矩阵位移法(单元分析)

e

0 12i / l 2 6i / l 0 12i / l 2 6i / l
0 6i / l 4i 0 6i / l 2i
0 6i / l
单元刚度矩阵退化
1. 桁架（杆）单元 退化后的单元刚度 e 矩阵是否可逆？力 F e 0 1 0 u 1 1 x1 e e 学含义是什么？ 0 0 0 EA 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
1 1
0 0 0 1 0 0
1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
2 90
0 1 0 2 T 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
7.３ 整体坐标下的单元刚度矩阵
1.问题的提出
局部坐标系下的杆端力 2.整体坐标系下的杆端力与 局部坐标系下的杆端力之 间的关系 x y 2 y e
Fxe
Fy Me
e x
1

e
e
整体坐标系下的杆端力
x
F
M Fye
e e Fxe Fxe cos Fye sin 简记为: F t F 1 1 e e e e e Fy Fx sin Fy cos F t F 2 2 e e e e e M M F t 0 F 1 1 e e Fx cos sin 0 Fx F 2 0 t F 2 Fy sin cos 0 Fy e e e M 1 0 F T F 0 1 M 1
再令:
v 1 , 其它=0
e k15 0
e k45 0
e 2 k 12 i / l k 12i / l 55
e 2
e 25
2
e e 6i / l k35 6i / l k65
当:
1 , 其它=0
e k13 0
e k43 0
e k53 6i / l e k63 2i e 1
0 12i / l 2 6i / l 0 12i / l 2 6i / l
e 1 e x2
0 6i / l 4i 0 6i / l 2i
e y2
EA / l 0 0 EA / l 0 0
e 2
0 12i / l 2 6i / l 0 12i / l 2 6i / l
F F
e eT
其中 k T k T e
e
----整体坐标系下的单元刚度矩阵 (简称整体单刚)
例:
解:
1 0
1 0 0 1 T 0 0 0
1 1T
1
2
l
l
0.5 0 0 0.5 0 0 0 1 6 0 1 6 0 6 48 0 0 24 1 2 k k 0 . 5 0 0 0 . 5 0 0 0 1 6 0 1 6 6 24 0 6 48 0
e
e

e x1
u

F
e y1
M
F
F
M
e 1
v
e 1

e 1
u
e 2
v
e 2

e 2


0 6i / l 2i 0 6i / l 4i
T
T
用单元刚度矩阵表示的力学特性为:
F k
e
e
e
单元刚度矩阵的性质
1. 刚度系数的物理意义： ２.对称矩阵 ３.奇异矩阵
若令:
1
u 1 , 其它=0
e e k11 EA / l k41 EA / l e e k51 0 k21 0
e 1
k
e 11
l , A, EI e e u1 1
2
k
e 41
EA / l e e k61 0 k31 0 0 0 e 再令: k e EA / l u 2 1 ,其它=0 0 e e k14 EA / l k44 EA/ l 0 e e
第七章 矩阵位移法
主要内容：
• • • • • • 概述 局部坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵 整体刚度矩阵 等效结点载荷 计算步骤与算例
7.1 概述
矩阵位移法是结构矩阵分析方法的一种. 以结点位移为基本未知量，借助矩阵进行分 析，并通过计算机编程解决各种杆系结构受 力、变形等计算的方法。 理论基础：位移法 分析工具：矩阵论 计算手段：计算机技术
T的正交性
T
1
T
T
或
T T TT I
T T
对于结点位移有:
F T F
e eT eT eT e e e
e
T
F k
e
e
e e
3.整体坐标系下的单元刚度矩阵
e e
T k
e
T e e
T k T e e
F e k e e
----整体坐标系下的单元刚度方程
k k
11 21
12
1 22 2
EA / l 0 0 EA / l 0 0 0 12i / l 2 6i / l 0 12i / l 2 6i / l
e u 1 e பைடு நூலகம் v1e 2i 1 e 0 u 2 e 6i / l v 2 e 4i 2
1 0
k T k T k
例:
2
1
l l
1 1T 1 1 1
解:
k T k T k 利用物理意义求2单 2 90 元整体单刚所有元素 . 2 2T 2 2 k T k T 怎样进行?
0 6 1 0 6 1 0 0 . 5 0 0 0 . 5 0 6 0 48 6 0 24 0 6 1 0 6 1 0 0. 5 0 0 0. 5 0 0 24 6 0 48 6
e 1
e k23 6i / l
k 4i 当:
e 33
1 l , A, EI 1
k
e 33
2
k
e 63
1 , 其它=0
e k16 0
e k46 0
e k56 6i / l
e 2
k
e 23
e
k
e 53
e k26 6i / l
k 2i
e 36
e k66 4i
EA / l 0 0 e k EA / l 0 0
基本思想: •化整为零
5
6
3
2
6
------ 结构离散化
将结构拆成杆件,杆件称作单元. 单元的连接点称作结点. 对单元和结点编码.
2
3
5
4
1
1
4
•单元分析基本未知量:结点位移
单元杆端力
单元杆端位移
------ 整体分析
e
•集零为整
结点外力
单元杆端力 结点外力 单元杆端位移
(杆端位移=结点位移) 结点外力
k12
k13
EA / l k15 0 0 EA / l 0 0 k 25 k35 k 45 k55 k65

