二次函数与三角形最大面积的3种求法

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二次函数与三角形最大面积的 3种求法

一 •解答题(共7小题)

2

1. (2012?广西)已知抛物线 y=ax +2x+c 的图象与x 轴交于点A (3, 0)和点C ,与y 轴交于点B (0, 3). (1) 求抛物线的解析式； (2)

在抛物线的对称轴上找一点 D ，使得点D 到点B 、C

的距离之和最小，并求出点 D 的坐标；

(3)

在第一象限的抛物线上，是否存在一点 P ,使得△ ABP 的

面积最大？若存在，求出点

P 的坐标；若不

为(3, 0).

(1 )求a 的值和抛物线的顶点坐标；

(2 )分别连接AC 、BC •在x 轴下方的抛物线上求一点 皿，使厶AMC 与厶ABC 的面积相等; (3)设N 是抛物线对称轴上的一个动点，

d=|AN - CN| .探究：是否存在一点 N ，使d 的值最大？若存在,

请直接写出点N 的坐标和d 的最大值；若不存在，请简单说明理由.

3. (2011?茂名)如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线经过点 A (0, 4), B (1, 0) , C (5, 0),抛

物线对称轴I 与x 轴相交于点M . (1 )求抛物线的解析式和对称轴；

(2) 点P 在抛物线上，且以 A 、0、M 、P 为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写 出点P 的坐标； (3)

连接AC •探索：在直线AC 下方的抛物线上是否

A 和点

B ,与y 轴交于点

C ,已知点B 的坐标

'•一与X 轴交于点

存在一点N，使△ NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由.

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\

-

\

4. （2012?黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A （0, 4）, B （1, 0） , C （5, 0）,

抛物线的对称轴I与x轴相交于点M .

（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；

（2）设点P为抛物线（x > 5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；

（3）连接AC,探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△ NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

一2

5. （2013?新疆）如图，已知抛物线y=ax +bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线I与抛物线交于点C, 其中A 点的坐标是（1, 0） , C点坐标是（4, 3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△ BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不

存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ ACE的最大面积及E点的坐标.

2

y= - x +bx+c 与x 轴交于A (1, 0), B (- 3, 0)两点.

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(1 )求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q ,使得△ QAC 的周长最小?

若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由; (3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 卩，使厶PBC 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标

及厶PBC 的面积最大值；若没有，请说明理由.

:\ C

V

1

1

h R

2

7 .如图，已知二次函数 y=ax +bx+c 经过点A (1, 0), C (0, 3),且对称轴为直线 x= - 1.

(1 )求二次函数的表达式；

P 的坐标.

3),

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参考答案与试题解析

一 •解答题（共7小题）

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1. （2012?广 解：（1）：抛物线y=ax +2x+c 的图象经过点 A （3, 0）和点B （0, 西）解答：...輕+6+匚二0,解得a=- 1, c=3,

lc=3

2

.抛物线的解析式为：y= - x +2x+3 .

（2）对称轴为x=-上=1,

2a

2

令 y= - x +2x+3=0，解得 x i =3, x 2= - 1,. C （- 1, 0）.

如图1所示，连接AB ，与对称轴x=1的交点即为所求之 D 点，由于 称，则此时 DB+DC=DB+DA=AB 最小.

设直线AB 的解析式为y=kx+b ，由A （3, 0）、B （0, 3）可得： /

3k+b=0

，解得 k= - 1, b=3,

'b=3

•••直线AB 解析式为y= - x+3 . 当x=1时，y=2,. D 点坐标为（1, 2）.

(3)结论：存在.

如图2所示，设P (x , y )是第一象限的抛物线上一点，

过点 P 作 PN 丄 x 轴于点 N ，则 ON=x , PN=y , AN=OA - ON=3 - x . S A ABP =S 梯形 PNOB +S A PNA - S ^AOB

_1 2

=1 =2 =3 =2

A 、C 两点关于对称轴对 (OB+PN ) ?ON+ PN?AN 2 (3+y ) ?x+^y? (3 - x )- (x+y )-:

-：OA ?O B —>3 X3

••• P (x , y )在抛物线上，•

o

3 /

、

9 3 S A ABP =— (x+y )- 一 =-.

y= - x 2+2x+3，代入上式得：

(x - 3x ) =- _ ( x --) +

,

•••当 x= ,S ^ ABP 取得最大值.

当 x =时 y = - x2+2x+3=］」P (「：).

所以，在第一象限的抛物线上， 存在一点P ,使得△ ABP 的面积最大;