弹性基础简支梁的动态分析

图5
弹簧刚度 1000000N/mm，脉冲频率 120HZ 时梁中点的位移响应
图6
弹簧刚度 1000000N/mm，脉冲频率 120HZ 时梁支撑反力响应
图7
弹簧刚度 1000000N/mm，脉冲频率 120HZ 时梁中点的应力响应
图8
弹簧刚度 1000000N/mm，脉冲频率 220HZ 时梁支撑反力响应
Cx Kx F0 sin(t ) m x
x为系统位移，
(5)
为速度， 为加速度， x x
F0为扰力幅值，
为扰力的圆频率， 2f0 ，
f 0 为扰力频率。
则系统固有频率为：
f
n
K m
1 2
K m

1 2
n
为系统固有圆频率。
临界阻尼为：

N0 F0

1 4 2 2 (1 2 ) 2 4 2 2
图2
弹簧刚度 K=100N/mm 时 的一阶弯曲频率 517HZ
图3
弹簧刚度 K=1000000N/mm 时 的一阶弯曲频率 228HZ
3 弹性基础简支梁的瞬态冲击
简支梁常见的一种瞬态力作用条件是承受图 4 脉冲力的冲击，梁的响应与冲击力幅值 F0、 作用时间 t0、脉冲力作用频率 1/（t1+t0）有关。
π 2
EI ML3
(2)
fZ
9π 8
EI ML3
(3)
图1
弹性基础上的简支梁
-9 3
假设简支梁弹性模量 E=210000MPa，密度 ρ =7.8x10 吨/mm ，单边弹簧刚度 K=1000N/mm。 当变化弹簧的刚度 K 值，得到 f T ， f J 及采用有限元法计算得到的固有频率 f E ，见表 1。当 弹簧刚度很软时，有限元仿真计算表明整个结构可简化为弹簧质量系统，梁的刚度相对于柔弱 的弹簧来说很大，完全可以看成刚体，系统的最低阶固有频率可以通过公式（1）的 f T 来计算， 当弹簧刚度 K=10000N/mm 时， f T 的误差为 12%，而用 f J 计算的误差达到 107%。
2 弹性基础简支梁的固有频率计算
图 1 的梁简支在弹簧上，梁长 L，高 H，厚度 D，材料弹性模量 E，密度 ρ ，单边弹簧刚度 K。系统的固有频率：
f T 21π
K 为弹簧刚度，M 为振子质量。 如果将梁简支在刚性基础上，初阶弯曲频率为：
2K M
(1)
fJ
式中 I 为截面惯性矩。 两端自由时梁弯曲振动的初阶固有频率为：
2 2 2
tg 1 12
稳态振动的频率等于扰力频率，偏角θ 与阻尼有关，当无阻尼时偏角为 0。振幅 B 的大小主要 与频率比λ 有关。 假设阻尼为 0，当振幅 B 等于静变形
st 时，
B
st
(12 ) 2
st
(1 2 ) 2 1
有两个解， 0 时为静力作用，系统不发生振动。 另一个解是
Cr 2n m 2 Km
令

