函数的正交系

函数的正交系（1）
1.向量及其内积
一个k维复向量是由k个有序复数组成的，即
复向量的加法与标量乘法与实向量相同，且标量可以为复数，即
同时，零向量 记为 ，k维复向量空间记为 。
两个向量的内积定义为
同时，向量的内积还是厄米对称的，即
向量的模定义为
都有
对上式简要证明如下：
根据向量的内积和向量的模的定义有
由于对于任意复数
若一个向量集合中的所有向量都两两垂直且归一化，则称这些向量为归一正交系。
向量系 是正交归一的，当且仅当
其中 称作克罗内克符wk.baidu.com（Kronecker symbol）
时
时
任意正交系 中的所有向量都是相互独立的，即下式
当且仅当 时才成立。
假设 是 上的一个正交归一系，若对于向量 可以表示为 的线性组合，即
将等式两边同时与 做内积可得
其共轭复数为
因此
其中，Re为复数的实数部分，所以
柯西-施瓦茨不等式： 都有
三角不等式： 都有
毕达哥拉斯定理：若 且两两正交，即
则有：
补充术语
若向量 ，则称其为归一化的，或称为单位向量。任意一个非零向量可以通过除以其自身的模进行归一化，即
若一个向量集合中的所有向量都非零且两两垂直，则称这些向量为正交系；
因此，若 是 上的一个正交归一系，则对于 都有
此外，由毕达哥拉斯定理可得
2.函数及其内积
根据向量的内积及模的定义，将其中的求和运算变换为积分运算，就得到了函数的内积和模的定义，即
对于向量成立的柯西-施瓦茨不等式、三角不等式、毕达哥拉斯定理在将其中的求和运算改为积分运算后，对于函数也同样成立，即
当 时
函数
其中，n为整数。考虑上述函数在逐段连续空间 中的情形，即
当n=m时，
当n≠m时，
因此， 是一个正交归一系。
若 是逐段连续空间 上函数f的傅里叶系数，则由傅里叶系数的定义有
所以
即f的傅里叶级数可以展开为关于正交归一系 的和式。