CH2 数字波束形成技术
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Ch 2 数字波束形成技术
一、天线阵列基本概念
近场、远场 阵列窄带信号及其表示 信号的相关与相干
阵列协方差阵定义及相关结论
阵列空域噪声/杂波模型
天线的近场与远场
球面波
平面波
回波等相位面
(a) 远场/Fraunhofer区情形
(b) 近场/Fresnel区情形
远场要求：
2019/3/20 哈尔滨工业大学电子工程系
Pa Fa kT0 B
式中 Pa 是无损耗短垂直天线上的噪声功率， k 138 . 1023 是玻尔兹曼常数，
T0 288K 为参考温度，B 为接收机有效噪声带宽。
2019/3/20 哈尔滨工业大学电子工程系 25
CCIR-322-2报告给出了不同季节、不同时间段的世界分布图，利用该报 告提供的图表，我们查出我国高频地波雷达实验地区春夏两季大气噪声系数 的平均值。该数据是大气噪声的平均值，它不能准确地反映出实验雷达所处 地区的瞬时数值，实际应用时需要实地实时监测。 定量分析方法 假设等间距线阵沿x轴布置，阵元间距为d，阵元位置为(i-1)d，则阵列中 第i阵元到第k阵元所构成的单位矢量可表示为(空间直角坐标系)： [1 0 0] 在同一坐标系中存在一个远场点源，其极坐标为[1 θ φ]，由坐标原点与 点源构成的单位矢量的空间直角坐标表示为： [sinθcosφ sinθsinφ cosθ] 因此这两个单位矢量的空间夹角余弦为它们的点乘： sinθcosφ
2019/3/20 哈尔滨工业大学电子工程系 5
定义4：该信号空间协方差矩阵在没有噪声时的第二个特征值小于噪声 功率。
该定义是从阵列采样数据自相关矩阵（零均值时即为协方差阵）特
征值的角度来定义窄带信号的。窄带情况下，阵列采样数据自相关矩阵 的大特征值个数等于信号个数。
注： 宽带信号也没有官方或某一组织的严格定义，但对于超宽带信号，
2019/3/20 哈尔滨工业大学电子工程系 21
2、天线噪声
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
22
前面分析表明单路天线噪声+接收机内部噪声通过接收机通带后均可以 近似为白噪声，即：
采用接收机噪声系数描述
接收机噪声（内部） = 接收机热噪声 + 其他噪声 天线噪声 = 天线热噪声（内部） + 宇宙噪声（外部） 上述分析仅针对单路随机信号的功率谱而言。对于相控阵雷达，为了 建立多通道噪声空域协方差阵模型，需要根据传统的接收机噪声、天线噪 声的分类进行必要调整。为简化分析，可定义通道噪声（内部）如下： 通道热噪声 = 接收机噪声 + 天线热噪声 当相控阵雷达各接收天线、接收机构成一致时，上述定义的通道热噪 声均是由各自天线、接收机的电路产生的，相互独立，因此其空域协方差 阵为单位阵： Rnn = σ2 IMxM 式中：σ2是单路噪声功率，IMxM是MxM维单位阵，M是阵元数。
目标处于远场的条件，其 中d天线孔径，λ 波长
2
阵列窄带信号及其表示
参考图书：
J.E. Hudson, Adaptive Array Principles, Peter Peregrinus LTD., 1981
石镇, 自适应天线原理, 国防工业出版社, 1991
窄带信号定义
目前没有文献或组织对窄带信号给出严格、统一的定义。设信号带 宽为B，时宽为T，中心频率为f0，则该信号的不同窄带定义主要有： 定义1：B << f0，即相对带宽B/f0<< 1 （一般取B/f0< 0.1） 该定义是对窄带信号的直观理解，在很多文献中均以该定义来区分 信号是宽带信号还是窄带信号。——《随机信号分析》中的窄带随机过 程
场之间的复相干函数的模。如果源发射一个纯的正弦波，则所有点上的场
是完全相干的；但若源发射的是一个调制载波，则场在距离差Δ>c/B (其 中为B调制带宽，c为传播速度)上缺乏相干性。因此如果满足下式，则窄
带近似成立：
Δ<<c/B Δ· B/c<<1 其中离源最近、最远的接收天线的点处于Δ的距离间隔内。对于宽频带雷 达和声呐应用，窄带近似变得不适用，在这种情况下，为了形成好的零点， 必须在宽频带范围内采取特殊的时域处理，以得到深的零点。
些因子，所得矢量的元素模均为1。
在许多情况下，对源到阵的精确距离并不感兴趣(多路径传播现象除 外)，这样对应源到阵相位中心距离的确定的公共因子exp[-jkR]可以忽略 不计。因此对N个阵元的等间距线性阵，方位为α(相对于阵列法线)的源 的空间矢量为 式中参考点取为阵元1，并且相对此阵元计量相位。通常将阵列的中 心定义为相位中心也是比较方便的。
夏季里静电微粒放电较频繁，因而夏季大气噪声比冬季强。大气噪声是全向
性的且与距离无关。
Reference Data for Engineers: Radio, Electronics, Computer, and Communications, Seventh Edition, Howard W. Sams & Co., Inc.
