1.2 三种常用坐标系中的矢量场
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x
y y = y0（平面） 平面）
x = x0 （平面） 平面）
直角坐标系
r = e x x + e y y + ez z
dr = exdx + eydy + ezdz
dS x = ex dl y dlz = ex dydz
dz
z
dS z = ez dxdy
dS y = e y dxdz
dx
dS y = ey dlx dlz = ey dxdz
球坐标系与直角坐标系间坐标分量变换关系
Ax sinθ cosϕ cosθ cosϕ −sinϕ Ar Ay = sinθ sinϕ cosθ sinϕ cosϕ A θ A cosθ −sinθ 0 A z ϕ
体积元
dV = ρ dρ dφ dz
3 柱坐标系中的线元、 柱坐标系中的线元、面元和体积元
柱坐标系与直角坐标系的变换关系： 柱坐标系与直角坐标系的变换关系：
x = ρ cosφ y = ρ sinφ z = z
ρ = x + y y φ = arctan x z = z
4
柱坐标系下的矢量运算： 柱坐标系下的矢量运算：
A = Aρ eρ + A eϕ + Az ez ϕ
B = Bρ eρ + B eϕ + Bz ez ϕ
加减： 加减：A± B = eρ ( A ± Bρ ) + eϕ ( A ± B ) + ez ( A ± Bz ) z ρ ϕ ϕ 标积： 标积：A⋅ B = ( A eρ + A eϕ + A ez ) ⋅ (Bρ eρ + B eϕ + Bz ez ) ρ ϕ ϕ z
Ar sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cosθ Ax Aθ = cosθ cos ϕ cosθ sin ϕ − sin θ Ay A − sin ϕ cos ϕ 0 7 Az ϕ
dS z = ez dlx dl y = ez dxdy
x
o
d y dS x = ex dydz
y
体积元
dV = dxdydz
直角坐标系的长度元、面积元、 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 2 2
二、柱坐标系
坐标变量
ρ ,φ , z
坐标单位矢量 eρ , eφ , ez
ez = eρ ×eϕ eρ = eϕ ×ez
ex = sinθ cosϕer + cosθ cosϕeθ −sinϕeϕ ey = sinθ sinϕex + cosθ sinϕeθ + cosϕeϕ ez = cosθer −sinθeθ
er = sinθ cosϕex + sinθ sinϕey + cosθ ez eθ = cosθ cosϕex + cosθ sinϕey − sinθ ez eϕ = −sinϕex + cosϕey
x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ
2 2 2 r = x + y + z x2 + y2 θ = arctan z y φ = arctan x
z
P(r,θ,ϕ)
O x
ϕ
θr
eϕ
y
er
e θ
球坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
Ax cosϕ −sinϕ 0 Aρ Ay = sinϕ cosϕ 0 A ϕ A 0 0 1 Az z
Aρ cosϕ sinϕ 0 Ax A = −sinϕ cosϕ 0 Ay ϕ A 0 0 1 Az z
r ,θ , φ
er , eθ , eφ
eθ = eϕ ×er
r = er r
dr = er dr + eθ rdθ + eφ rsinθ dφ
er = eθ ×eϕ
eϕ = er ×eθ
球坐标系
矢量表示： 矢量表示： A = Ar er + Aθ eθ + Aϕ eϕ 位置矢量 线元矢量 面元矢量
2 2
z
ρ
z O φ x
P(ρ P(ρ,φ,z)
r
ez eϕ eρ
y
柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
ex = cosϕeρ −sinϕeϕ ey = sinϕeρ + cosϕeϕ
e ρ = cos ϕ e x + sin ϕ e y eϕ = − sin ϕ e x + cos ϕ e y
柱坐标系与直角坐标系间坐标分量变换关系
1.2 三种常用的正交坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线 的交点来确定 来确定。 的交点来确定。 三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体 系，称为正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述 称为正交坐标系；三条正交线称为坐标轴； 正交坐标系 坐标轴 坐标轴的量称为坐标变量 坐标变量。 坐标轴的量称为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为： 在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为： 直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。 直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
9
= Aρ Bρ + A B + Az Bz ϕ ϕ
矢积： 矢积：
eρ A× B = A ρ Bρ
eϕ A ϕ B ϕ
ez A z Bz
5
= eρ (A Bz − Az B ) + eϕ (Az Bρ − Aρ Bz ) + ez (Aρ B − A Bρ ) ϕ ϕ ϕ ϕ
三、球坐标系
坐标变量 坐标单位矢量
= A Br + A B + A Bϕ r θ θ ϕ
矢积： 矢积：
er A× B = A r Br
eθ A θ B θ
eϕ A ϕ B ϕ
= er (A B − A B ) + eθ (A Br − A B ) + eϕ (A B − A Br ) r ϕ r θ θ ϕ ϕ θ ϕ θ
