卡尔曼滤波算法(含详细推导)

k 1 n 1
F (n 1, n) E{x(n) H (k )}R1(k ) (k ) k 1
F (n 1, n) x(n)...........................................(23)
3、kalman滤波算法
若定义
def
G(n) E{x(n 1) H (k)}R1(k)
K(n,n 1) E{e(n,n 1)eH (n,n 1)}........ .......... .......... ...(17)
表示（一步）预测状态误差的相关矩阵
3、kalman滤波算法
由上一节的的新息过程的相关知识和信息后，即可转入 kalman滤波算法的核心问题的讨论：如何利用新息过程估计 状态向量的预测？最自然的方法是用新息过程序列a(1),…a(n) 的线性组合直接构造状态向量的一布预测：
将上式代入新息过程的定义式（6），可得到：

(n) y(n) C(n) x1(n)

C(n)[ x(n) x1(n)] v2 (n)......... .(13)
这就是新息 过程的实际计算公式，条件是：一步预测的状态
向量估计x1 (n)业已求出。
定义向量的一步预测误差：
F(n 1, n)E{e(n, n 1)eH (n, n 1)}C H (n) F(n 1, n)K(n, n 1)C H (n)........2( 7)
将式(27)代入式(24)，便得到kalman增益的计算公式如下：
G(n) F (n 1, n)K (n, n 1)C H (n)R1(n)......... ...( 28)
动态系统在时间n的状态到n+1的状态之间的转移，应为已知。
而M 1向量 v为1(过n)程噪声向量，它描述状态转移中间的
加性噪声或误差。
1、kalman滤波问题
（1）、观测方程
y(n) C(n)x(n) v2(n).........( 2)
式中，N 1向量y(n)表示动态系统在时间n的观测向量； N M矩阵C（n）称为观测矩阵（描述状态经过其作用，
k 1
n1
E{x(n 1) H (k)}R1(k) (k)
k 1
E{x(n 1) H (n)}R1(n) (n)..............(21)
注知意下到式E对{kv=1(0n，)1，(k…)}，n0成, k立：0,1,...,并n,利用状态方程(1)，易
def

e(n 1, n) x(n) x1(n)..........(14)
2、新息过程
将此式代入式（13），则有
(n) C(n)e(n, n 1) v2 (n)......... (15)
在新息过程的相关矩阵定义式（10）中代入式（14），并注 意到观测矩阵C（n）是一已知的确定矩阵，故有
3、kalman滤波算法
应该与已知值正交，故有

E{e(n 1, n) H (k)} E{[ x(n 1) x1(n 1) H (k)}
0, k 1,..., n.........( 19)
将式（18）代入（19），并利用新息过程的正交性，得到
E{x(n 1) H (k)} W1(k)E{ (k) H (k)}
e(n 1, n) [F (n 1, n) G(n)C(n)]e(n, n 1)
v1(n) G(n)v2 (n)......... .........( 30)
3、kalman滤波算法
求式(3)所示状态向量的一步预测误差向量的相关矩阵，容易证明：
K (n 1, n) E{e(n 1, n)]eH (n 1, n)} [F(n 1, n) G(n)C(n)]K (n, n 1)[F(n 1, n) G(n)C(n)]H Q1(n) G(n)Q2 (n)GH (n)..............(31)
这里使用了状态向量与观测噪声不相关的事实。 进一步地，由正交原理引
理知，在最小均方误差准则下求得的一步预测估 x1(n)与预测误差e(n,n-1)彼
此正交，即

E{x1(n)eH (N, N 1)} 0
3、kalman滤波算法
因此，由式(26)及式(27)易得：

E{x(n 1) H (n)} F(n 1, n)E{[x(n) e(n, n 1)]eH (n, n 1)}C H (n)
式即可。 将新息过程的计算公式（13）代入式（22），不难得出：
E{x(n 1) H (n) F (n 1, n)E{x(n) H (n)}
F (n 1, n)E{x(n)[C(n)e(n, n 1) v2 (n)]H } F (n 1, n)E{x(n)eH (n, n 1)}C H (n)........( 26)
2、新息过程
考虑一步预测问题，给定观测值y(1), ...，y(n-1)，求观测向量y(n)的 最小二乘估计，记作
def
yˆ1(n) yˆ(n y(1),...,y(n 1))
（1）、新息过程的性质 y(n)的新息过程定义为：
(n) y(n) yˆ1(n)..........(6)
E{有(n) H (k)} 0,1 k n 1.........(.8)
2、新息过程
性质3 表示观测数据的随机向量序列{y(1) ,…y(n)}与表示新息
过程的随机向量序列{a(1),…a(n)} 一一对应 ，即
{y(1),...y(n)} {(1),... (n)}..........(9)
K (n 1, n) F (n 1, n)P(k)F H (n 1, n)Q1(n)......... .(32)
P(n) K (n, n 1) F 1(n 1, n)G(n)C(n)K (n, n 1)........( 33)
W1(k)R(k)
由此可以求出权矩阵的表达式：
W1(k) E{x(n 1) H (k)}R1(K)............(20)
3、kalman滤波算法
将式（20）代入式（18），状态向量的一步预测的最小均
方估计可表示为

