利息理论课件05 金融课件
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2000 3000 4000 2.5
解:每年结转4次利息的年名义利率为5%,所以年实际利率 为 i=(1+ 0.05 )4 1 0.05095
4 直接应用上式可得 t ln 4000 ln 2000
ln(1 0.05095) 13.948
二、72规则(本金翻番的条件)
(1 i)t 2
t ln 2 ln(1 i)
1 i ln 2 i ln(1 i)
t 1.7454ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设借款人在时间t1, t2 ,..., tn分别需要偿还金额 x1, x2 ,..., xn , 如果他一次性支付x1 x2 ... xn 还清贷款, 应该在何时偿还 ? 这个问题的恒等式为:
x1vt1 x2vt2 ... xnvtn (x1 x2 ... xn )vt 经变形为 :
及i的第一次近似值i0=0.0968 f(0.0968)=-0.1604
由于f(i)单增,因此,再考察:f(0.0969)=0.2447
这里用了一个比0.0968大的值是为了使f(i)改变符号.
显然,i的真实值介于0.0968与0.0969之间,再用一次线性
插值:
i1
0.0968
(0.0969
0.0968)
建立价值等式的时候，常借助于一种称为时间图的工具．
例：某人为了能在７年末得到一笔１００００元的款项， 愿意在第一年末付出１０００元，在第三年末付出４００ ０元，并在第８年末付出一笔钱，如果年利率为６％，问 他在第８年末应付多少？
解:设他在第8年末应付X元,建立如下价值等式:
1000(1+i)7 4000(1 i)5 X 10000(1 i)
(5)i0
i1 (i2
i1)
f (i1) f (i2 ) f (i1)
f(i2) f(i)
f(i0)=0
f(i1)
线性插值示意图
i1
i0 i2
(6)例题:某人现在投资500元,第1年末投资300元,第2年末 再投资150元,这样在第4年末将积累到1300元,求实际利率 是多少? 解:价值方程为:
这样, i1的精度已达小数点后五位,再作一次线性插值
i=0.09638+0.00001 0+0.0389 0.0016+0.0389
0.0968396
第十节 时间问题求解
时间问题求解的解析表达式为:
t ln A(t ) ln A(0) ln(1 i)
一、例题:期初的2000元,按照每年结转4次利息的年名义 利率5%投资,试确定经过多长时间可以得到4000元?
0 0.1604 0.2447 0.1604
0.09684
继续上述操作 :
f (0.09684) 0.0016
f (0.09683) 0.0389
这时用比0.09684小的数是为了使f(i)改变符号
由于f(i1 ) 0, f (0.09683) 0, 故真实的i介于0.09683
与0.09684之间,于是 i-i1 0.00001
f (i1) 0 f (i2 ) 0 (3) f (i)是i的递增函数, 那么未知利率i0一定 落在i1和i2之间,即i1 i0 i2
(4)假设在区间(i1, i2 )内, f (i)近似呈 线性变化.在这个假设下有:
i0 i1 f (i0 ) f (i1) 0 f (i1) i2 i1 f (i2 ) f (i1) f (i2 ) f (i1)
解:贷款年利率为5%,所以贴现因子v=1/(1+0.05)=0.95238,
应用准确式得:
ln 20000.952381 30000.952382 30000.952384
t
2000 3000 3000
ln 0.95238
2.46
应用近似计算公式可得 : t 1 2000 2 3000 4 3000
X 10001.06 4000(1.06)5 1000(1.06)7
3743.5(元)
投资期的确定
年数= 投资期天数 基础天数
单利利息计算: 利息=金额 利率 年数 投资期的确定的三种方法: 1.严格单利法(英国法).(实际/实际) 2.常规单利法(大陆法).(30/360) 3.银行家规则.(实际/360)
500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2=1300 令f(i)=500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2-1300 显然,所要求的实际利率即为f(i)=0的解,由试凑法等到:
f(0.1)=12.85
f(0.09)=-27.49 显然,i的真实值介于0.09与0.1之间 由线性插值可得i的近似值:
课前练习: 已知在t时的利息强度为1t030 ,求a1(3)
第九节 利息问题求解
价值等式
在一笔完整的金融业务中,通常会涉及到四个量,即(1)原始 投资额或成本;(2)投资时期;(3)利率;(4)在投资期末的累积 值.在复利条件下,这四个量之间存在下述关系:
A(t) A(0) (1 i)t
建立价值等式，先要有一个比较日期．
(2)例题:期初的2000元本金经过2年3个月之后的累积值为 2500元,试确定这笔投资的收益率
解
:
直接利用公式i
[
A(t
)
1
]t
1可得
:
A(0)
i
(
2500
)
1 2.25
1
10.426%
2000
二、线性插值法
(1)作函数 : f (i) A(0) (1 i)t A(t) i0为所要求的利率,则有: f(i0 ) 0 (2)假设可以得到两个关于i的粗估计值, 分别记作i1和i2 (其中i1 i2 ),并且函数值 满足下述条件 :
ln x1vt1 x2vt2 ... xnvtn
t
x1 x2 ... xn
ln v
在实际应用中, 上式可做如下近似计算 :
t t1x1 t2 x2 ... tn xn x1 x2 ... xn
例题:一笔贷款,按原来的还款计划,第一年末偿还2000元, 第二年末偿还3000元,第四年末再偿还3000即,贷款年利率 为5%.如果借款人希望一次性支付8000元还清贷款,他应 该在何时偿还这笔贷款.
