数字信号处理第二章习题解答

数字信号处理第2章习题解答

2.1 今对三个正弦信号1()cos(2)a x t t π=，2()cos(6)a x t t π=-，3()cos(10)a x t t π=进行理想采样，采样频率为8s πΩ=，求这三个序列输出序列，比较其结果。画出

1()a x t 、2()a x t 、3()a x t 的波形及采样点位置并解释频谱混淆现象。

解：采样周期为2184

T ππ=

= 三个正弦信号采样得到的离散信号分别表示如下：

1()cos(2)cos()42a n x n n π

π=⋅=

2()cos(6)cos()42a n x n n π

π=-⋅=-

3()cos(10)cos()42

a n x n n π

π=⋅=

输出序列只有一个角频率2π

，其中1()a x n 和3()a x n 采样序列完全相同，2()a x n 和

1()a x n 、3()a x n 采样序列正好反相。

三个正弦信号波形及采样点位置图示如下：

t

x a 1(t )

t

x a 2(t )

t

x a 3(t )

三个正弦信号的频率分别为1Hz 、3Hz 和5Hz ，而采样频率为4Hz ，采样频率大于第一个正弦信号频率的两倍，但是小于后两个正弦信号频率的两倍，因而由第一个信号的采样能够正确恢复模拟信号，而后两个信号的采样不能准确原始的模拟信号，产生频谱混叠现象。

2.3 给定一连续带限信号()a x t 其频谱当f B >时，()a X f 。求以下信号的最低采样频率。

（1）2()a x t （2）(2)a x t （3）()cos(7)a x t Bt π 解：设()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω

（1）2

()a x t 的傅里叶变换为

22()[()]B

a a B

X j X j d ππ

ωωω-⋅Ω-⎰

因为22,22B B B B πωππωπ-≤≤-≤Ω-≤ 所以44B B ππ-≤Ω≤

即2()a x t 带限于2B ，最低采样频率为4B 。 （2）(2)a x t 的傅里叶变换为

1

(/2)2

a X j Ω 2/22B B ππ-≤Ω≤，即44B B ππ-≤Ω≤

即(2)a x t 带限于2B ，最低采样频率为4B 。 （3）()771

()cos(7)()2

j Bt j Bt a a x t Bt x t e e πππ-=

+ 根据傅里叶变换的频移性质，()cos(7)a x t Bt π的傅里叶变换为

[]1

((7)((7)2

a a X j B X j B ππΩ-+Ω+ 它为一个带宽为2B 的带通信号，其通带范围为59

22

B f B ≤≤。

根据带通模拟信+号的采样定理，最小采样频率为1/4

4(1) 4.52

B B ⋅+=。

补充知识：带通模拟信号的采样定理

设带通模拟信号的频带限制在L f 和H f 之间，其频谱最低频率大于L f ，最高频率小于H f ，信号带宽H L B f f =-。此带通模拟信号所需最小抽样频率s f 等于

21s k f B n ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

式中，B 为信号带宽；n 为商(

H

f B

)的整数部分，1,2,n =；为商(

H

f B

)的小数部分，01k <<。

2.5 一带通模拟信号如图所示，现用以下采样频率对其采样。 （1）25 Hz （2）50 Hz （3）100 Hz

求采样后的频谱。

解：采样后的频谱分别如下图所示：

25 Hz 采样的频谱（注意：每一个三角形频谱都产生了混叠，以幅度的增加表示）

50 Hz 采样的频谱（没有混叠）

100 Hz 采样的频谱（没有混叠）

2.6 一带通模拟信号如图所示，求不产生混叠的最低采样频率。

解：由图知，60H f =，40L f =，20B =，

3H

f B

=的整数部分为3，小数部分为0，根据带通模拟信号的采样定理，最小采样频率为2

40B Hz =。

0 40 60 -40 -60 f /Hz

0 25 50 -25 -50 f /Hz

75 100 -75 -100 0 25 50 -25 -50 f /Hz

75 100 -75 -100 0 25 50 -25 -50 f /Hz