构造等效图形巧求阴影部分的面积

构造等效图形巧求阴影部分的面积

通过旋转、平移、对称、拼图等方法，巧构造阴影部分的等效图形，把不规则图形面积求解问题转化成规则图形面积的求解问题。从而提高解题的灵活性。笔者就此抛一块砖以期引玉。

一、等效图形是半圆-直角三角形

例1、如图1所示，⊙O 的半径为5cm ，弦AB=6cm ，CD=8cm ，求图中阴影部分的面积。

分析：将弓形CD 旋转，使CD 中的端点C 与B 重合，易得三角形ACD 是直角三角形。所以，阴影部分的面积就等于半圆的面积减去三角形ACD 的面积。 解：如图2，将弓形CD 旋转，使CD 中的端点C 与B 重合， 因为⊙O 的半径为5cm ，所以AD=10 cm ， 又因为弦AB=6cm ，CD=8cm ，2

2

2

8610+=， 所以三角形ACD 是直角三角形，

所以，阴影的面积为：242

25862152

1

2

-=??-

?ππ（cm 2）。 二、等效图形是半圆环

例2、如图3所示，从大半圆中剪去一个小半圆，小半圆的直径在大半圆的直径MN 上 ，点O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB ∥MN 。已知AB=24cm ，求阴影部分的面积。

分析：阴影部分的面积是不规则图形，可以通过平移小半圆，将不规则图形面积转化成规则图形面积-------半圆环。

解：设大半圆、小半圆的半径分别为R 、r ，平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，如图4所示。作OC ⊥AB ，垂足为点C ， 则AC=BC=12cm ，连接OB ，在Rt △OCB 中，

2

2212=-r R ，

如图4

B

N

M

o

所以S 阴影=ππ72)(2

1

2

2=-r R （cm 2

）。

三、等效图形是矩形

例3、如图5所示，扇形AOB 的圆心角为90°，四边形OCDE 是边长为1的正方形，点C 、E 、D 分别在OA 、OB 、弧AB 上，过点A 作AF ⊥ED ，交ED 的延长线于点F ，求图形中阴影部分的面积。

分析：阴影部分的面积是不规则图形，可以通过绕点D ，顺时针旋转阴影DEB ，将不规则图形面积转化成规则图形面积-------矩形ACDF 。

解：如图6，将阴影DEB 绕点D ，顺时针旋转，得到矩形ACDF 。 因此阴影部分的面积就是矩形ACDF 的面积。 连接OD ，在Rt △OCD 中，根据勾股定理得：

222OD CD OC =+，

所以21122=

+=OD ，

所以，AC=OA-OC=12-， 所以阴影部分的面积

=矩形ACDF 的面积=AC ×CD=12-。

四、等效图形是扇环

例4，如图7所示，将圆心角为90°的扇形AOB 和扇形COD 叠放在一起，连接AC 、BD 。已知OA=3cm ，OC=1cm ，求图形中阴影部分的面积。

分析：阴影部分的面积是不规则图形，可以通过绕点O ，逆时针旋转扇形COD ，将不规则图形面积转化成规则图形面积------扇环ACDB 。

解：如图8，将扇形COD 绕点O ， 逆时针旋转，得到扇环ACDB 。

因此阴影部分的面积就是扇环ACDB 的面积。 所以，阴影部分的面积=扇环ACDB 的面积

=πππ2360

1903603902

2=??-??（cm 2）。

五、等效图形是扇形

例5如图9所示，⊙O 的直径为AB=10cm ，弦CD=EF=5cm ，且CD ∥EF ∥AB ，P 为AB 上的一点，求图中阴影部分的面积。

分析：阴影部分的面积是不规则图形，可以通过等积变形，将不规则图形面积转化成规则图

形面积-------扇形。

解：如图10，因为CD ∥EF ∥AB ，所以三角形PCD 的面积

等于三角形OCD 的面积，

所以直径AB 左侧的阴影部分的面积就等于扇形OCD 的面积，

又因为直径AB=10，

所以OC=OD=CD=5，所以三角形OCD 是等边三角形，

所以扇形OCD 的面积=6

253605602π

π=?? （cm 2）。

根据圆的对称性知，直径右侧阴影部分的面积也是6

25π

（cm 2）。 所以整个阴影部分的面积为：

3

25π

（cm 2）。 六、等效图形是半圆

例6如图11，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD 、EF 均和x 轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过C 、E 和D 、F ，则图中阴影部分的面积为 。

分析：阴影部分的面积是不规则图形，但是可以利用抛物线与圆的对称性进行等积变形，将不规则图形面积转化成规则图形面积-------半圆。

解：如图12，利用抛物线与圆的对称性进行等积变形，将不规则图形面积转化成规则图形面积-------半圆，并且圆的半径为1。因此阴影部分的面积就是半圆的面积。

所以，阴影部分的面积=半圆的面积

=2

2112π

π=??（cm 2）。

七、等效图形是圆

例7 如图13，正比例函数与反比例函数的图像相交于A 、B 两点，分别以A 、B 两点为圆心画与y 轴相切的两个圆，若A （2，3），则图中阴影部分的面积为 。

分析：阴影部分的面积是不规则图形，但是可以利用双曲线、正比例函数与圆的对称性进行等积变形，将不规则图形面积转化成规则图形面积-------圆。

解：如图1４，利用双曲线、正比例函数与圆的对称性进行等积变形，将

不规则图形面积转化成规则图形面积-------圆。又因为A （2，3），且与y 轴相切，

所以圆的半径为２。因此阴影部分的面积就是圆的面积。 所以，阴影部分的面积=圆的面积=ππ422

=?=。

所以应该填４π。

例８，如图１５，六个等圆分别按照下列三种方式放置，第一种放置方式阴影部分的面积记作Ａ，第二种放置方式阴影部分的面积记作Ｂ，第三种放置方式阴影部分的面积记作Ｃ，则Ａ、Ｂ、Ｃ之间的大小关系为： Ａ）Ａ＞Ｂ＞Ｃ Ｂ）Ａ＜Ｂ＜Ｃ Ｃ）Ａ＝Ｂ＝Ｃ Ｄ）Ａ≥Ｂ＞Ｃ

分析：阴影部分的面积是规则图形，都是扇形，但是直接去求解，比较烦琐。我们不妨退而求空白，反而比较容易，因为它们的半径相等，只需求出它们所包含的圆心角的度数，就可以求出空白部分的面积，利用总面积减去空白的面积就是各自阴影部分的面。后进行大小比较。

解：因为六个圆的半径Ｒ相等，所以圆的总面积为６2

R π；因为第一种放置方式中空白部分所包含的圆心角的度数是７２０°，即拼成了两个圆，如图1６，所以空白部分的面积为２2

R π，所以Ａ＝６2

R π－２2

R π＝４2

R π；

同理，第二种放置方式、第三种放置方式中空白部分所包含的圆心角的度数也

都是７２０°，即也是拼成了两个圆，，所以空白部分的面积为２2

R π，所以Ｂ＝Ｃ＝６2

R π－２2

R π＝４2

R π；

所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ，因此应选Ｃ。