哈尔滨工业大学电子工程系
9
对于两个平稳随机过程X(t)、Y(t)，定义互相关系数(归一化的互相
关函数)如下：
XY ( )
C XY ( ) C X (0)CY (0)
R XY ( ) m X mY
XY
对于两个空间矢量v1、v2，其夹角为θ ，则定义
等于零时称为矢量正交
2019/3/20
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
3
定义2：2v/c<<1/(TB)
vT << c/(2B)
其中v是阵列与目标的相对径向运动速度，c是信号在介质中的传播速度。
该定义是指在存在相对运动的系统中，在信号的持续时间T内，相
对于信号的距离分辨率，目标没有明显的位移，此时信号可视为窄带信 号(点运动回波近似式的前提条件)，否则信号就是宽带信号。 Δωτ<<1，阵列信号处理中常用
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
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哈尔滨工业大学电子工程系
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哈尔滨工业大学电子工程系
16
[3] 徐仲著，范德蒙矩阵类的快速算法，西北工业大学出版社，1997.12
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哈尔滨工业大学电子工程系
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2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
FCC ( Federal Communications Commission) 给出了严格的定义：
“超宽带” 是指信号的相对带宽(信号频谱的带宽与其中心频率之比) 大于等于20 %，或者绝对带宽大于等于500MHz。该定义没有界定信号 的时域波形特征。
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6
阵列窄带信号的表示
阵列协方差阵定义
是复数，则其协方差阵定义为：
标量
设单个源激励的阵列输出信号矢量为 x(t ) m(t ) v ，其中 m, v都
R x(t )x (t ) m(t ) vv H
H
2
它的秩仅为1，因此每个源对协方差阵的秩所起的作用仅仅是1。
多个不相关源协方差阵的秩
K个不相关单频平面波的协方差阵，当K<M（阵元数）时，秩等 于K；当K>=M时，秩等于M（满秩）。
气时较弱。地球表面各地的大气无线电噪声也有较大差异。在南北半球高纬 度地区大气湿度低，微粒少、噪声较低；而在高湿度的南北纬以内的热带区
域暴风雨活动最强，大气噪声电平达最大。此外，大气无线电噪声还与时间
有关。夜间噪声比白天强，这是因为静电微粒放电的辐射频率主要位于无线 电传输的低频端，夜间的传播条件对这些频率较为有利，电离层吸收减弱。
2019/3/20 哈尔滨工业大学电子工程系 24
国际无线电咨询委员会(International Radio Consultative Committee) 的CCIR-322报告详细研究了大气噪声的世界分布：指出位于赤道附近的非洲
中北部、东南亚和中南美洲三个地区是雷暴频繁活动中心，是世界大气噪声
2019/3/20 哈尔滨工业大学电子工程系 7
R11 e jkR 1 1 jkR 2 R2 e v ˆ 1 jkR N RN e
e jkR 1 jkR 2 e jkR N e
阵元M
在窄带假设条件下，对某一给定的瞬时调制函数在阵列两
端是不变的(信号的复包络沿阵列的延迟可忽略不计)，即 E(Ri, t) = K m(t - T) exp[jkRi] exp[jωt] / Ri
. . . .
