结构力学课件 第十三章 结构弹性稳定

=
20.19EI
/l2
1 0
0l n −1 = 0
机械系 董达善 教授
cos nl sin nl 0 稳定方程
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第十三章 结构弹性稳定
§13-3 具有弹性支座压杆的稳定性
简化成具有弹簧支座的压杆：
F
F
F
FS
A
A
EI
l
EI
l
EI l
x
Cy B
B
EI1
ϕ1
k1
l1
M1 = k1ϕ1
B
Z1 =1 C
EI1
Bk
B y2
k y2
结构势能 EP = Ve + V
EI = ∞
=
1 2
ky12
+
1 2
k
y
2 2
−
F [ y22 2l
+
( y2
− y1 )2 2l
]
l C
C
=
1 2l
[(kl
−
F ) y12
+
2 Fy1 y2
+
(kl
−
2
F
)
y
2 2
]
δEP
=
∂E P ∂y1
δy1
+
∂EP ∂y2
δy2
=
0
kl − F F
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第十三章 结构弹性稳定
稳定问题的分析方法
基于小变形的线性理论：变形是一阶微量，计算中将略去高阶 微量使计算得以简化，其结果与大变形时的实验结果有较大偏 差。 基于大变形的非线性理论：考虑有限变形对平衡的影响，其结 果与实验结果吻合的很好，但分析过程复杂。 由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸相比十分微小，因 此作受力分析列平衡方程时都忽略变形影响。因此线弹性材料 力-位移成正比，叠加原理适用。 稳定分析，必须考虑变形的影响，这时叠加原理不再适用。
= 3± 2
5
kl
=
⎧2.618kl ⎨⎩0.382kl
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y2 = −1.618 ——失稳形式 y1
第十三章 结构弹性稳定
3.无限自由度体系 挠曲线近似微分方程为 EIy′′(x) = M (x) M = − py + Q(l − x)
x
F FS
F FS
EIy′′(x) = −Py + Q(l − x)
=
1+
nl EI (nl)2
=
1+
nl (nl)2
/
4
F
kl
nl = 3.83 Fcr = n2EI = 14.67EI / l 2
F
F
F
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第十三章 结构弹性稳定
例:求图示刚的临界荷载.
F
F
F
F
对称失稳：弹性固定端抗转刚度： I1=2I
k = 2i = 2× EI = 4EI / l l/2
结构力学
上海海事大学 董达善
上海 浦东大道1550号 邮编:200135 Tel: 13501651664，58855200-4561
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第十三章 结构弹性稳定
§13-1. 概述 §13-2. 用静力法确定临界荷载 §13-3. 具有弹性支座压杆的稳定 §13-4. 用能量法确定临界荷载 §13-5. 变截面压杆的稳定 §13-6. 剪力对临界荷载的影响 §13-7. 组合压杆的稳定 §13-8. 弹性介质上压杆的稳定
稳定自由度——在稳
定计算中，一个体系
P
产生弹性变形时，确
B
定其变形状态所需的 EI = ∞ 独立几何参数的数目。
A
1个 自由度
F y1 k
l EI = ∞
l
k y2
ϕ
l EI = ∞
kϕ
2个
x 无限
自由度 F
自由度
EI ≠ ∞
y l
x
y
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第十三章 结构弹性稳定
突跳失稳的力和位移的关系
稳定平衡状态
能完全恢复到初始 平衡位置
不稳定平衡状态
不能完全恢复初始 平衡位置
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随遇平衡状态
在偏离初始平衡位置 一个很小范围内任何
位置保持平衡。
第十三章 结构弹性稳定
根据结构失稳前后变形性质是否改变，可将稳定问题分为
分支点失稳——失稳前后平 F<Fcr 衡状态所对应的变形性质发 生改变。在分支点处，即可 在初始位置处平衡，亦可在 偏离后新的位置平衡，即平 衡具有二重性。
kl kl
Fcr = 0.382kl
第十三章 结构弹性稳定
瑞利里兹法
F
∫ 应变能
Ve
=
1 2
l M 2 ( x ) dx 0 EI
M = EIy′′( x)
F =0 kl − 2F
∂EP = 0 ∂y1
∂EP ∂y1
=
1 [( kl l
−
F
) y1
+
Fy2
]
=
0
董达善 ∂EP = 0
∂y2
机械系
∂EP ∂y2
=
1 l [ Fy1
+
(kl
−
2F
)
y2
]
=
0
教授
F 2 − 3kl + k 2l 2 = 0
F
=
3± 2
5
kl
=
⎧ ⎨ ⎩
2.618 0.382
极值点失稳——失稳前后变
F
形性质没有发生变化，力－
位移关系曲线存在极值点，
达到极值点的荷载使变形迅
速增长，导致结构压溃。
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F≥Fcr
Fcr
Δ
无干 扰时
微干 扰时
F<Fcr
F=Fcr
F
e Δcr
À
第十三章 结构弹性稳定
突跳失稳——荷载增
F
F
加到一定程度时，构
Δ
Δ
件由受压突然翻转为
受拉，出现跳跃现象。
与材料力学压杆稳定问题一样，在结构分支点失稳 问题中，临界状态的能量特征为： 体系总势能 EP 取驻值。 下面讨论由此特征确定临界荷载的方法——能量法。
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第十三章 结构弹性稳定
能量法分析步骤
1、设定一组满足位移边界条件的基本函数， 可能失稳变形状态（失稳构形）由基本函 数叠加表示；
得临界荷载
k FR1 = k y y
l EI = ∞
Pcr = lk
第十三章 结构弹性稳定
例2：求图示结构的临界荷载.