8
三种坐标系有不同适用范围： 三种坐标系有不同适用范围： 1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解， 直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解， 面对称分布的问题求解 如无限大面电荷分布产生电场分布。 如无限大面电荷分布产生电场分布。 2、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解， 柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解， 轴对称分布的问题求解 如无限长线电流产生磁场分布。 如无限长线电流产生磁场分布。 3、球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解， 球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解， 点对称分布的问题求解 如点电荷产生电场分布。 如点电荷产生电场分布。
球坐标系下的矢量运算： 球坐标系下的矢量运算：
A = A er + A eθ + A eϕ r θ ϕ
B = Br er + B eθ + B eϕ θ ϕ
加减： 加减：A± B = er (A ± B ) + eθ (A ± B ) + eϕ (A ± B ) r r θ θ ϕ ϕ 标积： 标积： A⋅ B = ( A er + A eθ + A eϕ ) ⋅ (Br er + B eθ + B eϕ ) θ ϕ θ ϕ r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dSφ = eφ dlr dlθ = eφ rdrdθ dSθ = eθ dlr dlφ = ez rsinθ drdφ dSr = er dlθ dlφ = er r 2sinθ dθ dφ
体积元
dV = r 2sinθ drdθ dφ
球坐标系中的线元、 球坐标系中的线元、面元和体积元 6
球坐标系与直角坐标系的变换关系： 球坐标系与直角坐标系的变换关系：
矢量表示： 矢量表示： 位置矢量 线元矢量 面元矢量
eϕ = ez ×eρ
柱坐标系
A = Aρ eρ + Aϕ eϕ + Az ez
r = eρ ρ + ez z
dr = eρ dρ + eφ ρ dφ + ez dz
dS ρ = eρ dlφ dlz = eρ ρ dφ dz dSφ = eφ dlρ dlz = eφ dρ dz dS z = ez dlρ dlφ = ez ρ dρ dφ
1
一、直角坐标系
坐标变量
z z = z0 （平面）
x, y , z
ez
坐标单位矢量 ex , e y , ez
P
ey
点 P(x0,y0,z0)
ex
o
ex = ey ×ez ey = ez ×ex ez = ex ×ey
矢量表示： 矢量表示： A = Ax ex + Ay e y + Az ez 位置矢量 线元矢量 面元矢量
y y = y0（平面） 平面）
x = x0 （平面） 平面）
直角坐标系
r = e x x + e y y + ez z
dr = exdx + eydy + ezdz
dS x = ex dl y dlz = ex dydz
dz
z
dS z = ez dxdy
dS y = e y dxdz
dx
dS y = ey dlx dlz = ey dxdz
球坐标系与直角坐标系间坐标分量变换关系
Ax sinθ cosϕ cosθ cosϕ −sinϕ Ar Ay = sinθ sinϕ cosθ sinϕ cosϕ A θ A cosθ −sinθ 0 A z ϕ
体积元
dV = ρ dρ dφ dz
3 柱坐标系中的线元、 柱坐标系中的线元、面元和体积元
柱坐标系与直角坐标系的变换关系： 柱坐标系与直角坐标系的变换关系：
x = ρ cosφ y = ρ sinφ z = z
ρ = x + y y φ = arctan x z = z
4
柱坐标系下的矢量运算： 柱坐标系下的矢量运算：
A = Aρ eρ + A eϕ + Az ez ϕ
B = Bρ eρ + B eϕ + Bz ez ϕ
加减： 加减：A± B = eρ ( A ± Bρ ) + eϕ ( A ± B ) + ez ( A ± Bz ) z ρ ϕ ϕ 标积： 标积：A⋅ B = ( A eρ + A eϕ + A ez ) ⋅ (Bρ eρ + B eϕ + Bz ez ) ρ ϕ ϕ z
Ar sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cosθ Ax Aθ = cosθ cos ϕ cosθ sin ϕ − sin θ Ay A − sin ϕ cos ϕ 0 7 Az ϕ
dS z = ez dlx dl y = ez dxdy
x
o
d y dS x = ex dydz
y
体积元
dV = dxdydz
直角坐标系的长度元、面积元、 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 2 2
二、柱坐标系
坐标变量
ρ ,φ , z
坐标单位矢量 eρ , eφ , ez
ez = eρ ×eϕ eρ = eϕ ×ez
ex = sinθ cosϕer + cosθ cosϕeθ −sinϕeϕ ey = sinθ sinϕex + cosθ sinϕeθ + cosϕeϕ ez = cosθer −sinθeθ
er = sinθ cosϕex + sinθ sinϕey + cosθ ez eθ = cosθ cosϕex + cosθ sinϕey − sinθ ez eϕ = −sinϕex + cosϕey
x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ
2 2 2 r = x + y + z x2 + y2 θ = arctan z y φ = arctan x
z
P(r,θ,ϕ)
O x
ϕ
θr
eϕ
y
er
e θ
球坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
