第二章 预备知识

第二章预备知识

非线性系统分析

()()u x g x f x

+=& 如何分析非线性系统？

一般得不到解析形式的解

通过解的几何特征或代数特征来研究非线性系统的动态变化规律性系统的动变化规律

解的状态空间：多变量函数曲面l k R

R → 如何得到解的几何或代数特征？

非线性Î线性系统的形式

重点概念

微分同胚

李括号，李导数

分布对合分布协分布 分布，对合分布，协分布 伏柔贝尼斯定理

微分同胚：如果X到Y的映射f是一个同胚映射，且f和其逆映射f-1均是光滑的，则称x到y的映

射是微分同胚的

同胚映射：一一对应的连续映射，同时其逆

映射也是连续的。

微分同胚本质上是线性代数或线性系统理论

中线性变换的进一步推广。

李括号和李导数

－用向量场定义非线性系统分析中两个最重要的运算

用向量场定义非线性系统分析中两个最重要的运算 李导数的概念

实质：函数h在向量场x方向的变化率

李括号的概念

从多变量的角度理解李括号和李导数，从

而很容易看出这两种运算的具体形式

李括号的三大性质

∂∂=m h f h ()()()∑=x f x x h L

1m

李括号的三种性质

分布

给定一组光滑向量场定义其分布

,,,,21m X X X K = span { })(x Δm

X X X ,,,21K 其中span 表示张成的意思，也即是由经过线性组合形成的子空间，其元素可表为下列形式

)(x Δm X X X ,,,21K )

()()(2211x X x X x X m m ααα+++L 其中所有均为纯量。

i α

正则分布

X(x)是由（）定义的矩阵m X X X ,,,21K 如果秩在x 的一个邻域内是常数，则称x 为分布的正则点否则称为是奇异点)(x m 分布的正则点，否则称为是奇异点。

如分布在每一个点是正则的，称分布是正则的。

对合分布

若对Δ(x)的任何两个向量场τ

1ττ

1

若对()的任何两个向量场

1，2均有[

1，

τ

2

]∈ Δ(x)，则称Δ(x)为封闭的

对合性：即向量函数在李括号运算内封闭性的判断

判断

判断：

求所有基向量的两两之间的李括号运算

判断李括号运算后是否仍在原空间，即运算是否具有封闭性

协分布：以Δ(x)的零化子为基构成的分布Ω＝Δ⊥；ωf≡0其中ω∈Ωf∈Δ

ΩΔ；ωf0,其中ω∈Ω,f ∈ Δ

对于本例中的向量函数集合，容易求得具有)(x Λ形式

()T

223312330)3(4 ,8 ,2)()(x x x x x x x x −−=ΛΛ(2.30)

其中是适当的连续光滑函数，称之为积分因子(对于多维情形，相应地为一非奇异矩阵)，其条)(0x Λ选取必须确保满足可积性必要条件(2.29)。

)(x Λ