解:应变能 外力势能
Ve
=
1 2
ky
2 1
+
1 2
ky
2 2
∑ V = −
Fi Δ i
=
−F[
y
2 2
2l
+
( y2
− y1 )2 ] 2l
F
F
Ak
A y1 k k y1
Δ
l EI = ∞
I1=2I
I
Il
代入式13-4得稳定方程
nl tan nl = 12
l
解得其最小正根为
F
F
F
nl = 1.45 Fcr = n2EI = 2.10EI / l 2
原结构的临界荷载为:
Fcr = 2.10EI / l 2
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第十三章 结构弹性稳定
§13-4 用能量法确定临界载荷
首先引入两个定义。 定义1：从变形位置退回无变形位置过程中，外荷载所 做的功，称为外力势能，记作V。 定义2：应变能Vε加外力（外荷载）势能V为体系的总 势能，记作 EP 。
x
F FS
F FS
π
3π 5π nl
2
2
2
ly
M
x y
得 A+ Ql =0
− nl cos nl + sin nl = 0 tan nl = nl
Bn −PQ = 0 P
经试算 nl = 4.493 tan nl = 4.485
Acos nl + B sin nl = 0
Pcr
=
n 2 EI
=
( 4.493)2 EI l
P 由边界条件 y(0) = 0, y′(0) = 0, y(l) = 0
1
0l
0
n −1 = 0
− nl cos nl + sin nl = 0 tan nl = nl cos nl sin nl 0 稳定方程
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第十三章 结构弹性稳定
y
y(nl) = nl y(nl) = tan nl
分支点失稳分析有静力法和能量法。 静力法的理论依据是临界点平衡状态具有二重性 能量法的理论依据是临界点系统总势能取驻值
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第十三章 结构弹性稳定
§13-2 用静力法确定临界载荷
以结构失稳时平衡的二重性为依据，应用静
F
力平衡条件，寻求结构在新的形式下能维持
B
平衡的荷载，其最小值即为临界载荷。
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第十三章 结构弹性稳定
§13-1 概述
除了强度计算，对于细长中心压杆，还存在另一类问题——稳定 性问题。
钢尺承受压力作用，在外力较小时就会变弯，而丧失承载力。
随着工程结构的大型化，使用的材料向高强方向发展，结构的部 件或整体平衡状态丧失稳定性的可能性增大。因此，结构设计除要保 证足够的强度和刚度外，保证足够的稳定性也日显重要。
EI = ∞ l Aϕ
1.一个自由度体系
∑MA =0
kϕ ⋅ϕ − Pl sin ϕ = 0
kϕ
小挠度、小位移情况下： sin ϕ =& ϕ
1k
抗转弹簧
( Fl − k )ϕ = 0 ϕ ≠ 0 Fl − k = 0 ——稳定方程 Fcr = k / l ——临界荷载
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第十三章 结构弹性稳定
F Fc
F Fcr
q qc
r
F Fcr
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第十三章 结构弹性稳定
1.稳定问题分类
定义：结构中凡受压杆件均为理想受压杆件，这类结构体 系称完善体系；如结构中受压杆或有初曲率，或荷载有偏 心，这类结构体系称非完善体系
结构平衡状态的分类：根据结构在受到外界干扰后是否能恢 复到初始平衡状态而将结构分为
2、计算体系的总势能（弹性应变能＋外力势 能）
3、用总势能的驻值条件建立稳定分析的特征 方程；
4、由特征方程解临界荷载。
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第十三章 结构弹性稳定
例1.求图示结构的临界荷载
解：此为单自由度结构，设失稳时上端的水 Δ
平位移为y，竖向位移为Δ，则
Δ = l − l cosϕ
= 2l sin2 ϕ 2
EI1
l1
l1
EA = ∞
EI
EI l
3EI1 l1