C Cr
为阻尼比，当 <1 时为小阻尼， >1 时为大阻尼。
扰力频率与系统固有频率的频率比为：

n
解（5）式的微分方程，得到稳态振动的位移响应为：
x B sin(t )
记：
st
B
F0 K
st
(1 ) 4 2 2
图9
弹簧刚度 100N/mm，脉冲频率 120HZ 时梁中点的位移响应
图 10
弹簧刚度 100Fra Baidu bibliotek/mm，脉冲频率 120HZ 时梁支撑反力响应
图11
弹簧刚度100N/mm，脉冲频率 120HZ 时梁中点的应力响应
图12
弹簧刚度100N/mm，脉冲频率 220HZ 时梁支撑反力响应
4 减振效果计算
弹性基础上的简支梁可以简化为弹簧阻尼系统，K 为减振器总刚度，C 为阻尼，m 为质量，扰 力 F 按正弦(或余弦)规律，系统的运动方程为：
于 0，系统是非常平稳的，不但没有振动发生，甚至连激振力对系统的静变形也消失了，这就 是“高速近于无”的概念，也是现代高精度机床设计向高速高柔性方向发展的理论基础。
只要激振力频率高于 2 倍的系统固有频率，就对系统具有减振效果。从振幅 B 的表达式中可 以看出，只要阻尼存在，无论激振力频率如何变化，分母总不会等于 0，振幅也就不会真正的 趋向于无穷大，因此阻尼对避免系统发生共振具有很好效果。 对于系统的隔振，若隔振前后传递给地面的力幅值分别为 F0 和 N0，N0/F0 代表了隔振效果，定 义为传递系数 。 传给地基的力是弹簧力与阻尼力之和：
N (t ) Kx Cx K B sin(t ) C B cos(t ) B K 2 2C 2 sin(t )
1 4 22 (12 ) 2 4 22
F0 sin(t )
因此，传递系数 ：
表1
f T , f J , f E 随弹簧刚度的变化关系
随着弹簧刚度的增加，系统的支撑性质向刚性化过渡，有限元计算值 f E 也逐渐趋向 f J ，可以预 见当弹簧刚度趋向无穷大时， f E 逼近 f J ，此时不能再用公式（1）来计算系统的初阶固有频率 值，应采用公式（2）来计算。 当 f T = f J 时得到：
Dynamic Analysis for Simply Supported Beam on Elastic Foundation
LI Chuye，Wang Haitao，Wang Zengxin （Beijing Aeronautical Manufacturing Technology Research Institute，Beijing 100024）
作用力频率增大到 220HZ 时，脉冲频率接近简支梁条件下的一阶弯曲频率，在刚性支撑条件下 将发生共振（图 8），但支撑弹簧的刚度减弱到 100N/mm 时，得到支撑反力响应如图 12，与图
10 相比，两者结果相似，这是由于支撑弹簧刚度很软的情况下，系统的振动特性主要由弹簧质 量系统的第一阶固有频率决定。可见，即使冲击力频率与梁一阶弯曲频率接近，但通过改变支 撑刚性可有效避免共振发生，这是施加减振装置后产生的效果。
弹性基础简支梁的动态分析
李初晔 王海涛 王增新 （北京航空制造工程研究所 北京 100024）
[摘 要] 分析研究了弹性支撑梁固有频率随支撑刚度的变化规律，通过理论计算和有限元计算方法相结合，提 出了弹性支撑梁初阶固有频率的简化计算方法。当支撑刚度很低时，系统的第一阶固有频率可以近似按照弹簧 质量系统来计算，而初阶弯曲频率接近自由边界条件下梁的弯曲频率，对弹性基础梁在瞬态振动条件下的动力 响应进行研究，随着弹性支撑刚度的变化计算了梁的减振效果，并通过有限元法对计算结果进行验证。 [关键词] 弹性支撑;固有频率;瞬态振动;减振;有限元
2 2
2 ，即当扰力频率等于 2 倍固有频率时，扰力产生的振幅与静变形相等。
当 (1 ) 0 时， 大，系统发生共振。 当
1 ，即当扰力频率等于系统固有频率时，扰力产生的振幅趋于无穷
(1 2 ) 2 时， ，即当扰力频率远高于系统固有频率时，扰力产生的振幅趋
[Abstract] Natural frequency of the supported beam on elastic foundation varying rules of stiffness with support condition was investigated generally, through combination of theoretical calculations and the finite element method, proposed the first-order natural frequency calculation methods under elastic supporting condition . When support stiffness is too low, the first-order natural frequency can be approximately calculated according to spring-mass system, while the elementary bending frequency near the free boundary conditions. Studied dynamic response of elastic foundation beam under transient vibration, calculated the damping effect of the beam with the elastic support stiffness changing ,verified the calculation results through the finite element methods. [Keyword] Elastic support; Natural frequency; Transient vibration; Reduce vibration; Finite element
图4
简支梁的瞬态冲击分析
当支撑弹簧的刚度为 K=1000000N/mm 时，梁近似于刚性支撑条件，简支梁的第一阶固有 频率为 228HZ，当冲击力幅值 F0=100N，作用频率 120HZ，作用时间 t0=0.00167s 时，得到梁中 点的位移、应力和支撑反力响应如图 5，图 6，图 7，支撑最大反力达 550N，为静载荷的 5.5 倍， 因此在此工作频率下动力冲击对梁及周围环境的影响很大。 当脉冲力作用频率为 220HZ 时，由于接近梁的第一阶固有频率，将发生共振，随着时间的 推移，支撑反力逐步增大，如图 8，到 0.07s 时梁的反力达到 1400N，是静载荷的 14 倍。 当支撑弹簧的刚度为K=100N/mm时，整个系统接近于一弹簧质量系统，第一阶固有频率为 13HZ，当冲击力幅值F0=100N，作用频率120HZ时，梁中点的位移、应力和支撑反力响应如图9， 图10，图11。支撑最大反力为42N，为静载荷的2/5，且振动的波形变的舒缓，振动按第一阶固 有频率传播，大大减小了对梁和环境的冲击，但不利因素是梁的刚体位移增加。
1 前 言
振动不仅会影响机器本身的工作精度和使用寿命，甚至使零件遭到破坏，也会将振动波传 递给周围的仪器设备，使它们也产生振动，无法正常工作。因此有效采用减振技术是现代工业 中重要的研究课题。随着我国国防工业的发展，对振动现象以及由其引发的系列问题在现今军 事领域尤其值得关注，潜艇的减振抗冲性能直接关系到声隐身和生存力，飞机会因为颤振而发 生蒙皮脱落甚至机翼折断事故，在运载火箭和卫星之间加装减振抗冲装置则可以改善发射时卫 星的动力学环境， 由于各种运载工具对减振抗冲性能提出了越来越高的要求,采用哪些技术途径 可以达到减振的要求成为迫切需要解决的问题。 系统减振就是在振源和其它物体之间用弹性或阻尼元件组成的振动装置连接，使振源产生 的振动能量大部分由添加的振动装置吸收，以减小振源对其它物体的干扰。目前减振所依据经 典隔振理论是基于单自由度系统的振动传递系数，当激励频率大于系统频率的 1.414 倍,传递系 [1][2] 数小于 1,可以起到隔振效果,反之当传递系数大于 1 时系统有激振作用 。在机床和一些振动 设备上，一般都增加了弹性减振装置，达到隔振和减小设备振动的目的。
K cr
π 4EI 2L3
(4)
将 K cr 定义为弹性基础简支梁的临界刚度，当支撑弹簧刚度小于此值时采用公式（1），大于此 值时采用公式（2）计算系统的初阶频率，计算误差最大为 39%。 有限元计算表明，支撑在弹性系统上的简支梁当弹簧很软时，梁近似为自由边界，一阶弯 曲频率可由公式（3）近似得到（图 2 ），但此时系统的振动特性主要与频率更低的由公式（1） 确定的弹簧质量系统的固有频率决定；随着弹簧刚度增大，自由边界逐渐向简支边界条件过渡， 一阶弯曲频率由公式（2）近似得到（图 3）。