k 22 k 23 k32 k33 k 42 k 43 k52 k62 k53 k63
k24 0
e 34
k54 0
k16 k 26 k36 k 46 k56 k66
2.整体坐标系下的杆端力与 其中 0 0 0 局部坐标系下的杆端力之 cos sin 0 sin cos 0 间的关系 0 0 0 x 0 0 1 0 0 0 y 2 e y T e F2 0 0 0 cos sin 0 e F3e 1 0 0 0 sin cos 0 e x F1 e 0 0 0 0 1 0 F3 e F1e F2 单元 e 的坐标转换矩阵
例
2
1
l l
已知: EI 12 12
EA 6; l 12
求:各局部坐标下的单元单刚
解: EA/ l 6,12i / l 2 1, 6i / l 6,2i 24,4i 48
0.5 0 0 0.5 0 0 0 1 6 0 1 6 0 6 48 0 0 24 1 2 k k 0.5 0 0 0.5 0 0 0 1 6 0 1 6 6 24 0 6 48 0
二.单元分析
y
e 1

e 2
k12 k 22 k32 k 42 k52 k62
k13 k 23 k33 k 43 k53 k63
k14 k 24 k34 k 44 k54 k64
k15 k 25 k35 k 45 k55 k65
e k16 u1 e k 26 v1 e k36 1 e k 46 u 2 e k56 v 2 e k66 2
k k
k
e
e
eT
0
单元刚度矩阵的分块表示
k F 1 F 2 k
Fxe EA / l 1 Fe 0 y1 e M 1 0 e Fx 2 EA / l Fye2 0 e 0 M 2
6
2 1
3
5
4 （10,11,12）
3 （7,8,9）
4
Y X
1 （1,2,3）
2 （4,5,6）

e e e e e F 1 u1 M e 2 v2 M 1 e e e F 1 2 u2 l , A , EI v 1 v 2 1 e e ex e e F F e x2 e M e 3 1 x1 F e F y2 e e F e y1 e u1 4 u 2 Fx 2 e 5 ve 单元杆端力和单元杆端位移 单元杆 F e 单元杆 2 y2 e 端力 e 端位移 e 的方向与局部坐标系一致为正. 2 6 M 2
k 0
e k64 0
若令:
v 1 , 其它=0
k 0
e 12 e 22 2
e 1
v 1
k
e 32
e 1
1
k 0
e 42
k
e 22
l , A, EI e
2
k
e 62 e 52
k
e 2 k 12 i / l k 12i / l 52
e k32 6i / l
e k62 6i / l
结点位移
7.2 局部坐标下的单元刚度矩阵
一.离散化
将结构离散成单元的分割点称作结点. 结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等 整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。 坐标系:整体(结构)坐标系; 局部(单元)坐标系. 曲杆结构:以直代曲. 变截面杆结构:以等截面杆 代变截面杆 6 5 （13,14,15） （16,17,18）
F y1 e l 1 F x2 F e 0 y2 0 0 1 0 v1 e 0 u 2 e 0 v 2
２．纯弯曲梁单元 矩阵位移法的基本 e e 4 i 2 i ? M 1 体系是什么 1 e e M 2 2i 4i 2
e x1 e y1 e 1 e k11 F x1 单元分析的目的: Fe 建立单元杆端力和 y1 k 21 e 单元杆端位移的关系. M 1 k31 e e e e Fx 2 k 41 F k Fye2 k51 e k61 M 2