阵元2
r
阵元1
目标
式中k为波数，T为源和接收阵间的平均传播时间延迟。上式分
解为时间、空间变量的乘积，而在窄带阵的零点控制和方向图 优化是仅仅与场的空间变化相关的。给定源的空间矢量定义为：
2019/3/20 哈尔滨工业大学电子工程系 23
大气噪声模型
大气无线电噪声通常是由大气中某些形式的沉降物所产生的，包括云、
雨、雪、雹、雾等杂粒的散射和静电微粒放电。它主要由暴风雨和闪电所组 成，其电平取决于接收点的地理位置、季节和昼夜时间、环境温度和气象条
件等。风暴、雷雨、沙暴、冰雹天气时大气无线电噪声较强；风和日丽的天
哈尔滨工业大学电子工程系
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信号的相干/相参(Coherent)
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
11
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哈尔滨工业大学电子工程系
12
注：阵列中不同阵元时延对信号包络的影响参见石镇所写书P50-52。
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13
阵列协方差阵及相关结论
主要发源地。据此报告，大气噪声具有如下特点： ⑴随工作频率升高而降低。 ⑵它是非平稳随机过程，其能量分布在甚低频(VLF)与甚高频(VHF)之间。 ⑶它的不平稳性表现 在不同时候的强度不一样，不同季节的强度也变化很大。 报告建议对大气噪声的研究用能被一个无损耗短垂直天线从一外部噪声 源拾取的中等强度噪声作为基准，其噪声功率可用有效天线噪声系数 Fa表示：
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哈尔滨工业大学电子工程系
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阵列空域噪声/杂波模型
噪声/杂波的分类 噪声：
雷达接收通道热噪声（内部）、大气噪声及宇宙噪声（外部）
杂波（外部）：
地杂波、海杂波、电离层杂波
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
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通道热噪声模型
1、接收机噪声
M.I. Skolnik，王军等译，雷达手册，电子工业出版社，2003.7, pp.37-38
激励发射天线的源具有电流时间函数I(t)=m(t)exp[jωt]，其 中m(t)是复基带调制函数。载频ω将在距离Ri处产生电场，即
E(Ri, t) = K m(t - Ri/c) exp[jω(t- Ri/c )] / Ri
式中Ri是从发射源到第i个接收阵元的径向距离，K为与源发射 方向图有关的常量，而其他因子在接收阵中保持不变。
XY
XY
C XY
,
1 XY 1
其中CXY表示随机变量X、Y的协方差(中心化的互相关矩)。 对平稳随机过程X(t)，定义相关系数(归一化的自相关函数)如下：
2 C X ( ) R X ( ) m X X ( ) 2 C X (0) X
2019/3/20
定义3：(N-1)d/c<<1/B 其中N 是阵元数目，d 是阵元间距。
该定义是指在阵列信号处理中，如果信号带宽的倒数远远大于信号
掠过阵列孔径的最大传播时间，就称为窄带信号。如果ห้องสมุดไป่ตู้列中使用宽带 信号，就必须考虑阵列孔径渡越时间的影响，为保证阵元间发射和接收
信号间的相干性，最有效的方法是时延法（包括模拟和数字两种方式）。
2019/3/20
阵列流型(Array Manifold)：α取所 有可能值的激励矢量的集合。
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哈尔滨工业大学电子工程系
信号的相关与相干
信号的相关(Correlation)
相关是一个统计概念，用来描述随机变量、随机信号(过程)、随机 矢量间的关系。类似概念有：相关(γ≠0)、不相关(γ=0) 、正交(RXY=0) 、 独立(fXY=fXfY) 。 《随机信号分析》定义两个随机变量的相关系数为：
阵列激励矢量/导向矢量 Steering vector
e jkd sin j 2 kd sin v( ) e j ( N 1) kd sin e 1
在大多数情况下，接收阵离源相当远(尤其是在远场源条件下)以至于 球面传播项1/Ri在接收阵的各单元上没有明显的差别，因此通常略去这
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
4
定义3的说明：
1、当信号是窄带时，信号的延时近似等于信号的相移。因此阵列窄带信 号的加权系数可采用移相器且它们所构成的零点在感兴趣的频带内保持恒 定的方位。一般后一准则并不需严格地满足，因此我们只要求频带两端零 点足够深； 2、窄带信号的条件等效于传播方向上的调制相干距离应该远大于同一方 向上的天线长度。经过调制，相干是指离源不同距离上两个点所接收到的
