空间几何体的外接球模型

空间几何体的外接球模型

类型一：

长方体模型一（三条线两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

图2

图3

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2

2

2

2

)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32

（2）若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ）

A.3

B.6

C.36

D.9

解析：【A 】616164)2(2

=++=

R ，3=R

（3）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162

==h a V ，2=a ，24164442

222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ；

（3）9

33342

=++=R ，ππ942

==R S

（4）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：

如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，

∴AB SH ⊥，

BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，

∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，

∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，

SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，

故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，

(3)题-1

A

∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ， ∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36

（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是

（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几

何体外接球的体积为 解析：

（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+

∈R c b a ,,），则

⎪⎩

⎪⎨⎧===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2

222=++=c b a R ，ππ2942==R S ，

（6）3)2(2

2

2

2

=++=c b a R ，4

3

2

=

R ，23=R

πππ2

3

83334343=⋅==R V ，

长方体模型二：（一条直线垂直于一个平面）

A

P

1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：

第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直

径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；

第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半

径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得

r C

c

B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=；

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2

22)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=

；

②2

12

2OO r R +=⇔2

12OO r R +=

例题2：（1）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒

AB AC SA BAC 则该四面

体的外接球的表面积为（ D ）π11.A π7.B π310.

C π3

40

.D 解析：在ABC ∆中，7120cos 22

2

2

=⋅⋅-+=

BC AB AB AC BC ，

7=BC ，ABC ∆的外接球直径为3

722

37sin 2=

=∠=

BAC BC r ， ∴340

4)3

72(

)2()2(2222=

+=+=SA r R ，340π=S ，选D （2）三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等于 . 3

32π

解析：260sin 32==

r ，16124)2(2=+=R ，42

=R ，2=R ，外接球体积3

32834ππ=⋅

长方体模型三：

图5

对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，

⎪⎩

⎪⎨⎧=+=+=+2

222

22222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=

++=， 补充：abc abc abc V BCD A 3

1

461=⨯-

=- 第三步：根据墙角模型，2

22

222

22z y x c b a R ++=

++=，

8

2

222z y x R ++=，8

2

22z y x R ++=

，求出R ，

例如，正四面体的外接球半径可用此法。

例三：（1）在三棱锥BCD A -中，,4,3,2======BD AC BC AD CD AB 则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 。

π2

29 解析：如图12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，则92

2

=+b a ，

422=+c b ，1622=+a c ∴291649)(2222=++=++c b a ，291649)(2222=++=++c b a ，

229222=

++c b a ，22942

=R ，π2

29=

S （2）如图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为 .

解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，

110493625)(2222=++=++c b a ，55222=++c b a ，5542=R ，π55=S 【55π；对称几何体；放到长方体中】

（3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为

解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，32=

R ，

2

3=

R ，ππ23

83334=⋅

=V ，

类型二：圆锥模型

y

x

a

b

c z z

y

x

图12

D

C

A

B

(1)题