5.1切比雪夫不等式

P{| X | 4 } 1 91 0.9375 .
16
(2) 切比雪夫不等式也从另一角度体现了方差D(X)
的意义。从切比雪夫不等式可以看出，随机变量
X的方差越小，则X的取值越集中在其中心E(X)的
附近。方差越小，X取值越集中在区间(E(X)-ε,
E(X)+ε)之内。
(3)可以证明方差性质
P{450 X 550} P{| X 500 | 50}

P{|
X

E(
X
)
Leabharlann Baidu|
50}

1

D( X 502
)

1

250 2500

0.9
• 例 随机地掷六颗骰子 ，试利用切比雪夫 不等式估计：六颗骰子出现的点数总和 不小于9且不超过33点的概率。
• 解：设 表 示 六 颗 骰 子 出 现 的 点 数 总 和。
例一台设备由10个独立工作的元件组成,每一元件 在时间T发生故障的概率为0.05．设在时间T发生 故障的元件数为X.试用切比雪夫不等式估计随机 变量X与其数学期望的偏差（若不对称？） （a）小于2；(b)不小于2的概率． 解 （a）由题意知X~b(10, 0.05)，且
E(X)=0.5 D(X)=0.475
由切比雪夫不等式，得 P{| X - 0.5 | 2} 0.88125
(b) P{| X - 0.5 | 2} 0.11875
• 例 在每次试验中，事件A发生的概率为 0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000 次独立试验中，事件A发生的次数在450 至550次之间的概率.
• 解：设表示1000次独立试验中事件A发生 的次数，则 E(X ) 500, D(X ) 250
P{|X

|


}


2 2
P{|
X


|

}

1


2 2
--------切比雪夫(chebyshev)不等式．
证明:（X为连续型） 设X的概率密度为f(x)，则
P{| X - | } f ( x)dx
(x )2
f ( x)dx
| x |
|x| 2
5.2.4切比雪夫不等式
• 数学期望E(X)反映了随机变量X的平 均值，而方差D(X)刻画了随机变量X的 取值对数学期望E(X)的离散程度。
• 在已知E(X) 、D(X)的情况下，可以利 用切比雪夫不等式近似估计随机变量的 概率分布。
切比雪夫不等式
定理 设随机变量X的数学期望E(X)= ,
方差D(X)=2, 则对任意的正数，有
i，表 示 第 i 颗 骰 子 出 现 的 点 数 ，
i = 1，2，…，6 1， 2， … ，6
相互独立，显然
6
i
i1
Ei

1 1 2 3 4 5 6
6
7 2
Di

1 6
12
22

62
49 35 4 12
E 21 D 35
1 2

(x )2

f ( x)dx

D(X)
2

2 2
意义：切比雪夫不等式
P{|
X


|
}1
2 2
(1)这个不等式给出了在随机变量X的分布未知的情
况下事件 |x-μ|<ε的概率的一种估计方法。例如
:
P{| X | 3 } 1 1 0.8889;
2