一、天线阵列基本概念
近场、远场 阵列窄带信号及其表示 信号的相关与相干
阵列协方差阵定义及相关结论
阵列空域噪声/杂波模型
天线的近场与远场
球面波
平面波
回波等相位面
(a) 远场/Fraunhofer区情形
(b) 近场/Fresnel区情形
远场要求：
2019/3/20 哈尔滨工业大学电子工程系
Pa Fa kT0 B
式中 Pa 是无损耗短垂直天线上的噪声功率， k 138 . 1023 是玻尔兹曼常数，
T0 288K 为参考温度，B 为接收机有效噪声带宽。
2019/3/20 哈尔滨工业大学电子工程系 25
CCIR-322-2报告给出了不同季节、不同时间段的世界分布图，利用该报 告提供的图表，我们查出我国高频地波雷达实验地区春夏两季大气噪声系数 的平均值。该数据是大气噪声的平均值，它不能准确地反映出实验雷达所处 地区的瞬时数值，实际应用时需要实地实时监测。 定量分析方法 假设等间距线阵沿x轴布置，阵元间距为d，阵元位置为(i-1)d，则阵列中 第i阵元到第k阵元所构成的单位矢量可表示为(空间直角坐标系)： [1 0 0] 在同一坐标系中存在一个远场点源，其极坐标为[1 θ φ]，由坐标原点与 点源构成的单位矢量的空间直角坐标表示为： [sinθcosφ sinθsinφ cosθ] 因此这两个单位矢量的空间夹角余弦为它们的点乘： sinθcosφ
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定义4：该信号空间协方差矩阵在没有噪声时的第二个特征值小于噪声 功率。
该定义是从阵列采样数据自相关矩阵（零均值时即为协方差阵）特
征值的角度来定义窄带信号的。窄带情况下，阵列采样数据自相关矩阵 的大特征值个数等于信号个数。
注： 宽带信号也没有官方或某一组织的严格定义，但对于超宽带信号，
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2、天线噪声
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前面分析表明单路天线噪声+接收机内部噪声通过接收机通带后均可以 近似为白噪声，即：
采用接收机噪声系数描述
接收机噪声（内部） = 接收机热噪声 + 其他噪声 天线噪声 = 天线热噪声（内部） + 宇宙噪声（外部） 上述分析仅针对单路随机信号的功率谱而言。对于相控阵雷达，为了 建立多通道噪声空域协方差阵模型，需要根据传统的接收机噪声、天线噪 声的分类进行必要调整。为简化分析，可定义通道噪声（内部）如下： 通道热噪声 = 接收机噪声 + 天线热噪声 当相控阵雷达各接收天线、接收机构成一致时，上述定义的通道热噪 声均是由各自天线、接收机的电路产生的，相互独立，因此其空域协方差 阵为单位阵： Rnn = σ2 IMxM 式中：σ2是单路噪声功率，IMxM是MxM维单位阵，M是阵元数。
目标处于远场的条件，其 中d天线孔径，λ 波长
2
阵列窄带信号及其表示
参考图书：
J.E. Hudson, Adaptive Array Principles, Peter Peregrinus LTD., 1981
石镇, 自适应天线原理, 国防工业出版社, 1991
窄带信号定义
目前没有文献或组织对窄带信号给出严格、统一的定义。设信号带 宽为B，时宽为T，中心频率为f0，则该信号的不同窄带定义主要有： 定义1：B << f0，即相对带宽B/f0<< 1 （一般取B/f0< 0.1） 该定义是对窄带信号的直观理解，在很多文献中均以该定义来区分 信号是宽带信号还是窄带信号。——《随机信号分析》中的窄带随机过 程
场之间的复相干函数的模。如果源发射一个纯的正弦波，则所有点上的场
是完全相干的；但若源发射的是一个调制载波，则场在距离差Δ>c/B (其 中为B调制带宽，c为传播速度)上缺乏相干性。因此如果满足下式，则窄
带近似成立：
Δ<<c/B Δ· B/c<<1 其中离源最近、最远的接收天线的点处于Δ的距离间隔内。对于宽频带雷 达和声呐应用，窄带近似变得不适用，在这种情况下，为了形成好的零点， 必须在宽频带范围内采取特殊的时域处理，以得到深的零点。
些因子，所得矢量的元素模均为1。
在许多情况下，对源到阵的精确距离并不感兴趣(多路径传播现象除 外)，这样对应源到阵相位中心距离的确定的公共因子exp[-jkR]可以忽略 不计。因此对N个阵元的等间距线性阵，方位为α(相对于阵列法线)的源 的空间矢量为 式中参考点取为阵元1，并且相对此阵元计量相位。通常将阵列的中 心定义为相位中心也是比较方便的。
夏季里静电微粒放电较频繁，因而夏季大气噪声比冬季强。大气噪声是全向
性的且与距离无关。
Reference Data for Engineers: Radio, Electronics, Computer, and Communications, Seventh Edition, Howard W. Sams & Co., Inc.