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F
EI k1 = 6EI1 l1
k1
F k
k
=
3EI l3
第十三章 结构弹性稳定
挠曲线近似微分方程为：
EIy′′(x) = M (x) M = −Fy + FS (l − x)
EIy′′( x) = −Fy + FS (l − x)
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F FS
A
F FS
EI l
x yB
M
ϕ1
k1
M1 = k1ϕ1
A
+
k1 F
ϕ1
=
0
Bn
−
( k1 Fl
+ 1)ϕ1
=
0
Acos nl + B sin nl = 0
第十三章 结构弹性稳定
稳定方程
1
0
k1 / F
0
n −(k1 / Fl +1) = 0
cos nl sin nl
0
F FS
ly
M
或 y′′(x) + P y = Q (l − x) EI EI
y′′(x) + n2 y = n2 Q (l − x) P
令 n2 = P EI
得
x y
A+ Ql =0 Bn −PQ = 0
通解为 y(x) = Acos nx + B sin nx + Q (l − x)
P Acos nl + B sin nl = 0
+ 1)ϕ1
=
0
Fcr = 20.19EI / l 2 Acos nl + B sin nl = 0
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第十三章 结构弹性稳定
例:求图示刚的临界荷载.
F
F
F
F
对称失稳：弹性固定端抗转刚度： I1=2I
k = 2EI = 4EI / l l/2
代入式13-3得稳定方程
I
Il
l
tan
nl
A EI l
F FS
tan
nl
=
1+
nl EI (nl)2
k1l
x yB
M
ϕ1
k1
M1 = k1ϕ1
当给定k1, 解方程可得nl的最小正根.
若 k1 = 0
若 k1 = ∞
A
+
k1 F
ϕ1
=
0
tan nl = 0 sin nl = 0
nl = π
Fcr
=
π 2EI l2
tan nl = nl
Bn
−
( k1 Fl
F
F=0.382kl
A y1 k k y1 y1 k
B y2
k y2
k
y2 = −1.618 y1
C
kl − F
F =0
——稳定方程
2kl − F kl
kl(kl − F ) − F (2lk − F ) = 0
F 2 + 3klF − k 2l2 = 0
Fcr = 0.382kl ——临界荷载
董达善 F
=&
2l
ϕ ( 2
)
2
= 1 l( y)2 2l
=
y2 2l
弹簧应变能
Ve
=
1 2
⋅ ky
⋅
y
∑ 外力势能 V = −
Fi Δi
= −FΔ
= − F y2 2l
结构势能
EP = Ve + V
= lk − P y 2 2l
由势能驻值原理 dEP = lk − P y = 0 dy l
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2.N自由度体系（以2自由度体系为例） F
Ak
∑ M B = 0 ky1l + F ( y2 − y1) = 0
EI = ∞
l
∑ M A = 0 ky2l + ky12l − Fy1 = 0
Bk
即： (kl − F ) y1 + Fy2 = 0 (2lk − F ) y1 + kly2 = 0
l EI = ∞ C
代入式13-3得稳定方程
I
Il
l
tan
nl
=
1+
nl EI (nl)2
=
1+
nl (nl)2
/
4
F
kl
解得其最小正根为
F
F
nl = 3.83 Fcr = n2EI = 14.67EI / l 2
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第十三章 结构弹性稳定
反对称失稳：弹性固定端抗转刚度：F
F
F
F
k = 6i = 6× EI = 12EI / l l/2
∑ M A = 0 FS l = k1ϕ1 令
y′′( x) + n2 y = k1ϕ1 (l − x)
n2 = F EI
EI ⋅ l
通解为：
y( x) = Acos nx + B sin nx + k1ϕ1 (l − x) Fl
边界条件 y(0) = 0, y′(0) = ϕ1, y(l) = 0