波函数薛定谔方程

✓ 必须能满足德布罗意波公式的要求
E , h
h
p
✓ 必须是线性微分方程,即其方程的解必须能满 足叠加原理 (因为物质波能够干涉)。
第16章 量子物理基础
16–6 波函数 薛定谔方程
8
薛定谔提出了波函数Ψ(x,y,z,t)所适用的（在非相对论） 动力学方程：
i
2
2 V
t
2m
（1）2 2 2 2 称之为拉普拉斯算符
2m
式中Ｅ是粒子的总能量，又称为能量本征值。
第16章 量子物理基础
16–6 波函数 薛定谔方程
11
一维定态薛定谔方程
设微观粒子在外势场中作一维运动，这时该方程为
d2 dx2
(x)
2m
2
(E
V
)
(
x)
0
对于自由粒子，V＝0，在一维情况，并注意 E p2
(非相对论)
2m
i px
(x) 0e
第16章 量子物理基础
16–6 波函数 薛定谔方程
12
3.薛定谔方程的意义
✓ 薛定谔方程在量子力学中的地位与牛顿方程在 经典物理中的地位相当。
✓ 薛定谔方程本身并不是实验规律的总结，也没 有什么更基本的原理可以证明它的正确性。
✓ 从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实 验事实去验证。薛定谔方程是量子力学的一条基本 假设。
第16章 量子物理基础
16–6 波函数 薛定谔方程
6
二、薛定谔方程
薛定谔（Erwin Schro..dinger， 1887~1961）奥地利物理学家. 1926年建 立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并 建立了量子力学的近似方法. 他还对生命 科学作出重大贡献，他的指导思想是 “科学一定是统一的、相通的.”
在经典物理学中我们只用了其中的实数部分。
第16章 量子物理基础
16–6 波函数 薛定谔方程
3
（2）光子的平面波波函数
E r, t E0eitkr
h p h n k
将上述各量代入：
波面
r
P
E r,t
E eitpr / 0
于是光子的平面波波函数为
r,t
e
i
t
pr
0
第16章 量子物理基础
量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等价的 理论 —— 矩阵力学和波动力学.
相对论量子力学（1928 年，狄拉克） 描述高速运 动的粒子的波动方程 .
第16章 量子物理基础
16–6 波函数 薛定谔方程
7
1.一般的薛定谔方程
微观粒子的运动状态用波函数Ψ(x,y,z,t)描述，薛 定谔认为，这个波函数应该是适用于微观粒子的波 动方程的一个解。
x2 y 2 z 2
（2） V表示微观粒子受到的作用势能，它一般的是
r 和 t 的函数
第16章 量子物理基础
16–6 波函数 薛定谔方程
9
（3）m 是微观粒子的质量
2
引入哈密顿算符 Hˆ 2 V 2m
哈密顿量代表粒子的总能量 (注意 t )
用哈密顿表示的薛定谔子物理基础
16–6 波函数 薛定谔方程
1
一、波函数
1.关于物质波的波函数
回顾前面关于德布罗意物质波的概念,任何物质 粒子都具有波粒二象性。
物质波不同于经典概念的波,不代表实在的物理 量的波动，它反映的是物质粒子运动的一种统计规 律，故也称为概率波。
把描述微观粒子概率波的数学函数式称作波函数
是时空函数
第16章 量子物理基础
16–6 波函数 薛定谔方程
5
4.波函数的统计解释 概率密度 表示在某处单位体积内粒子出现的概率.
Ψ 2 * 正实数
某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子
的概率为
Ψ 2 dV ΨΨ*dV
✓ 某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为
归一化条件
|Ψ
|2
dxdydz
1
(束缚态)
问:微观粒子的波函数遵循什么样的波动方程呢?
x, y, z,t)
16–6 波函数 薛定谔方程
2
2.光子的波函数
（1）光的经典 (电磁波) 波函数
电场强度用E表示，光的经典平面简谐波动方程为
Ex,t E0 cost kx 式中 k 2
三维情形为： Er,t E0 cost k r 由欧拉公式 ei cos i sin
波函数形式为： E r, t E0eitkr
16–6 波函数 薛定谔方程
10
2.定态的薛定谔方程
如果微观粒子受到的作用势能不随时间变化， 亦即V=V(x,y,z)，此时系统的能量不随时间变化，系 统的这种状态称之为定态。
(x, y, z,t) (x, y, z) f (t)
定态波函数所满足的薛定谔方程称为定态薛定谔 方程，即为
2
2 V E
第16章 量子物理基础
16–6 波函数 薛定谔方程
4
3.物质波的波函数
对于一个不受外力作用的沿 X 方向运动的单能
自由粒子
(x
t)
0e
i
(
Et
px)
假如是在三维空间沿矢径r方向传播，那么这时
的波函数为:
(r .t
)
0e
i
( Et
pr )
波函数Ψ是复数，模的平方可表示为 2 *
第16章 量子物理基础