Ax cosϕ −sinϕ 0 Aρ Ay = sinϕ cosϕ 0 A ϕ A 0 0 1 Az z
Aρ cosϕ sinϕ 0 Ax A = −sinϕ cosϕ 0 Ay ϕ A 0 0 1 Az z
r ,θ , φ
er , eθ , eφ
eθ = eϕ ×er
r = er r
dr = er dr + eθ rdθ + eφ rsinθ dφ
er = eθ ×eϕ
eϕ = er ×eθ
球坐标系
矢量表示： 矢量表示： A = Ar er + Aθ eθ + Aϕ eϕ 位置矢量 线元矢量 面元矢量
2 2
z
ρ
z O φ x
P(ρ P(ρ,φ,z)
r
ez eϕ eρ
y
柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
ex = cosϕeρ −sinϕeϕ ey = sinϕeρ + cosϕeϕ
e ρ = cos ϕ e x + sin ϕ e y eϕ = − sin ϕ e x + cos ϕ e y
柱坐标系与直角坐标系间坐标分量变换关系
1.2 三种常用的正交坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线 的交点来确定 来确定。 的交点来确定。 三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体 系，称为正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述 称为正交坐标系；三条正交线称为坐标轴； 正交坐标系 坐标轴 坐标轴的量称为坐标变量 坐标变量。 坐标轴的量称为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为： 在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为： 直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。 直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
9
= Aρ Bρ + A B + Az Bz ϕ ϕ
矢积： 矢积：
eρ A× B = A ρ Bρ
eϕ A ϕ B ϕ
ez A z Bz
5
= eρ (A Bz − Az B ) + eϕ (Az Bρ − Aρ Bz ) + ez (Aρ B − A Bρ ) ϕ ϕ ϕ ϕ
三、球坐标系
坐标变量 坐标单位矢量
= A Br + A B + A Bϕ r θ θ ϕ
矢积： 矢积：
er A× B = A r Br
eθ A θ B θ
eϕ A ϕ B ϕ
= er (A B − A B ) + eθ (A Br − A B ) + eϕ (A B − A Br ) r ϕ r θ θ ϕ ϕ θ ϕ θ
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三种坐标系有不同适用范围： 三种坐标系有不同适用范围： 1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解， 直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解， 面对称分布的问题求解 如无限大面电荷分布产生电场分布。 如无限大面电荷分布产生电场分布。 2、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解， 柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解， 轴对称分布的问题求解 如无限长线电流产生磁场分布。 如无限长线电流产生磁场分布。 3、球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解， 球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解， 点对称分布的问题求解 如点电荷产生电场分布。 如点电荷产生电场分布。
球坐标系下的矢量运算： 球坐标系下的矢量运算：
A = A er + A eθ + A eϕ r θ ϕ
B = Br er + B eθ + B eϕ θ ϕ
加减： 加减：A± B = er (A ± B ) + eθ (A ± B ) + eϕ (A ± B ) r r θ θ ϕ ϕ 标积： 标积： A⋅ B = ( A er + A eθ + A eϕ ) ⋅ (Br er + B eθ + B eϕ ) θ ϕ θ ϕ r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dSφ = eφ dlr dlθ = eφ rdrdθ dSθ = eθ dlr dlφ = ez rsinθ drdφ dSr = er dlθ dlφ = er r 2sinθ dθ dφ
体积元
dV = r 2sinθ drdθ dφ
球坐标系中的线元、 球坐标系中的线元、面元和体积元 6
球坐标系与直角坐标系的变换关系： 球坐标系与直角坐标系的变换关系：
矢量表示： 矢量表示： 位置矢量 线元矢量 面元矢量
eϕ = ez ×eρ
柱坐标系
A = Aρ eρ + Aϕ eϕ + Az ez
r = eρ ρ + ez z
dr = eρ dρ + eφ ρ dφ + ez dz
dS ρ = eρ dlφ dlz = eρ ρ dφ dz dSφ = eφ dlρ dlz = eφ dρ dz dS z = ez dlρ dlφ = ez ρ dρ dφ
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一、直角坐标系
坐标变量
z z = z0 （平面）
x, y , z
ez
坐标单位矢量 ex , e y , ez
P
ey
点 P(x0,y0,z0)
ex
o
ex = ey ×ez ey = ez ×ex ez = ex ×ey
矢量表示： 矢量表示： A = Ax ex + Ay e y + Az ez 位置矢量 线元矢量 面元矢量