若令i 8%,则可得如下的近似公式:
t
0.72 i
三、例题:
譬如一笔贷款,按原来的还款计划,第一年末偿还1000元, 第二末再偿还3000元即可还清,贷款的年利率为5%.如果 借款人希望一次性支付4000元还清贷款,他应该在何时偿 还这笔贷款呢?
解 : 这个问题可表示为下述的恒等式:
1000(1 0.05)1 3000(1 0.05)2 4000(1 0.05)t 解上述方程, 得
0 27.49
i0
0.09
(0.1
0.09) 12.85
27.49
0.0968 9.68%
三、迭代法
迭代法事实上相当于多次线性插值,其结果是能够达到所 需的精度.
例题:用迭代法重做上题,使精度达到小数点后六位. 解:由例,有:f(i)=500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2-1300
例：若在３月１３日存入１０００元，到同年的１１月２ ７日取出，利率为单利８％，试确定利息金额：
（１）按英国法
（２）按银行家规则
解（１）天数为３１＋３０＋３１＋３０＋３１＋３１＋ ３０＋３１＋１４＝２５９（天）
年数＝２５９／３６５＝０．７１
Ｉ＝１０００×８％×０．７１＝５６．８（元） （２）天数为３１＋３０＋３１＋３０＋３１＋３１＋３ ０＋３１＋１４＝２５９（天） 年数＝２５９／３６０＝０．７２ Ｉ＝１０００×８％×０．７２＝５７．６（元）
解:每年结转4次利息的年名义利率为5%,所以年实际利率 为 i=(1+ 0.05 )4 1 0.05095
4 直接应用上式可得 t ln 4000 ln 2000
ln(1 0.05095) 13.948
二、72规则(本金翻番的条件)
(1 i)t 2
t ln 2 ln(1 i)
1 i ln 2 i ln(1 i)
t 1.7454ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设借款人在时间t1, t2 ,..., tn分别需要偿还金额 x1, x2 ,..., xn , 如果他一次性支付x1 x2 ... xn 还清贷款, 应该在何时偿还 ? 这个问题的恒等式为:
x1vt1 x2vt2 ... xnvtn (x1 x2 ... xn )vt 经变形为 :
及i的第一次近似值i0=0.0968 f(0.0968)=-0.1604
由于f(i)单增,因此,再考察:f(0.0969)=0.2447
这里用了一个比0.0968大的值是为了使f(i)改变符号.
显然,i的真实值介于0.0968与0.0969之间,再用一次线性
插值:
i1
0.0968
(0.0969
0.0968)
建立价值等式的时候，常借助于一种称为时间图的工具．
例：某人为了能在７年末得到一笔１００００元的款项， 愿意在第一年末付出１０００元，在第三年末付出４００ ０元，并在第８年末付出一笔钱，如果年利率为６％，问 他在第８年末应付多少？
解:设他在第8年末应付X元,建立如下价值等式:
1000(1+i)7 4000(1 i)5 X 10000(1 i)
(5)i0
i1 (i2
i1)
f (i1) f (i2 ) f (i1)
f(i2) f(i)
f(i0)=0
f(i1)
线性插值示意图
i1
i0 i2
(6)例题:某人现在投资500元,第1年末投资300元,第2年末 再投资150元,这样在第4年末将积累到1300元,求实际利率 是多少? 解:价值方程为:
这样, i1的精度已达小数点后五位,再作一次线性插值
i=0.09638+0.00001 0+0.0389 0.0016+0.0389
0.0968396
第十节 时间问题求解
时间问题求解的解析表达式为:
t ln A(t ) ln A(0) ln(1 i)
一、例题:期初的2000元,按照每年结转4次利息的年名义 利率5%投资,试确定经过多长时间可以得到4000元?