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9
对于两个平稳随机过程X(t)、Y(t)，定义互相关系数(归一化的互相
关函数)如下：
XY ( )
C XY ( ) C X (0)CY (0)
R XY ( ) m X mY
XY
对于两个空间矢量v1、v2，其夹角为θ ，则定义
等于零时称为矢量正交
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定义2：2v/c<<1/(TB)
vT << c/(2B)
其中v是阵列与目标的相对径向运动速度，c是信号在介质中的传播速度。
该定义是指在存在相对运动的系统中，在信号的持续时间T内，相
对于信号的距离分辨率，目标没有明显的位移，此时信号可视为窄带信 号(点运动回波近似式的前提条件)，否则信号就是宽带信号。 Δωτ<<1，阵列信号处理中常用
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[3] 徐仲著，范德蒙矩阵类的快速算法，西北工业大学出版社，1997.12
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FCC ( Federal Communications Commission) 给出了严格的定义：
“超宽带” 是指信号的相对带宽(信号频谱的带宽与其中心频率之比) 大于等于20 %，或者绝对带宽大于等于500MHz。该定义没有界定信号 的时域波形特征。
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阵列窄带信号的表示
阵列协方差阵定义
是复数，则其协方差阵定义为：
标量
设单个源激励的阵列输出信号矢量为 x(t ) m(t ) v ，其中 m, v都
R x(t )x (t ) m(t ) vv H
H
2
它的秩仅为1，因此每个源对协方差阵的秩所起的作用仅仅是1。
多个不相关源协方差阵的秩
K个不相关单频平面波的协方差阵，当K<M（阵元数）时，秩等 于K；当K>=M时，秩等于M（满秩）。
气时较弱。地球表面各地的大气无线电噪声也有较大差异。在南北半球高纬 度地区大气湿度低，微粒少、噪声较低；而在高湿度的南北纬以内的热带区
域暴风雨活动最强，大气噪声电平达最大。此外，大气无线电噪声还与时间
有关。夜间噪声比白天强，这是因为静电微粒放电的辐射频率主要位于无线 电传输的低频端，夜间的传播条件对这些频率较为有利，电离层吸收减弱。
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国际无线电咨询委员会(International Radio Consultative Committee) 的CCIR-322报告详细研究了大气噪声的世界分布：指出位于赤道附近的非洲
中北部、东南亚和中南美洲三个地区是雷暴频繁活动中心，是世界大气噪声
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R11 e jkR 1 1 jkR 2 R2 e v ˆ 1 jkR N RN e
e jkR 1 jkR 2 e jkR N e
阵元M
在窄带假设条件下，对某一给定的瞬时调制函数在阵列两
端是不变的(信号的复包络沿阵列的延迟可忽略不计)，即 E(Ri, t) = K m(t - T) exp[jkRi] exp[jωt] / Ri
. . . .
