概率论与数理统计第三章

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则称(X,Y)是连续型的二维随机变量, 函数f(x,y) 称为二维随机变量(X,Y)的概率密度, 或称为随 机变量X和Y的联合概率密度.
15
按定义, 概率密度f(x,y)具有以下性质:
1, f(x,y)0.
2,
f (x, y) d x d y 1.
- -
3, 设G是xOy平面上的区域, 点(X,Y)落在G内
4
一般, 设E是一个随机试验, 它的样本空间是 S={e}, 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机 变量, 由它们构成的一个向量(X,Y), 叫做二维 随机向量或二维随机变量.
X(e) e S
Y(e)
5
定义 设(X,Y)是二维随机变量, 对于任意实数 x,y, 二元函数:
记成
F(x, y) P{( X x) (Y y)} P{X x,Y y}
的概率为
P{( X ,Y ) G} f (x, y) d x d y. (1.3)
G
4. 若f(x,y)在点(x,y)连续, 则有
2F (x, y) f (x, y).
xy 16
由性质4, 在f(x,y)的连续点处有
P{x X x Δ x, y Y y Δ y}
lim
Δ x0
Δ xΔ y
0
1/12
1/16
4
0
0
0
1/16
12
将(X,Y)看成一个随机点的坐标, 则离散型随机 变量X和Y的联合分布函数为
F(x, y) pij, xi x y j y
(1.2)
其中和式是对一切满足xix,yjy的i,j来求和的. 补充例题:
求例1中随机变量X和Y的联合分布函数.
解:由例1 所求的随机变量X和Y的联合分布律 得随机变量X和Y的联合分布函数为:
8
一. (X,Y)是二维离散型的随机变量 如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的 不相同的值 是有限对或可列无限多对, 则称(X,Y)是离散型的随机变量. 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取 的值为(xi,yj), i,j=1,2,...,记P{X=xi, Y=yj}=pij, i,j=1,2,..., 则由概率的定义有
y2
y1 x1
x2
x
7
分布函数F(x,y)具有的基本性质:
1, F(x,y)是变量x和y的不减函数, 即对于任意 固定的y, 当x2>x1时F(x2,y)F(x1,y); 对于任意 固定的x, 当y2>y1时F(x,y2)F(x,y1). 2, 0F(x,y)1, 且 对于任意固定的y, F(-,y)=0, 对于任意固定的x, F(x,-)=0, F(-,-)=0, F(+, +)=1. 3, F(x,y)关于x和关于y都右连续. 4, 任给(x1,y1),(x2,y2), x1<x2, y1<y2, F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数, 或称为随 机变量X和Y的联合分布函数.
y (x,y)
O
x
6
易知, 随机点(X,Y)落在矩形域 [x1<Xx2, y1<Yy2]的概率为 P{x1<Xx2, y1<Yy2}
=F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2). (1.1)
y
pij 0,
pijFra Baidu bibliotek 1.
i1 j1
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称P{X=xi, Y=yj}=pij, i,j=1,2,...,为二维离散型随 机变量X和Y的分布律, 或随机变量X和Y的联 合分布律. 也可用表格表示X和Y的联合分布律:
X
Y
x1
x2
...
xi
...
y1
p11
p21
...
pi1
...
y2
p12
p22
...
当x 4且1 y 2
当x 4且2 y 3
当x 4且3 y 4
当x 4且y 4
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二. (X,Y)是二维连续型的随机变量 与一维随机变量相似, 对于二维随机变量(X,Y)
的分布函数F(x,y), 如果存在非负的函数f(x,y)使对于 任意x,y有
yx
F(x, y)
f (u,v) d u d v,
pi2
...
...
...
...
...
...
yj
p1j
p2j
...
pij
...
...
...
...
...
...
...
10
例1 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能 地取一个值, 另一个随机变量Y在1~X中等可 能地取一整数值. 试求(X,Y)的分布律.
解 由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律, 易知 {X=i,Y=j}的取值情况是: i=1,2,3,4, j取不大于i 的正整数, 且
概率论与数理统计
福建师范大学福清分校数计系
1
第三章 多维随机变量及其分布
第1讲
2
§1 二维随机变量
3
在实际问题中, 对于某些随机试验的结果需要 同时用两个或两个以上的随机变量来描述. 例如, 为了研究某一地区学龄前儿童的发育情 况, 对这一地区的儿童进行抽查, 对于每个儿 童都能观察到他的身高H和体重W. 在这里, 样 本空间S={e}={某地区的全部学龄前儿童, 而 H(e), 和W(e)是定义在S上的两个随机变量. 又 如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵 坐标来确定, 而横坐标和纵坐标是定义在同一 个样本空间的两个随机变量.
Δ y0
1
lim
[F(x Δ x, y Δ y) - F(x Δ x, y)
Δ x0 Δ xΔ y
Δ y0
- F(x,
y Δ
y) F (x, y)]
2F (x, y) xy
f
(x, y).
17
这表示若f(x,y)在点(x,y)处连续, 则当Dx,Dy 很 小时 P{x<Xx+Dx, y<Yy+Dy}f(x,y)DxDy, 即(X,Y)落在小长方形(x,x+Dx](y,y+Dy]内的概 率近似等于f(x,y)DxDy. 在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面, 由性质 2知, 介于它和xOy平面的空间区域的体积为1, 由性质3, P{(X,Y)G}的值等于以G为底, 以曲 面z=f(x,y)为顶面的柱体体积.
13
0
1
4
3
8
4
8
11
24
F
X
,Y
16
24
18
24 25
48
38
48
45
48
1
当x 1或y 1 当1 x 2且y 1
当2 x 3且1 y 2
当2 x 3且y 2
当3 x 4且1 y 2
当3 x 4且2 y 3
当3 x 4且y 3
P{X
i,Y
j} P{X
i}P{Y
j|X
i}
1 4
1 i
,
i 1,2,3,4, j i.
11
P{X
i,Y
j}
P{X
i}P{Y
j|
X
i}
1 4
1i ,
i 1,2,3,4, j i.
于是(X,Y)的分布律为
Y
X1
2
3
4
1
1/4
1/8
1/12
1/16
2
0
1/8
1/12
1/16
3
0