0 0.1604 0.2447 0.1604
0.09684
继续上述操作 :
f (0.09684) 0.0016
f (0.09683) 0.0389
这时用比0.09684小的数是为了使f(i)改变符号
由于f(i1 ) 0, f (0.09683) 0, 故真实的i介于0.09683
与0.09684之间,于是 i-i1 0.00001
f (i1) 0 f (i2 ) 0 (3) f (i)是i的递增函数, 那么未知利率i0一定 落在i1和i2之间,即i1 i0 i2
(4)假设在区间(i1, i2 )内, f (i)近似呈 线性变化.在这个假设下有:
i0 i1 f (i0 ) f (i1) 0 f (i1) i2 i1 f (i2 ) f (i1) f (i2 ) f (i1)
解:贷款年利率为5%,所以贴现因子v=1/(1+0.05)=0.95238,
应用准确式得:
ln 20000.952381 30000.952382 30000.952384
t
2000 3000 3000
ln 0.95238
2.46
应用近似计算公式可得 : t 1 2000 2 3000 4 3000
X 10001.06 4000(1.06)5 1000(1.06)7
3743.5(元)
投资期的确定
年数= 投资期天数 基础天数
单利利息计算: 利息=金额 利率 年数 投资期的确定的三种方法: 1.严格单利法(英国法).(实际/实际) 2.常规单利法(大陆法).(30/360) 3.银行家规则.(实际/360)
500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2=1300 令f(i)=500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2-1300 显然,所要求的实际利率即为f(i)=0的解,由试凑法等到:
f(0.1)=12.85
f(0.09)=-27.49 显然,i的真实值介于0.09与0.1之间 由线性插值可得i的近似值:
课前练习: 已知在t时的利息强度为1t030 ,求a1(3)
第九节 利息问题求解
价值等式
在一笔完整的金融业务中,通常会涉及到四个量,即(1)原始 投资额或成本;(2)投资时期;(3)利率;(4)在投资期末的累积 值.在复利条件下,这四个量之间存在下述关系:
A(t) A(0) (1 i)t
建立价值等式，先要有一个比较日期．
(2)例题:期初的2000元本金经过2年3个月之后的累积值为 2500元,试确定这笔投资的收益率
解
:
直接利用公式i
[
A(t
)
1
]t
1可得
:
A(0)
i
(
2500
)
1 2.25
1
10.426%
2000
二、线性插值法
(1)作函数 : f (i) A(0) (1 i)t A(t) i0为所要求的利率,则有: f(i0 ) 0 (2)假设可以得到两个关于i的粗估计值, 分别记作i1和i2 (其中i1 i2 ),并且函数值 满足下述条件 :
ln x1vt1 x2vt2 ... xnvtn
t
x1 x2 ... xn
ln v
在实际应用中, 上式可做如下近似计算 :
t t1x1 t2 x2 ... tn xn x1 x2 ... xn
例题:一笔贷款,按原来的还款计划,第一年末偿还2000元, 第二年末偿还3000元,第四年末再偿还3000即,贷款年利率 为5%.如果借款人希望一次性支付8000元还清贷款,他应 该在何时偿还这笔贷款.
若令i 8%,则可得如下的近似公式:
t
0.72 i
三、例题:
譬如一笔贷款,按原来的还款计划,第一年末偿还1000元, 第二末再偿还3000元即可还清,贷款的年利率为5%.如果 借款人希望一次性支付4000元还清贷款,他应该在何时偿 还这笔贷款呢?
解 : 这个问题可表示为下述的恒等式:
1000(1 0.05)1 3000(1 0.05)2 4000(1 0.05)t 解上述方程, 得
0 27.49
i0
0.09
(0.1
0.09) 12.85
27.49
0.0968 9.68%
三、迭代法
迭代法事实上相当于多次线性插值,其结果是能够达到所 需的精度.
例题:用迭代法重做上题,使精度达到小数点后六位. 解:由例,有:f(i)=500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2-1300
例：若在３月１３日存入１０００元，到同年的１１月２ ７日取出，利率为单利８％，试确定利息金额：
（１）按英国法
（２）按银行家规则
解（１）天数为３１＋３０＋３１＋３０＋３１＋３１＋ ３０＋３１＋１４＝２５９（天）
年数＝２５９／３６５＝０．７１
Ｉ＝１０００×８％×０．７１＝５６．８（元） （２）天数为３１＋３０＋３１＋３０＋３１＋３１＋３ ０＋３１＋１４＝２５９（天） 年数＝２５９／３６０＝０．７２ Ｉ＝１０００×８％×０．７２＝５７．６（元）