲线y=f(x)陡峭程 度的一种粗略刻画.