微积分31 中值定理洛必达法则与泰勒公式

(或 )
f (x0 ) 0
即：可导的极值点处，导数为零
费马定理的几何解释
y
如
P
何 证
y f (x)
明
？
a
O
x0
bx
费马
Pierre de Fermat (1601－1665)
费马，法国数学家. 出身于一个商人 家庭. 他的祖父、父亲、叔父都从商. 他 的父亲是当地的第二执政官, 经办着一个 生意兴隆的皮革商店.
费马毕业于法国奥尔良大学，以律师 为职. 曾任图卢兹议会会员, 享有长袍贵 族特权. 精通 6 种语言. 业余爱好数学并 在数论、几何、概率论、微积分等领域内 作出了创造性的工作.
1637年费马研究丢番图的《算术》时, 写下了著名的
费马大定理 :
不存在满足 xn yn zn (n 2) 的正整数 x, y, z . 费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡” .
F ( x) C[a, b] , F ( x) 在 (a, b) 内可导 ,
又 F (a) F (b) a2 f (b) b2 f (a)
由罗尔定理, 至少存在一点 (a, b) 使得 F( ) 2 ( f (b) f (a)) (b2 a2 ) f ( ) 0
即 方程在 (a, b) 内至少有一根 .
费马(Fermat)引理的证明
y f ( x)在 ( x0 ) 有定义 ,且 f ( x ) f ( x0 ) (或 f ( x ) f ( x0 ) ),
f (x0 ) 存在
f (x0 ) 0
证: 设 x0 x ( x0 ) , f ( x0 x) f ( x0 ) ,
则
f (x0 )
证 f (x) C( [a, b],[b, c] ) ,又 f (a) f (b) f (c) 0 , f ( x) 是三次多项式, 故它在 ( , ) 内可微,
分别在 [a, b] ,[b, c] 上运用罗尔中值定理 , 得 f (1) f (2 ) 0 . 其中, 1 (a, b) , 2 (b, c) . 即 f ( x) 0 至少有二个实根 .
则至少存在一点
(a, b) , 使得 f ( ) 0 .
罗
y
尔
定
理
Байду номын сангаас
y f (x)
的
几
何 意
A
B
义
Oa
bx
实际上, 切线与弦线 AB 平行.
证 f (x) C([a, b])
f (x) 必在 [a, b] 上取到它的最大值、
最小值至少各一次.
令 M max f (x) , x[a, b]
Q f ( x) 是三次多项式 , f ( x) 是二次多项式 ,
f ( x) 0 至多有二个实根 .
f ( x) 0 仅有二个实根
例3 设 f (x)C([a, b]) , 在 (a, b) 内可导, 证明 2x ( f (b) f (a)) (b2 a2 ) f (x)
在 (a, b) 内至少有一根 . 证 令 F (x) x2 ( f (b) f (a)) (b2 a2 ) f (x) 则由 f (x) 的连续性和可导性 , 得
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
f ( x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) 0 ,
f ( x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) 0 ,
f (x0 ) 0
二. 罗尔中值定理
定理 设 (1) f (x) C([a, b]) ; (2) f (x) 在 (a, b) 内可导 ; (3) f (a) f (b) ,
例4. 证明方程 x5 5x 1 0
有且仅有一个小于1 的正实根 .
证: 1) 存在性 . f ( x ) x 5 5 x 1 , f (0) 1, f (1) 3. x0 (0 ,1) , 使 f ( x0 ) 0,
即方程有小于 1 的正根 x0 .
2) 唯一性 .
假设另有 x1 (0 , 1) , x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0 ,
在 x0 , x1 之间至少存在一点 , 使 f ( ) 0.
但 f ( x) 5( x 4 1) 0, x 0,1 矛盾.
故 f (x) 不能同时在 x a 和 x b 处分别取到M和m .
即至少存在一点 (a, b), 使得 f ( ) M 或 f ( ) m.
该点是极值点，由费马定理可知：
f ( ) 0 (a, b) .
注意:
1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.
例如
f
(
x)
x, 0 ,
0 x1 x 1
y o
y
1x
y
f (x) x
f (x) x
x [1,1]
1 o
1x
x [0,1] o
1x
2) 定理条件只是充分条件
例1 f (x) x2 2x 3 验证它在区间[1，3]上满足罗尔定理.
证 Q f ( x) x2 2x 3,它是多项式，所以连续可导 且f (x) x2 2x 3 (x 1)(x 3),
第三章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理
一. 罗尔中值定理 二. 拉格朗日中值定理 三. 柯西中值定理
微
罗尔中值定理
分
中 值
拉格朗日中值定理
定
理
柯西中值定理
一、费马(Fermat)引理
y f (x) 在 ( x0 )有定义,
且 f (x) f (x0 ) , f (x0 ) 存在
(1) 若 M m
m min f (x) x[a, b]
m f (x) M x [a, b]
f (x) m x [a, b]
故 (a, b) , 均有 f ( ) 0 .
(2) 若 m M (即 M m) f (x) C([a, b]) f (x) 必在 [a, b] 上取到它的最大值、 又 f (a) f (b) ,
f ( x) 在区间端点处 f (1) 0, f (3) 0
所以函数在[-1,3]上满足罗尔定理的3个条件.
在[1，3]中有一点，使得f ( ) 0 . 事实上 Q f ( x) 2x 2 2( x 1)， f (1) 0
例2 设 a, b, c 皆为实数, a b c,
f (x) (x a)(x b)(x c) , 证明方程 f ( x) 0 仅有二个实根, 并指出根所在区间 .