阵元2
r
阵元1
目标
式中k为波数，T为源和接收阵间的平均传播时间延迟。上式分
解为时间、空间变量的乘积，而在窄带阵的零点控制和方向图 优化是仅仅与场的空间变化相关的。给定源的空间矢量定义为：
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大气噪声模型
大气无线电噪声通常是由大气中某些形式的沉降物所产生的，包括云、
雨、雪、雹、雾等杂粒的散射和静电微粒放电。它主要由暴风雨和闪电所组 成，其电平取决于接收点的地理位置、季节和昼夜时间、环境温度和气象条
件等。风暴、雷雨、沙暴、冰雹天气时大气无线电噪声较强；风和日丽的天
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信号的相干/相参(Coherent)
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注：阵列中不同阵元时延对信号包络的影响参见石镇所写书P50-52。
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阵列协方差阵及相关结论
主要发源地。据此报告，大气噪声具有如下特点： ⑴随工作频率升高而降低。 ⑵它是非平稳随机过程，其能量分布在甚低频(VLF)与甚高频(VHF)之间。 ⑶它的不平稳性表现 在不同时候的强度不一样，不同季节的强度也变化很大。 报告建议对大气噪声的研究用能被一个无损耗短垂直天线从一外部噪声 源拾取的中等强度噪声作为基准，其噪声功率可用有效天线噪声系数 Fa表示：
18
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阵列空域噪声/杂波模型
噪声/杂波的分类 噪声：
雷达接收通道热噪声（内部）、大气噪声及宇宙噪声（外部）
杂波（外部）：
地杂波、海杂波、电离层杂波
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通道热噪声模型
1、接收机噪声
M.I. Skolnik，王军等译，雷达手册，电子工业出版社，2003.7, pp.37-38
激励发射天线的源具有电流时间函数I(t)=m(t)exp[jωt]，其 中m(t)是复基带调制函数。载频ω将在距离Ri处产生电场，即
E(Ri, t) = K m(t - Ri/c) exp[jω(t- Ri/c )] / Ri
式中Ri是从发射源到第i个接收阵元的径向距离，K为与源发射 方向图有关的常量，而其他因子在接收阵中保持不变。
XY
XY
C XY
,
1 XY 1
其中CXY表示随机变量X、Y的协方差(中心化的互相关矩)。 对平稳随机过程X(t)，定义相关系数(归一化的自相关函数)如下：
2 C X ( ) R X ( ) m X X ( ) 2 C X (0) X
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定义3：(N-1)d/c<<1/B 其中N 是阵元数目，d 是阵元间距。
该定义是指在阵列信号处理中，如果信号带宽的倒数远远大于信号
掠过阵列孔径的最大传播时间，就称为窄带信号。如果ห้องสมุดไป่ตู้列中使用宽带 信号，就必须考虑阵列孔径渡越时间的影响，为保证阵元间发射和接收
信号间的相干性，最有效的方法是时延法（包括模拟和数字两种方式）。
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阵列流型(Array Manifold)：α取所 有可能值的激励矢量的集合。
8
哈尔滨工业大学电子工程系
信号的相关与相干
信号的相关(Correlation)
相关是一个统计概念，用来描述随机变量、随机信号(过程)、随机 矢量间的关系。类似概念有：相关(γ≠0)、不相关(γ=0) 、正交(RXY=0) 、 独立(fXY=fXfY) 。 《随机信号分析》定义两个随机变量的相关系数为：
阵列激励矢量/导向矢量 Steering vector
e jkd sin j 2 kd sin v( ) e j ( N 1) kd sin e 1
在大多数情况下，接收阵离源相当远(尤其是在远场源条件下)以至于 球面传播项1/Ri在接收阵的各单元上没有明显的差别，因此通常略去这
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4
定义3的说明：
1、当信号是窄带时，信号的延时近似等于信号的相移。因此阵列窄带信 号的加权系数可采用移相器且它们所构成的零点在感兴趣的频带内保持恒 定的方位。一般后一准则并不需严格地满足，因此我们只要求频带两端零 点足够深； 2、窄带信号的条件等效于传播方向上的调制相干距离应该远大于同一方 向上的天线长度。经过调制，相干是指离源不同距离上两个点所接收到的