nBiblioteka Baidu
x (n 1) E{x(n 1) H (k)}R1(k) (k) 1
以上性质表明：n时刻的新息a(n)是一个与n上课之前的观测数 据y(1), ...，y(n-1)不相关，并具有白噪声性质的随机过程，但它却能够提
供有关y(n)的新息，这就上信息的内在物理含义。
2、新息过程
（2）、新息过程的计算
下面分析新息过程的相关矩阵
R(n) E{ (n) H (n)}........ .(10)
R(n) C(n)E{e(n, n 1)eH (n, n 1)}C H (n) E{v2 (n)v2H (n)} C(n)K (n, n 1)C H (n) Q2 (n)................................(16)
式中Q2(n)是观测噪声v2(n)的相关矩阵，而
3、kalman滤波算法
E{x(n 1) (k)} E{[F(n 1, n)x(n) v1(n) H (k)} F(n 1, n)E{x(n) H (k)}.........(22)
将式（22）代入式（21）右边第一项（求和项），可将其 化简为：
n 1
E{x(n 1) H (k )}R1(k ) (k )
...
...(3)
E{v2(n)v2H (k)}
Q2 (n),nk 0,nk
......
(4)
1、kalman滤波问题
还假设状态的初始值x(0)与v1(n) 、 v2(n)， n 0均不相关，并且噪声向量v1(n)与v2(n) 也不相关，既有：
E{v1(n)v2H (k)} 0,n, k......( 5)

def
n
x1 (n) x (n 1 y(1),..., y(n)) W1(k) (k)
k 1
式中W1(k)表示与一步预测项对应的权矩阵，且k为离散时间。
现在的问题是如何确定这个权矩阵？
（1）、状态向量的一布预测
根据正交性原理，最优预测的估计误差

e(n 1, n) x(n 1) x1(n 1)
式中使用了e(n+1,n)，v1(n)，v2(n)彼此不相关的事实，以及 E{v1(n)v1H (n)} Q1(n) 和 E{v2 (n)v2H (n)} Q2 (n等) 关系式。
对式(31)的右边进行展开，然后代入式(28)和(29)，可以证明：状态向量预测误差的相 关矩阵的递推公式为：
式中
式中R(n)是信息过程的相关矩阵，由式(10)定义。
3、kalman滤波算法
（3）、Riccati方程
由式(28)表示的kalman增益与预测状态误差的相关矩阵K(n,n-1)有关，为了最后完成 kalman自适应滤波算法，还需要再推导K(n,n-1)的递推公式。
考察状态向量的预测误差：

e(n 1, n) x(n 1) x1(n 1)...........(29)
式中，N 1向量 (n表) 示观测数据y(n)的新的信息，简称新息。
2、新息过程
新息 (n)具有以下性质： 性质1 n时刻的新息 (n)与所有过去的观测数据y(1), ...，y(n-
1)正交，即：
E{(n)yH (k)} 0,1 k n 1.......(7)
性质2 新息过程由彼此正交的随机向量序列{ (n)} 组成，即
卡尔曼滤波算法及 推导
1、kalman滤波问题
考虑一离散时间的动态系统，它由描述状态向量的过程方程 和描述观测向量的观测方程共同表示。
（1）、过程方程
x(n 1) F(n 1, n)x(n) v1(n).......( 1)
式中，M 1向量x(n)表示系统在离散时间n的状态向量，它是 不可观测的；M M矩阵F（n+1,n）成为状态转移矩阵，描述
（即校正）部分G(n)a(n)。从这个意义上讲，G(n)称为kalman增益（矩阵） 是合适的。
3、kalman滤波算法
（2）、 kalman增益的计算
为了完成kalman自适应滤波算法，需要进一步推导kalman增益的实际计算
公式。由定义式（24）知，只需要推导期望项E{x(n 1) H (k)的} 具体计算公
将状态方程(1)和状态向量的一步预测更新公式(25)代入式(29)中，有：

e(n 1, n) F (n 1, n)[ x(n) x1(n)]

G(n)[ y(n) C(n) x1(n)] v1(n)

将观测方程(2)代入上式，并代入 e(n,n -1) x(n) x1(n)，则有：
并将式（23）和式（24）代入式（21），则得到状态向量一步预测的更
新公式：


x(n 1) F(n 1, n) x(n) G(n) (n)..............(25)
式（25）在kalman滤波算法中起着关键的作用，因为它表明，n+1时刻的状
态向量的一步预测分为非自适应（即确定）部分F (n 1, n) x(n)和自适应
变成可预测的），要求也是已知的；v2(n)表示观测噪声向 量，其维数与观测向量的相同。过程方程也称为状态方程， 为了分析的方便，通常假定过程噪声v1(n)和观测噪声v2(n) 均为零均值的白噪声过程，它们的相关矩阵分别为：
1、kalman滤波问题
E{v1(n)v1H (k)}
Q1 ( n),nk 0,nk
在kalman滤波中，并不直接估计观测数据向量的进一步预测 是先计算状态向量的一步预测
，而

def
x1 (n) x(n y(1),... y(n 1))........ (11)

然后再用到下式得到 y (n)： 1


y (n) C(n) x1(n)...........(12)
1
2、新息过程